初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
——以“全等三角形的判定”為例

曾琪瑛 (大亞灣區(qū)澳頭實(shí)驗(yàn)學(xué)校,廣東 惠州 516000)

對(duì)于推理能力培養(yǎng)的關(guān)注，有兩個(gè)因素值得研究：一是傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，推理能力的培養(yǎng)一直被重視，學(xué)生針對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)建自己的知識(shí)和結(jié)構(gòu)的過程中，會(huì)自然加強(qiáng)自己的推理能力，并且中學(xué)生在抽象能力迅速發(fā)展的黃金時(shí)期，會(huì)不自覺地利用推理來解決數(shù)學(xué)問題；二是核心素養(yǎng)對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)范作用，在進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)滲透中，關(guān)鍵的要素中就蘊(yùn)含著邏輯推理，哪怕邏輯推理只是推理的一部分，但針對(duì)初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)，推理的價(jià)值和地位已經(jīng)不可忽視.總結(jié)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)有太多的時(shí)機(jī)可以進(jìn)行學(xué)生推理能力的有效培養(yǎng)，筆者在大亞灣區(qū)澳頭實(shí)驗(yàn)學(xué)校從教28年初中數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)效果非常理想.下面就通過對(duì)這種教學(xué)方式的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì).

一、數(shù)形結(jié)合的概念

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，所謂數(shù)形結(jié)合就是代數(shù)含義和幾何含義的有機(jī)結(jié)合，換言之就是按照數(shù)學(xué)問題的相關(guān)條件和獲得的結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，即可以對(duì)代數(shù)含義進(jìn)行分析，又可以對(duì)幾何意義進(jìn)行揭示，形成數(shù)量關(guān)系和空間形式的有機(jī)融合，在這種融合中形成正確的解題思路，圓滿解決數(shù)學(xué)問題.在古今中外的數(shù)學(xué)研究中，數(shù)與形一直是最古老、最本質(zhì)的兩個(gè)方面，兩者之間的緊密結(jié)合既是極其重要的數(shù)學(xué)思想，也是可以普遍應(yīng)用的數(shù)學(xué)方式.數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事休.”從該形象而精辟的闡述不難看出，在與形相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，相關(guān)數(shù)形結(jié)合的理念的重要性，也奠定了數(shù)學(xué)解題理論的實(shí)踐基礎(chǔ).

二、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要意義

(一)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的地位

在數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)思想中，數(shù)形結(jié)合思想是其中極其重要的組成部分，其方式方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位.該方式不僅使用靈活，且具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，可以有效將數(shù)軸坐標(biāo)系、圓、多邊形的幾何知識(shí)與函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，可以推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建系統(tǒng)高效的數(shù)學(xué)思維體系，同時(shí)顯著提升教師的教學(xué)效率，優(yōu)化了數(shù)學(xué)教學(xué)的解題模式.

(二)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的意義

對(duì)于提升學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，數(shù)形結(jié)合思想效果明顯.該思維為學(xué)生解題提供了便捷、靈活的新思路，可以利用圖形的組合解釋繁雜的數(shù)量關(guān)系.學(xué)生可以認(rèn)真大膽地猜測(cè)閱讀題目，分析判斷給出的條件轉(zhuǎn)化的可能性，讓解題思路大大拓寬，從而提升了學(xué)生思維的靈活性和敏捷性.數(shù)形結(jié)合最大的優(yōu)勢(shì)就是將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀簡(jiǎn)單.在新課程標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教材中插入了諸多的圖形，這些貌似簡(jiǎn)單的圖形卻蘊(yùn)含著關(guān)鍵的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，有些需要很多文字才能表達(dá)清楚的定理只要一張圖就能解釋.因此，教師可以利用這些插圖與實(shí)際例題結(jié)合，將概念定理巧妙引入其中，養(yǎng)成學(xué)生用圖形記憶概念、處理問題的習(xí)慣，將抽象化為具體，將復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)潔，充分發(fā)揮了數(shù)形結(jié)合的價(jià)值.

