非靜壓水波模型研究綜述*

馬玉祥 艾叢芳 董國海

非靜壓水波模型研究綜述*

馬玉祥 艾叢芳①董國海

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點實驗室 遼寧大連 116024)

水波數(shù)值模擬一直是水利、海岸、海洋工程和物理海洋等學(xué)科關(guān)注的重要研究領(lǐng)域之一。在諸多的水波模型之中, 非靜壓水波模型以其計算精度和效率較為平衡的特點受到青睞。非靜壓水波模型經(jīng)過近三十年的發(fā)展, 為科學(xué)研究、工程設(shè)計分析和海洋資源開發(fā)等提供了重要的技術(shù)手段。然而, 如何開發(fā)更為高效的非靜壓模型, 拓寬模型的應(yīng)用領(lǐng)域一直是研究的主要研究方向。文章綜述了非靜壓模型概念的提出以及數(shù)值開發(fā)的難點, 介紹了非靜壓模型在波浪傳播演化和波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用這兩方面的應(yīng)用進展, 將有助于研究者了解非靜壓水波模型的研究和應(yīng)用現(xiàn)狀。

數(shù)值模擬; 水波模型; 非靜壓模型; 波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用

諸多的水波模型都是基于一定的假設(shè)條件下由Navier-Stokes方程簡化而來, 它們都有各自的應(yīng)用范圍。例如, 對Navier-Stokes方程沿水深積分平均, 在一定的假設(shè)條件下, 可以推導(dǎo)出二維淺水方程。二維淺水方程適用于水平尺度遠大于垂向尺度, 表面波波長大于水深的水流問題(包括河道洪水演進、湖泊環(huán)流、海洋潮汐、風(fēng)暴潮等)的模擬。對于洪水演進這樣的水流問題, 二維淺水方程甚至一維淺水方程(即圣維南方程)的計算結(jié)果完全可以滿足工程上的需要。然而, 自然界中存在的水流運動都是三維的, 一、二維的模型無法得到水平速度沿水深的變化, 因此, 不能模擬水流和輸運物質(zhì)在垂向的升降運動。早期由于計算機計算能力的制約, 廣泛應(yīng)用的三維模型是基于Navier-Stokes方程引入靜壓假設(shè)得到的三維淺水模型。由于三維淺水方程便于數(shù)值離散求解、計算量小等優(yōu)點, 已被廣泛應(yīng)用于天然河道、湖泊、河口, 海岸及近岸水流的模擬中(Casulli, 1992; Li, 1998; Miglio, 1999;劉樺等, 2000; 賴錫軍等, 2006; Xing, 2012)。然而, 在水平尺度相對垂向尺度較小的表面波問題以及潮汐與海底山脊相互作用引起的內(nèi)波問題中, 靜壓假設(shè)已不合理, 這時需要采用考慮到非靜壓效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來求解這些問題。

考慮到非靜壓效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有很多, 包括Boussinesq方程(Mohapatra, 2004; Mignot, 2009; Kim, 2011; Chang, 2014; Cantero- Chinchilla, 2016; 林鵬程等, 2021; 饒永紅等, 2021; 吳亞楠等, 2021)和勢流理論(Ma, 2001a, 2001b; Hu, 2002; Wang, 2010)等。Boussinesq方程考慮到了水平和垂直流速沿水深的變化, 通過方程中的頻散項來考慮非靜壓效應(yīng)的影響。相對于上面提到的淺水方程, Boussinesq方程被廣泛地應(yīng)用于近岸波浪傳播演化的模擬。在MIKE 21和SMS等商業(yè)軟件中均包含了基于Boussinesq方程開發(fā)的水波模型。在不可壓縮流動的條件下, 假設(shè)流動是無旋的, 速度勢便滿足拉普拉斯方程, 即可應(yīng)用勢流理論來求解涉及非靜壓效應(yīng)的水波問題?；趧萘骼碚摰臄?shù)值模型關(guān)鍵是求解速度勢滿足的拉普拉斯方程。速度勢包含了非靜壓效應(yīng)的影響, 求解拉普拉斯方程得到速度勢之后, 通過速度勢與流場的關(guān)系就可以直接計算出流場。與基于Euler方程或Navier-Stokes方程的數(shù)值模型相比, 基于勢流理論的數(shù)值模型求解的拉普拉斯方程與壓力Poisson方程類似, 在數(shù)學(xué)上都屬于橢圓型方程。然而, 基于勢流理論的數(shù)值模型無需求解動量方程來計算流場, 這是由流動無旋假設(shè)導(dǎo)致的, 也是基于勢流理論的數(shù)值模型與基于Euler方程或Navier-Stokes方程的數(shù)值模型之間的最大區(qū)別。

