基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁壓力計算

關(guān)曉迪 何盛東 魏歡歡 馬 迪 朱勇鋒

(1.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,陜西 西安 710048;2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 土木建筑學(xué)院,河南 鄭州 450046;3.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院,陜西 咸陽 712100;4.西安交通工程學(xué)院 土木工程學(xué)院,陜西 西安 710300;5.長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

長期以來,豎井結(jié)構(gòu)被簡化為平面問題,大多采用半經(jīng)驗的方法來進行相關(guān)設(shè)計[1-4];然而豎井結(jié)構(gòu)往往具有空間效應(yīng),其圍巖土壓力是支護設(shè)計中研究多年而未能得到很好解決的問題之一。運用能合理反映巖土力學(xué)性狀的強度準則,可以充分發(fā)揮巖土材料的強度潛能,將給豎井等井巷工程建設(shè)帶來巨大的經(jīng)濟效益[5]。

現(xiàn)階段,許多相關(guān)專家學(xué)者對豎井圍巖土壓力的計算理論開展了較為深入的研究。李造鼎[6]在極限平衡理論的基礎(chǔ)上,假定井幫周圍土體沿柱狀面垂直下滑,推導(dǎo)出了豎井井壁土壓力的解析表達式。林小松[7]針對建井工程中井壁面上所受荷載沿深度成多項式變化的特點,推導(dǎo)出了柱面上承受沿深度線性變化的正壓力的單層、兩層及多層有限長厚壁圓筒應(yīng)力場。周國慶等[8]通過分析基于空間彈塑性理論對承受地壓、附加力及自重的豎井井壁應(yīng)力,推導(dǎo)出了豎井井壁土壓力計算公式。趙彭年[9]以空間軸對稱圓形豎井為研究對象,基于哈爾-卡門完全塑性準則,推導(dǎo)出軸對稱豎井井壁的主動土壓力解析解。劉孟彬等[10]根據(jù)豎井設(shè)計基本理論,推導(dǎo)出了黃土區(qū)豎井井壁土壓力計算公式。Zheng Rongming[11]通過引入廣義環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)來修正哈爾-卡門完全塑性假定,推導(dǎo)出了豎井襯砌主動土壓力簡化滑移線解。周楊等[12]應(yīng)用雙重級數(shù)法,推導(dǎo)出了滿足所有側(cè)面及端部應(yīng)力邊界條件的彈性解,計算出了某豎井約束內(nèi)壁治理前后的應(yīng)力分布。應(yīng)宏偉等[13]通過建立正交擋墻三維有限元分析模型,推導(dǎo)出了豎井擋墻的主動土壓力計算公式。上述研究成果均有益地推進了豎井圍巖土壓力計算理論的發(fā)展和完善。

值得注意的是,據(jù)了解,截至目前,針對豎井圍巖空間主動土壓力方面的研究較少,遠滯后于工程實際需要[14]。為此,筆者基于 Mogi-Coulomb強度準則,對軸對稱豎井圍巖主動極限平衡狀態(tài)開展分析,推導(dǎo)出井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力新解,并將所得結(jié)果進行比較驗證,探討了中間主應(yīng)力系數(shù)對井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力分布規(guī)律的影響。

1 Mogi-Coulomb強度準則

Mogi[15-16]在多種巖土真三軸試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,提出了Mogi經(jīng)驗強度準則,其通式為

式中:τoct為八面體剪應(yīng)力;f為單調(diào)遞增函數(shù);σ13為平均主應(yīng)力;σ1、σ2、σ3分別為最大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力和最小主應(yīng)力。

Al-Ajmi等[17]將Mogi經(jīng)驗強度準則和Coulomb強度準則相結(jié)合,建立了Mogi-Coulomb強度準則,其表達式為

式中:φ0 為巖土的內(nèi)摩擦角;c0為巖土的黏聚力。

由式(2)可見,Mogi-Coulomb強度準則考慮了中間主應(yīng)力σ2對巖土強度的影響。工程實踐中,常用中間主應(yīng)力系數(shù)b來表示中間主應(yīng)力與最大、最小主應(yīng)力的函數(shù)關(guān)系[18],其表達式為

將式(3)代入式(2),得到Mogi-Coulomb強度準則的主應(yīng)力表達式:

當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)b=0或1時,式(4)退化為Mohr-Coulomb強度準則的主應(yīng)力表示式,即

可見,Mohr-Coulomb 強度準則為Mogi-Coulomb強度準則的特例,對應(yīng)的中間主應(yīng)力系數(shù)b=0或1。

針對軸對稱豎井圍巖問題,存在應(yīng)力分量如下:徑向正應(yīng)力σr、環(huán)向正應(yīng)力σθ、軸向正應(yīng)力σz和剪應(yīng)力τrz,且σθ=σ2[19-20]。令

式中:p為平均主應(yīng)力;q為廣義剪應(yīng)力。

聯(lián)立式(3)和(6),可得

則軸對稱豎井圍巖問題的應(yīng)力分量表達式為

式中:θ為最大主應(yīng)力σ1與r軸的夾角。聯(lián)立式(2)和(7),可得

其中,ct、φt分別為

2 井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力公式推導(dǎo)

圖1所示為軸對稱豎井圍巖任意微元體的受力狀態(tài)。圖中R0為豎井半徑,r為豎井圍巖任意微元體的半徑。軸對稱豎井圍巖問題的平衡微分方程為

圖1 豎井圍巖微元體的應(yīng)力狀態(tài)