二、數(shù)形結(jié)合的基本方式

(一)以數(shù)助形

數(shù)指的是代數(shù)，形指的是幾何，這兩者是中學(xué)數(shù)學(xué)中兩個(gè)關(guān)鍵的研究課題，而兩種因素又是聯(lián)系密切.具體在數(shù)學(xué)解題中，表現(xiàn)為“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個(gè)方面.數(shù)與形就是數(shù)學(xué)的兩條腿，想真正理解數(shù)與形的關(guān)系，必須深刻體會(huì)“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”，同時(shí)更要體會(huì)數(shù)與形各自的優(yōu)勢(shì)和缺陷，然后互相補(bǔ)充.上文中華羅庚關(guān)于數(shù)與形關(guān)系的精辟闡述，很恰當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)了數(shù)形結(jié)合以及相輔相成的要點(diǎn).數(shù)形結(jié)合不但在教學(xué)思想中存在，更是一種不可替代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.

要想在初中的數(shù)學(xué)解題中真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的目標(biāo)，必須熟悉和清楚兩者之間的常態(tài)應(yīng)用的結(jié)合點(diǎn)，通過對(duì)“以數(shù)助形”的深度分析，結(jié)合點(diǎn)有兩個(gè)層面的意思：第一，幾何問題的代數(shù)化可以利用數(shù)軸和坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)，在以后的高中數(shù)學(xué)中，還要接觸通過向量將幾何問題代數(shù)化的模式；第二，通過距離、面積、角度等幾何量處理幾何難題.例如，借助勾股定理對(duì)直角進(jìn)行證明，通過線段比例證明相似度，會(huì)收到意想不到的效果，激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣.

(二)以形助數(shù)

幾何圖形具備直觀易懂的鮮明特點(diǎn)，所以在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)實(shí)踐中，無論是教師和學(xué)生都比較注重于“以形助數(shù)”的思維模式，代數(shù)現(xiàn)象通過幾何圖形闡述，會(huì)收到事半功倍的神奇效果，可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，將幾何圖形用于解決代數(shù)問題表現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，通過幾何圖形更好地記憶代數(shù)公式；第二，借助坐標(biāo)系和數(shù)軸把代數(shù)表達(dá)式向幾何意義轉(zhuǎn)化，通過形象構(gòu)造鮮明的幾何圖形直觀處理代數(shù)問題，也可以對(duì)代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)化.例如，可以利用全等三角形的判定的相關(guān)圖形，解決代數(shù)的問題，可以收到神奇的解題效果.

三、數(shù)形結(jié)合中培養(yǎng)推理能力的意義

如果想利用數(shù)形結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，那么必須在教學(xué)理念上進(jìn)行深入的認(rèn)知，要明白它實(shí)質(zhì)體現(xiàn)的是一種對(duì)應(yīng)的數(shù)與形的關(guān)系，數(shù)學(xué)問題是利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化來解決的.所謂的數(shù)學(xué)問題的解決，第一是接觸新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)候解決的問題，第二是數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建之后解決的問題.無論是第一點(diǎn)還是第二點(diǎn)，我們都可以利用推理的方式來進(jìn)行問題解決.例如利用“全等三角形”的知識(shí)來說明問題.因?yàn)闀?huì)有大量的邏輯推理方式蘊(yùn)含在全等三角形的判定知識(shí)的教學(xué)中，在全等三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上探求全等三角形的判斷規(guī)則，整個(gè)學(xué)習(xí)過程都帶著探究趣味.該學(xué)習(xí)過程學(xué)生會(huì)利用證明中的證實(shí)或者證偽，對(duì)自己猜想是不是符合判定法則進(jìn)行有效的判斷，全等性質(zhì)包含著邏輯推理，也就是利用三邊相等和三角相等，對(duì)得出的可能的判定依據(jù)進(jìn)行推理，由此，“邊邊邊”客觀上是根據(jù)全等形“完全重合”的理念，貌似利用直覺維度推理出來的“角角角”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊角”等，推理結(jié)果馬上形成后，對(duì)這些推理進(jìn)行實(shí)證或者證偽，就形成了又一個(gè)可以運(yùn)用的推理過程.

