一類捕食型時滯無線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型Hopf分岔研究

王有剛，楊浩杰，鄒俊宸，張子振

(安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

0 引言

無線傳感網(wǎng)絡(luò)是一種分布式傳感網(wǎng)絡(luò)，由一個個微小的傳感器節(jié)點組成，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)的感知、采集、處理和傳輸任務(wù)。無線傳感網(wǎng)絡(luò)采用無線的方式傳遞信息，大部分網(wǎng)絡(luò)節(jié)點暴露在復(fù)雜的互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中，微小的傳感器節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下易受到各種惡意信號的攻擊，需要一個合適的網(wǎng)絡(luò)防御系統(tǒng)保護(hù)網(wǎng)絡(luò)中存儲和傳輸?shù)膶氋F信息。

考慮到網(wǎng)絡(luò)病毒在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與節(jié)點之間的傳播與傳染疾病在人與人之間傳播的相似性，許多學(xué)者提出了基于傳染病學(xué)原理的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型[1-3]，通過分析模型的動力學(xué)行為，研究網(wǎng)絡(luò)病毒傳播規(guī)律，為網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播控制提供理論參考依據(jù)。文獻(xiàn)[4]研究了一類具有兩個時滯的SLBRS計算機(jī)病毒模型局部穩(wěn)定性和局部Hopf分支，得到了模型的局部穩(wěn)定性和局部Hopf分支存在的充分條件，利用中心流行定理和規(guī)范型理論研究了Hopf分支的方向和穩(wěn)定性等性質(zhì)。文獻(xiàn)[5]針對新型潛伏病毒傳播特性，分析處于潛伏狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點存在的三種轉(zhuǎn)化模式，研究潛伏機(jī)制下的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型及其穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的隨機(jī)移動,基于平均場理論提出一個移動環(huán)境下網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的數(shù)學(xué)模型,利用微分動力學(xué)系統(tǒng)理論研究了病毒傳播行為。

在復(fù)雜的生物生態(tài)系統(tǒng)中，捕食者和被捕食者之間的關(guān)系對調(diào)節(jié)它們之間的數(shù)量非常重要。兩食餌一捕食者模型是一類特殊的模型，在這類模型中，如果沒有捕食者的干擾，食餌的種群密度按照logistic增長規(guī)律增長。文獻(xiàn)[7]提出了一類具有競爭的兩食餌一捕食者模型，并通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)研究了模型的全局穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]則研究了一類考慮捕食者妊娠時滯的兩食餌一捕食者模型，并推導(dǎo)出模型局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性的充分條件。最近，一些研究學(xué)者基于捕食模型原理建立常微分方程組對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播行為進(jìn)行了研究。

文獻(xiàn)[9]借助三食餌一捕食者模型研究了惡意信號攻擊在無線納米傳感器網(wǎng)絡(luò)中的傳輸，對系統(tǒng)中不同的平衡點進(jìn)行分析，分析了免疫策略對模型的影響，并通過數(shù)值模擬驗證了所得理論結(jié)果的有效性。但是文獻(xiàn)[9]假設(shè)模型中不存在任何恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點，忽略反病毒軟件的作用。文獻(xiàn)[10]考慮反病毒軟件的作用，提出了一類考慮恢復(fù)狀態(tài)節(jié)點的捕食型無線傳感器網(wǎng)絡(luò)蠕蟲傳播模型，分析了蠕蟲攻擊對該網(wǎng)絡(luò)能量守恒的影響，分析了系統(tǒng)不同的平衡點，并推導(dǎo)出模型穩(wěn)定的條件。上述學(xué)者在建模過程中都沒有考慮易感節(jié)點和已感節(jié)點轉(zhuǎn)化為重度感染節(jié)點的時滯因素，而感染過程并不是瞬時的，本文基于這樣一種考慮，在文獻(xiàn)[10]研究工作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮時滯，并分析時滯對模型穩(wěn)定性的影響。

1 模型的提出

文獻(xiàn)[10]基于捕食模型原理，提出捕食型無線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型

(1)

其中，X(t)，Y(t)，Z(t)和R(t)分別表示為易感染節(jié)點、已經(jīng)感染節(jié)點、重度感染節(jié)點和恢復(fù)節(jié)點在時刻t的數(shù)量。其中重度感染節(jié)點無法恢復(fù)，當(dāng)其處于睡眠模式時，易感染節(jié)點和已感染節(jié)點分別以r和s增長率增長。易感染節(jié)點和已感染節(jié)點最大環(huán)境容量分別為K和L，易感染節(jié)點和已感染節(jié)點分別以η和γ速率恢復(fù)，w1和w2為重度感染節(jié)點對易感染節(jié)點與已感染節(jié)點的作用系數(shù)，b1和b2分別為易感染節(jié)點和已感染節(jié)點向重度感染節(jié)點的轉(zhuǎn)化率。顯然，模型(1)假設(shè)易感染節(jié)點和已感染節(jié)點轉(zhuǎn)化為重度感染節(jié)點的過程是瞬時的，這與現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中的實際情況是不相符的。另外，無線傳感網(wǎng)絡(luò)中易感染節(jié)點恢復(fù)后，并不代表節(jié)點就具備了有永久的免疫力，仍然可能會重新感染上新的病毒再次變?yōu)橐赘腥竟?jié)點。因此，筆者提出時滯無線傳感網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型