從廣義上來講, 凡是已考慮到非靜壓效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 并具備模擬頻散影響的數(shù)值模型皆可稱之為非靜壓模型。從狹義上來講, 以Euler方程或Navier-Stokes方程作為控制方程, 采用水位函數(shù)法計算自由表面的運動的數(shù)值模型才稱之為非靜壓模型(Lin, 2002; Stelling, 2003; Yuan, 2004; Bradford, 2005; Zijlema, 2005; Anthonio, 2006; Wu, 2010; Young, 2010; Ai, 2011, 2019a; Ma, 2012)。本文綜述的非靜壓水波模型即為狹義上來說的非靜壓模型(Kirby, 2017)。狹義上所謂的“非靜壓模型”是相對淺水模型而來的。在淺水模型中, 只包括了靜水壓強的影響, 而非靜壓模型中,通常把壓力項分解為靜壓項和非靜壓項之和。相對于淺水模型, 非靜壓模型剛好多了非靜壓項, 此即“非靜壓模型”的名稱由來。值得注意的是, 非靜壓模型的頻散效應(yīng)與非靜壓項直接相關(guān), 非靜壓項的求解是非靜壓模型最為耗時和關(guān)鍵的一步。

1 非靜壓模型在波浪運動模擬方面的進展

非靜壓模型從20世紀末誕生之日起即被廣泛地應(yīng)用于模擬波浪運動。非靜壓模型的開發(fā)需要解決的一個關(guān)鍵問題是如何準確施加“零壓力自由表面邊界條件”。Casulli(1999)較早地將三維淺水模型(Casulli, 1992)擴展, 建立了三維非靜壓自由表面流動模型。然而, 此類非靜壓模型并不是“完全”非靜壓的模型, 它將自由表面的零壓力邊界條件直接施加在整個表層上, 即所謂的“表層靜壓假設(shè)”, 從而簡化了基于標準交錯網(wǎng)格非靜壓模型的離散求解, 構(gòu)造了對稱正定的壓力Poisson方程, 提高了非靜壓模型的求解效率。這類基于“表層靜壓假設(shè)”構(gòu)建的非靜壓模型(Casulli, 1999; Casulli, 2002)雖然具有較高的計算效率, 但模擬波浪運動需要增加垂向分層數(shù)來提高模型的計算精度。盡管如此, 在波浪傳播幾個周期之后仍會產(chǎn)生明顯的相位誤差, 而且波高也會有明顯的衰減。