四、基于數(shù)形結(jié)合案例培養(yǎng)學(xué)生推理能力簡(jiǎn)析

客觀上，在“全等三角形”數(shù)學(xué)課程中，以數(shù)形結(jié)合的方式訓(xùn)練學(xué)生推理能力，業(yè)界也進(jìn)行過相似的研究，其典型的論斷是：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一就是養(yǎng)成學(xué)生一定邏輯推理的能力，初中數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生這種能力的培養(yǎng)責(zé)任重大，而“全等三角形”會(huì)發(fā)揮舉足輕重的作用，筆者完全贊同上面的三要素，所實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)是讓學(xué)生思維融入推理過程中去，就客觀上形成了推理能力培養(yǎng)的合理空間.具體的教學(xué)程序設(shè)計(jì)如下：

(一)將數(shù)形結(jié)合思想導(dǎo)入全等三角形知識(shí)中

在開始進(jìn)行全等三角形課程前，教師可根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行全等三角形知識(shí)導(dǎo)入，通過其合理的應(yīng)用為新課程展開奠定基礎(chǔ)，利用該方式對(duì)量與全等三角形之間關(guān)系進(jìn)行闡述，利用這樣的方式將學(xué)生對(duì)全等三角形的興趣和好奇心逐漸激發(fā)出來.例如，在進(jìn)行相關(guān)全等三角形新課程教學(xué)時(shí)，教師要利用靈活的方式將數(shù)形結(jié)合的理念滲透到課程中，學(xué)生在教師的思路引導(dǎo)下實(shí)際操作，可以在硬紙板上分別畫出三邊為3 cm，4 cm，5 cm的三角形，然后將這些三角形從硬紙板上摳出來，重疊后與其他同學(xué)的三角形進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)可以討論自己的發(fā)現(xiàn).這樣的教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)入良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)，更可以對(duì)全等三角形含義有深刻的理解.

方案一：復(fù)習(xí)引入.總結(jié)邊角邊公理和角邊角公理的條件得出兩個(gè)三角形全等的判定需要三個(gè)條件.啟發(fā)學(xué)生想一想，如果將這三個(gè)條件變換為三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等或三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么兩個(gè)三角形是否還全等?

方案二：實(shí)驗(yàn)引入.根據(jù)已有驗(yàn)證邊角邊公理和角邊角公理的真實(shí)性的經(jīng)驗(yàn)，驗(yàn)證按如下要求畫出的△A′B′C′是否和已知的△ABC全等.

圖1

方案三：電子演示.在圖2中的兩個(gè)三角形中，A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A，△A′B′C′是否與△ABC全等？

圖2

(二)將數(shù)形結(jié)合理念滲透在全等三角形知識(shí)的講授中

可以通過數(shù)學(xué)量的方式直觀化或抽象化展示全等三角形的有關(guān)概念，讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的思維完成形象化的圖形數(shù)量化.例如，教師在教學(xué)“邊邊邊”的全等三角形的公理的時(shí)候，完全可以利用數(shù)形結(jié)合來教學(xué)，可以將兩個(gè)三角形畫在黑板上，一個(gè)三角形的三邊分別為4 cm，3 cm，5 cm，另一個(gè)三角形的三邊分別為5 cm，4 cm，3 cm.根據(jù)這兩個(gè)三角形，教師提問學(xué)生：黑板上的兩個(gè)三角形是全等三角形嗎？教師通過這樣數(shù)形結(jié)合的模式實(shí)施教學(xué)，最大化地活躍了學(xué)生的思維，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輕松和簡(jiǎn)易.

1.案例1：已知，如圖3所示，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，點(diǎn)F在AD上，BF的延長線交AC于點(diǎn)E.

圖3

(1)求證：△ABD≌△CFD；

(2)求證：BE⊥AC；

(3)設(shè)CE的長為m，用含m的代數(shù)式表示AC+BF.