(2)

其中，τ為易感節(jié)點和已感染節(jié)點轉(zhuǎn)化為重度感染節(jié)點所需要的時間，恢復(fù)節(jié)點以概率μ重新變?yōu)橐赘腥竟?jié)點。

2 局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性

經(jīng)過計算可知，模型(2)存在正平衡點E*(X*,Y*,Z*,R*)，其中X*=A1+B1Y*,Z*=A2+B2Y*,R*=A3+B3Y*，Y*是方程B1B4Y2+(A1B4+B1A4-μB3)Y+A1A4-μA3=0的正根。其中,

模型(2)在正平衡點E*(X*，Y*，Z*,R*)處相應(yīng)的特征方程為

λ4+P3λ3+P2λ2+P1λ+P0+(Q3λ3+Q2λ2+Q1λ+Q0)e-λτ=0。

(3)

其中,

P3=-a33-(a22+a11)-a44，P2=a33(a22+a11)+a11a22+a44a33+(a22+a11)a44-a41a14，

P1=-a11a22a33-a33a44(a22+a11)-a22a11a44+a41a14a33+a22a41a14-a42a21a14，

P0=a11a22a33a44-a22a33a41a14+a33a42a21a14，

Q3=-b33,Q2=(a22+a11)b33+b33a44,Q1=-a11a22b33-(a22+a11)b33a44+b33a41a14,

Q0=a11a22b33a44-a22b33a41a44+b31a42a23a14+a23b32a41a14+b33a42a21a14,

a31=a32=a34=0,a41=η,a42=γ,a43=0,a44=-μ,b31=b1w1z(t-τ),

b32=b2w2z(t-τ),b33=b1w1x(t-τ)+b2w2y(t-τ)。

當(dāng)τ=0時，方程(3)變?yōu)棣?+P03λ3+P02λ2+P01λ+P00=0,其中，

P03=P3+Q3,P02=P2+Q2,P01=P1+Q1,P00=P0+Q0。

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)可知，如果條件(H1)成立，模型(2)局部漸近穩(wěn)定。

當(dāng)τ>0時，令λ=iω(ω>0)為方程(3)的根，并代入方程(3)分離實部和虛部，可以得到

(4)

進(jìn)而得到關(guān)于ω的代數(shù)方程

ω8+p3ω6+p2ω4+p1ω2+p0=0,

(5)

其中，

(H2)假設(shè)方程(5)至少存在一個正實根ω0，使得方程(3)存在一對純虛根±iω0。

對方程(3)左右兩邊同時求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，得到

(H3)g′(v0)≠0。

定理1對于模型(2),如果(H1)～(H3)成立，那么，當(dāng)τ∈[0,τ0)時E*(X*,Y*,Z*,R*)局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ=τ0時模型(2)產(chǎn)生Hopf分岔，并在E*(X*,Y*,Z*,R*)附近產(chǎn)生一簇分岔周期解。

3 仿真示例

選取r=2.5，K=50，β=0.02，w1=0.2，η=0.01，μ=0.3，s=0.8，L=15,w2=0.01，γ=0.01，b=1，b1=0.8，b2=0.9，c=1.98，此時模型(2)變?yōu)?/p>

(6)

則可以得到模型(2)的一個示例模型，使用Matlab軟件可以得到示例模型的病毒平衡點E*(11.3867,17.5859，7.9825,0.9665)。經(jīng)過計算得到τ0=0.6629。根據(jù)定理1可知，當(dāng)τ∈(0,τ0=0.6629)時，模型(6)是局部漸近穩(wěn)定的，仿真效果如圖1所示。當(dāng)τ取值大于0.6629時，此時模型(6)失去穩(wěn)定產(chǎn)生Hopf分岔,仿真效果圖如圖2所示。

圖1 當(dāng)τ=0.552 68∈(0,τ0)時，模型(6)局部漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ=0.9568>τ0時，模型(6)產(chǎn)生Hopf分岔

4 小結(jié)

網(wǎng)絡(luò)病毒和蠕蟲的攻擊對計算機(jī)網(wǎng)路尤其是無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的安全性和完整性最典型的威脅之一。作為一種新興的網(wǎng)絡(luò)，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)由很多傳感器節(jié)點所組成，由于傳感器節(jié)點的脆弱性和傳輸范圍的有限性，其安全性的保障受到了很大的挑戰(zhàn)。本文在文獻(xiàn)[10]研究工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了時滯因素，同時又考慮了恢復(fù)節(jié)點的免疫能力，提出一類捕食型時滯無線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，對該模型的正平衡點進(jìn)行動力學(xué)分析，運用特征值法研究了該模型的穩(wěn)定性和分岔存在性。因此，本文所得結(jié)果是對現(xiàn)有無線傳感器網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型相關(guān)研究工作的適當(dāng)補(bǔ)充。