Ai等(2011)和Ai等(2019a)開發(fā)的非靜壓表面流模型拋棄了傳統(tǒng)的交錯定義變量的方式, 將垂向流速由分層網(wǎng)格界面移到分層網(wǎng)格中心定義, 同時水平流速的仍然按照交錯的方式定義(圖1), 同樣構(gòu)建了模擬波浪運動的“完全”非靜壓模型。相對于其他模型而言(Stelling, 2003; Yuan, 2004; Zijlema, 2005; Anthonio, 2006; Cea, 2009; Wu, 2010; Young, 2010; Ma, 2012), 采用這種變量定義方式構(gòu)建的非靜壓模型的最大特點是最終求解的壓力Possion方程是對稱正定的, 可以采用預(yù)條件共軛梯度法高效求解, 這樣極大地提高了非靜壓模型的計算效率。Ai等(2011)基于垂向邊界擬合坐標系統(tǒng)建立了模擬波浪運動的非靜壓模型(Ai, 2011)。該模型采用投影法, 即壓力修正法, 求解不可壓縮Euler方程。在水平笛卡爾網(wǎng)格框架和垂向邊界擬合坐標系下, 提出了上述這種新穎的網(wǎng)格變量定義方式。通過與解析解和試驗數(shù)據(jù)對比, 表明此非靜壓模型采用兩個垂向分層就能夠準確高效地模擬波浪淺化、非線性、色散、折射和繞射現(xiàn)象。對于線性色散關(guān)系的模擬, 采用兩個垂向分層即能準確模擬(誤差小于1%)=π的深水波浪(圖2)。為實現(xiàn)近岸波浪破碎爬高和強非線性波群的準確模擬, Ai等(2012)對模型進行了擴展, 采用動量守恒的計算格式離散動量方程中的水平對流項, 這使得模型能夠有效地模擬包括破碎波和水躍在內(nèi)的間斷流動問題。同時, 再引入干濕動邊界處理方法即實現(xiàn)了模型模擬波浪爬高的能力。數(shù)值模擬結(jié)果表明(圖3), 這樣構(gòu)建的非靜壓模型可以有效準確地模擬近岸水深變化導(dǎo)致的波浪破碎和爬高過程。為降低非靜壓模型在模擬強非線性波群時由于壓力梯度項離散導(dǎo)致的數(shù)值誤差, 保證了非靜壓模型可以準確地模擬強非線性波群的演化, Ai等(2014)首次在非靜壓模型中引入了廣義垂向邊界擬合坐標系統(tǒng)。數(shù)值模擬結(jié)果表明(Ai, 2014), 基于廣義垂向邊界擬合坐標系統(tǒng)建立的非靜壓模型可以準確地模擬畸形波浪的產(chǎn)生(圖4)。最近, Ai等(2019a)提出了兩種半隱的非靜壓模型來模擬波浪運動。這兩種半隱模型同樣采用上述變量定義方式構(gòu)建, 一種是非迭代模型, 另一種需要迭代求解。這類半隱的非靜壓模型與之前的模型相對比, 具有時間步長不受制于表面波波速的優(yōu)點, 在模擬深水波浪問題方面更具優(yōu)勢。研究評估和討論了這兩個半隱模型求解線性色散關(guān)系的精度和執(zhí)行效率。通過從淺水到深水的多個數(shù)值算例對這兩個模型進行了驗證。驗證結(jié)果表明(Ai, 2019a), 這兩個半隱模型的結(jié)果非常相似, 均與實驗數(shù)據(jù)吻合良好(圖5)。然而, 迭代模型的執(zhí)行效率低于非迭代模型, 求解迭代模型花費的時間是非迭代模型的1.1～2.5倍。

圖1 非靜壓模型新穎的變量定義方式(Ai et al, 2011)

注:,,分別為,,方向的網(wǎng)格索引;,分別為水平流速和垂向流速;為非靜壓項

圖2 線性波波速的計算結(jié)果與解析解的對比 (Ai et al, 2011)

圖3 波浪爬高破碎過程(紅色實線: 模型結(jié)果; 圓點: 實測值)(Ai et al, 2012)

圖4 畸形波的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比(紅色實線: 模型結(jié)果; 圓形: 實測值)(Ai et al, 2014)

圖5 聚焦點處三維深水聚焦波的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比(紅色虛線: 非迭代模型結(jié)果; 藍色實線: 迭代模型結(jié)果; 圓形: 實測值)(Ai et al, 2019a)

針對模擬強非線性波浪存在沿程波面衰減劇烈, 處理波浪破碎、強間斷等問題上性能不足, 壓力分裂方法沒有及時更新變量信息以及簡化的表面應(yīng)力條件不適用于強非線性波面等問題, Dong等(2019)和He等(2020)提出了三階中心加權(quán)基本無振蕩格式(CWENO)和多級黎曼近似解MUSTA的組合方式提高重構(gòu)精度, 并構(gòu)建了動壓預(yù)估校正兩步法, 同時完整考慮表面垂向和切向應(yīng)力, 實現(xiàn)了以較少的垂向分層對深水波浪傳播演化(Dong, 2019)、深水波浪破碎的準確捕捉和模擬(He, 2020)。

波浪在孔隙介質(zhì)的傳播以及與孔隙結(jié)構(gòu)的相互作用涉及非常復(fù)雜的多尺度流動耦合, 針對孔隙介質(zhì)大小形狀不一, 內(nèi)部湍流運動復(fù)雜, 傳統(tǒng)摩擦阻力系數(shù)難以率定以及實尺度、大范圍模擬計算成本高等問題, He等(2022)提出了將體積平均的雷諾時均方程與非靜壓模型相結(jié)合的方式, 對體積平均后的-epsilon湍流模型進行封閉, 統(tǒng)一了孔隙介質(zhì)內(nèi)外流動的控制方程, 實現(xiàn)了波浪在包含孔隙結(jié)構(gòu)地形上傳播演化的高效準確模擬。