2.分析

(1)由AD⊥BC于點(diǎn)D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，根據(jù)ASA，即可判定：

△ABD≌△CFD；

(2)由△ABD≌△CFD，可得BD=DF，繼而可得△BDF與△ACD是等腰直角三角形，則可求得∠AEF=90°，證得BE⊥AC；

(3)根據(jù)圖形中邊與邊之間的關(guān)系，易得：

AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m.

3.解答

證明：(1) ∵AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠ADB=∠ADC=90°.

在△ABD和△CFD中,

∠BAD=∠FCD,

AD=CD,

∠ADB=∠CDF,

∴△ABD≌△CFD.

(2)∵△ABD≌△CFD,∴BD=DF.

∴∠FBD=∠BFD=45°.

∴∠AFE=∠BFD=45°.

又∵AD=DC,∴∠DAC=∠ACD=45°.∴∠AEF=90°.

∴BE⊥AC.

解：(3)∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m,

∴BE=CE=m.

又 ∵∠AFE=∠FAE=45°,∴AE=FE.

∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m.

4.小結(jié)

本題對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行了考查，考查了等腰三角形以及等腰三角形的性質(zhì)和判定、垂直定義等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，難度適中，以扎實(shí)掌握和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.

(三)將數(shù)形結(jié)合思想融入全等三角形知識(shí)的練習(xí)中

在全等三角形練習(xí)題中合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，是教師傳授數(shù)學(xué)思想的最有效的途徑，同時(shí)將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到全等三角形的解題中，可以有效促進(jìn)圖形與數(shù)量間的彼此轉(zhuǎn)化，以降低數(shù)學(xué)練習(xí)題的解題難度，讓學(xué)生解題的思維更靈活、更廣闊，通過數(shù)形結(jié)合判定全等三角形的相關(guān)命題變得容易方便.

1.案例2：如圖4所示，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求證：BE=DC.

圖4

2.問題解析

解題指導(dǎo)：(1)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；(2)解題方法：主要是構(gòu)造全等三角形，正確地利用等邊三角形中隱含的條件證明全等是解決本題的關(guān)鍵.

解題分析：由△ABD和△AEC均為等邊三角形，可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，繼而可利用SAS證得△BAE≌△DAC，則可證得BE=DC.

證明：在等邊△ABD中，有AD=AB，且∠DAB=60°.

在等邊△AEC中，有AE=AC，且∠EAC=60°.

∴∠DAB=∠EAC.

由圖可知，

∠DAC=∠DAB+∠BAC，

∠BAE=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE.

在△DAC和△BAE中，

AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE,

∴△DAC≌△BAE(SAS),∴BE=DC.

3.命題評(píng)價(jià)

本題利用三角形全等的知識(shí)以及等邊三角形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合針對(duì)學(xué)生基本技能和基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況進(jìn)行考查.這道題體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的整體能力，充分激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的推理論證能力和語言表達(dá)能力.

(四)在全等三角形判定中注重歸納，提高解題能力

不能將課堂知識(shí)總結(jié)理解為形式化的“電影回放”.而是要引導(dǎo)學(xué)生沖破原有的知識(shí)體系，重構(gòu)新的知識(shí)體系，在創(chuàng)新方式和觀念內(nèi)化中充實(shí)核心素養(yǎng).通常情況下，可以從三個(gè)層次梳理一節(jié)課的知識(shí)，首先要總結(jié)基礎(chǔ)知識(shí)，在探索階段的梳理要側(cè)重學(xué)習(xí)方式的提煉，最后的總結(jié)注重問題解決應(yīng)用方法的滲透.

從以下幾個(gè)方面歸納總結(jié)：

① 三條邊與兩個(gè)三角形的同余進(jìn)行對(duì)應(yīng)，表現(xiàn)形式為“邊邊邊”(“SSS”).鍛煉學(xué)生歸納、整合和表述的能力，在“邊邊邊”判斷法中深刻理解文字語言、幾何語言和圖形語言三者的內(nèi)在聯(lián)系，創(chuàng)立合理的模式以供后續(xù)使用.

② 分類勘探法的基本環(huán)節(jié)是：在少而弱到多而強(qiáng)的過渡中，形成通用的模式進(jìn)行分類探究，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù).