式中:γ為豎井圍巖容重。

將豎井圍巖的應(yīng)力分量表達式(8)代入平衡微分方程式(11),可得

若第1族滑移線的弧長用s1表示,第2族滑移線的弧長用s2表示,r-z平面內(nèi)的井壁圍巖的滑移線如圖2所示,則式(12)和(13)的特征線方程分別為

圖2 r-z 平面內(nèi)的井壁圍巖的滑移線示意

則上述微分方程式(12)和式(13)可轉(zhuǎn)化為體坐標(biāo)s1和s2的表達式為:

在推導(dǎo)基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井圍巖空間主動土壓力新解過程中,采用空間軸對稱問題的統(tǒng)一特征線理論,假定豎井圍巖極限狀態(tài)區(qū)被錐形表面圈定,其母線與r軸的夾角為,則在計算豎井圍巖空間主動土壓力時,可將井壁圍巖在r-z平面內(nèi)的特征線視作2組平行直線,如圖3所示。

圖3 主動極限平衡下的豎井圍巖問題計算簡圖

根據(jù)上述假定,則有

將式(18)代入式(16)和(17),可得

將特征線方程式(14)、(15)代入式(19),可得

將式(9)代入式(21),可得

為簡化微分方程計算和方便微分形式表達,令

則式(22)可表示為如下形式:

對微分方程式(24)進行求解,得到軸對稱豎井圍巖在主動極限狀態(tài)下的應(yīng)力分量表達式:

式中:C1為積分常數(shù)。

若第1族滑移線與井壁交點的縱坐標(biāo)為za,與水平地表面交點的橫坐標(biāo)為ra,則存在下式:

將式(27)代入式(25),可得軸對稱豎井圍巖在主動極限狀態(tài)下的應(yīng)力分量表達式:

令井壁圍巖中一點的半徑r=R0,將其代入式(28)的第1 式中,可得基于 Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力新解:

將式(10)、(26)代入式(29),得到基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力pa隨著豎井深度za的增加,大致呈冪函數(shù)曲線增加的結(jié)論;當(dāng)za→∞時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力趨于常數(shù)[9,21],即井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力為

3 算例分析

為驗證推導(dǎo)出的基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力新解的正確性,針對深度z為10 m、半徑R0為2 m 的豎井,選取豎井圍巖的力學(xué)參數(shù)如下:黏聚力c0=2 MPa,內(nèi)摩擦角φ0=20°,容重γ=26×103k N/m3,且表面荷載T=0 k N/m2。

圖4所示為豎井深度z=1.0 m 時,不同b值條件下,基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力分布曲線。由圖中可知,中間主應(yīng)力系數(shù)b對豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值有較大的影響:當(dāng)0≤b＜0.5時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著b值的增大而減小;當(dāng)0.5≤b≤1.0時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著b值的增大而增大;且當(dāng)b=0.5時,主動土壓力為最小值。因此,井壁土壓力分布曲線呈現(xiàn)出以b=0.5處土壓力為對稱軸,呈左右對稱分布的特點;同時以b=0時的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值(8.57 MPa)作為參照條件,當(dāng)b=0.1、0.2、0.3、0.4和0.5時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值分別減小約6.9%、12.9%、17.5%、20.4%和21.4%。

圖4 不同b 值對井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力分布曲線的影響

圖5所示為不同b值條件下(由于對稱性,選取b=[0,0.5]),基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著豎井深度增加的分布曲線。由圖中可知,豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著豎井深度的增加,呈冪函數(shù)曲線分布;且b值越大,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力越小。當(dāng)b值較小時,隨著b值的增大,豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力的增幅減小。結(jié)果表明:基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值明顯小于基于Mohr-Coulomb強度準則(b=0時)的井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力。這是由于前者在分析井壁土壓力時,考慮了中間主應(yīng)力σ2的影響,使得前者主動土壓力值較小。同時基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值明顯小于朗肯主動土壓力值。這是由于豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力具有環(huán)形土拱效應(yīng),使得豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力值較小[22]。因此,在工程中,采用基于Mohr-Coulomb強度準則的主動土壓力會偏于保守,從而造成井壁支護材料的浪費。

圖5 不同b 值條件下的井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力分布曲線

4 結(jié) 論

(1)基于Mogi-Coulomb強度準則,針對軸對稱豎井圍巖的主動極限平衡狀態(tài)開展分析,推導(dǎo)出了基于Mogi-Coulomb強度準則的豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力新解,以期為井壁支護設(shè)計提供一定的理論依據(jù)。

(2)豎井井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨豎井深度的增加,呈冪函數(shù)曲線分布;且基于Mogi-Coulomb強度準則的中間主應(yīng)力系數(shù)b對井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力的影響較大。當(dāng)0≤b＜0.5時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著b值的增大而減小;當(dāng)0.5≤b≤1.0時,井壁結(jié)構(gòu)主動土壓力隨著b值的增大而增大;且當(dāng)b=0.5時,主動土壓力為最小值。

(3)在工程中,采用基于Mohr-Coulomb強度準則的主動土壓力會偏于保守,從而造成井壁支護材料的浪費。引入中間主應(yīng)力系數(shù)b的Mogi-Coulomb強度準則,可更加充分發(fā)揮豎井圍巖強度潛能,從而可更加經(jīng)濟安全地進行豎井設(shè)計與施工。