③ 對(duì)主題中“有什么”的條件進(jìn)行分析，是教師引導(dǎo)學(xué)生必須進(jìn)行的實(shí)踐課，利用特殊符號(hào)表達(dá)主題條件同時(shí)整合到圖形內(nèi)，讓學(xué)生辨別特殊符號(hào)就可以理解條件和相關(guān)的問題，并根據(jù)結(jié)果和定理有效分析圖形，找出“缺什么”的條件，使目標(biāo)方向清晰，思考問題的思路清晰，從而得出“缺什么”，為解釋問題提供了基本模型.

課堂延展分析：圖5中的已知條件，在△ABF和△DCE中，AB=DC,AE=CF,BF=DE,△ABF與△DCE全等嗎？為什么？

圖5

通過如此練習(xí)，方可更有效地引導(dǎo)和發(fā)展思維，引導(dǎo)學(xué)生首先發(fā)現(xiàn)和觀察問題，利用特殊符號(hào)代表問題條件，同時(shí)融入圖形中，辨識(shí)圖形符號(hào)就能夠獲悉“有什么”和“缺什么”，為今后學(xué)習(xí)幾何證明的思路奠定了基礎(chǔ).

五、從數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)推理能力看核心素養(yǎng)培育

在上述案例中，數(shù)學(xué)內(nèi)涵最基本的思路就是數(shù)形結(jié)合，通過深刻認(rèn)知全等三角形的“形”，通過判斷“數(shù)”的邏輯關(guān)系，這個(gè)推理過程自然形成，并借助這個(gè)推理過程，學(xué)生獲得了正確的全等三角形判定法則.因而這是一個(gè)完整的基于數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)推理能力的教學(xué)過程，這也印證了數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，廣泛應(yīng)用在數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與問題解決中.

在數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)中邏輯推理的地位是舉足輕重的，將核心素養(yǎng)思維滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，就是數(shù)學(xué)與核心素養(yǎng)的有機(jī)結(jié)合.但在數(shù)學(xué)學(xué)科中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，難以實(shí)現(xiàn)全要素都普及的目標(biāo)，而是必須進(jìn)行取舍和抓住重點(diǎn)，從這個(gè)角度說，數(shù)學(xué)教育中注重學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行實(shí)踐的過程.

通過上述案例不難看出，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)也是綜合能力和方法的培養(yǎng)，必須與實(shí)際的數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合或者合理運(yùn)用，而這個(gè)學(xué)習(xí)與運(yùn)用又是需要方法支撐的，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)而言，數(shù)形結(jié)合的思想既是知識(shí)方法的構(gòu)建，也是關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想.已經(jīng)被廣泛應(yīng)用的數(shù)形結(jié)合，為學(xué)生推理能力的培養(yǎng)開拓了更廣的空間，如果學(xué)生有興趣研究“形”，就會(huì)有更大興趣去探索數(shù)并通過“數(shù)”來概括這個(gè)形，進(jìn)行概括描述的時(shí)候，倘若存在其他需要，那么數(shù)形結(jié)合就是深度融合推理能力的培養(yǎng)過程.

六、總 結(jié)

數(shù)學(xué)思想體系中重要的一類就是數(shù)形結(jié)合的思想，該方式可以化解極其復(fù)雜的問題，促進(jìn)問題的復(fù)雜化變得具體化、簡(jiǎn)單化、形象化，它包括了數(shù)的一絲不茍，并且利用圖進(jìn)行圖的直觀化，解題過程優(yōu)化的關(guān)鍵手段，可以深度揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的相關(guān)問題，切實(shí)體現(xiàn)數(shù)與形的密切關(guān)系.進(jìn)行“數(shù)”的研究中要利用“形”，在進(jìn)行“形”的性質(zhì)的探索中卻又要應(yīng)用“數(shù)”.教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的模式，解決了很多的數(shù)學(xué)難題.總而言之，在全等三角形知識(shí)學(xué)習(xí)中合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以大幅度提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生思維的轉(zhuǎn)換更加靈活和寬闊，全面發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力.