2 非靜壓模型在波浪-結(jié)構(gòu)物相互作用模擬方面的進展

在實際工程中, 常見的各類海洋結(jié)構(gòu)物尤其是目前發(fā)展較快的深水海洋結(jié)構(gòu)物當中, 圓柱結(jié)構(gòu)十分常見, 如為海上船舶運輸服務(wù)的各類透空式碼頭下部結(jié)構(gòu)中、利用海上風(fēng)能發(fā)電的各類固定式海上風(fēng)機下部結(jié)構(gòu)中都會見到圓柱結(jié)構(gòu)。波浪與直立圓柱的相互作用問題一直是海岸和海洋工程界關(guān)注的問題。在波浪與直立圓柱相互作用的過程中, 波浪的爬高和沖擊力可能會對圓柱造成嚴重的破壞, 因此諸如直立圓柱式海洋結(jié)構(gòu)物的設(shè)計必須考慮波浪的作用。目前, 研究者開發(fā)了許多數(shù)值模型來研究波浪與直立圓柱的相互作用(Li, 1999, 2001; Zhao, 2007; Zhong, 2009)。大多數(shù)非靜壓模型都是在矩形網(wǎng)格基礎(chǔ)上開發(fā)的。要實現(xiàn)波浪與直立圓柱或更為復(fù)雜外形結(jié)構(gòu)物相互作用的模擬, 應(yīng)構(gòu)建適應(yīng)于復(fù)雜邊界的非靜壓數(shù)值模型。Choi等(2011)基于水平邊界適應(yīng)的曲線坐標系統(tǒng)建立了模擬波浪與復(fù)雜邊界相互作用的非靜壓模型。該模型采用基于高階積分方法的積分表層動量方程以提高表層非靜壓項的處理精度。數(shù)值模擬結(jié)果表明, 模型可以較為準確地模擬橢圓余弦波在直立圓柱上的爬高。此后, Choi等(2012)在上述模型的基礎(chǔ)上, 又引入了二階Adams- Bashforth格式和三階迎風(fēng)格式來離散對流項以提高模型的精度。在模擬非線性波浪在直立圓柱上的爬高問題時, 模型計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)和二階繞射理論結(jié)果吻合較好。除了上述兩個基于水平邊界適應(yīng)的曲線坐標系統(tǒng)建立的非靜壓模型具備模擬波浪與復(fù)雜邊界相互作用的能力之外, 其他基于非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格構(gòu)建的非靜壓模型同樣具備這樣的能力(Casulli, 2002; Cea, 2009)。

圖6 三角形與四邊形混合網(wǎng)格(Ai et al, 2017)

大連理工大學(xué)在國內(nèi)較早地建立了模擬波浪與復(fù)雜邊界結(jié)構(gòu)物相互作用的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格非靜壓模型(Ai, 2010, 2017)。三維計算網(wǎng)格采用覆蓋水平計算域的二維計算網(wǎng)格和垂向分層式的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格構(gòu)建。水平二維計算網(wǎng)格可以采用三角形網(wǎng)格(Ai, 2010)或三角形與四邊形相結(jié)合的混合網(wǎng)格(Ai, 2017)。水平對流項的離散采用Perot格式實現(xiàn)(Perot, 2000)。該非靜壓模型可以模擬波浪與單直立圓柱或多直立圓柱的相互作用。通過與試驗數(shù)據(jù)對比, 證實了模型可以準確地模擬非線性波浪在直立圓柱周圍的爬高現(xiàn)象以及作用在直立圓柱上的波浪力。

除了非靜壓模型在波浪與直立圓柱相互作用方面的模擬應(yīng)用, 非靜壓模型也被應(yīng)用于波浪與水下結(jié)構(gòu)物或浮式結(jié)構(gòu)物相互作用的模擬。Lin(2006)開發(fā)了三維多層坐標非靜壓模型, 以模擬波浪與結(jié)構(gòu)物的相互作用, 該模型克服了之前非靜壓模型(Lin, 2002)無法準確模擬涉及間斷水深的問題, 僅采用三個垂向分層, 該模型即可準確地模擬波浪與浮式或水下結(jié)構(gòu)物的相互作用。Kang等(2015)對該多層坐標模型進行了擴展, 以模擬涉及曲面問題的波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用問題, 并成功地將模型應(yīng)用于波浪與不同淹沒深度的垂直圓柱相互作用的模擬研究。Ma等(2016)同樣提出了模擬波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的坐標非靜壓模型。對于波浪與底部固定結(jié)構(gòu)物的相互作用, 模型結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)之間取得了良好的一致性, 但模型在解決波浪與浮式或水下結(jié)構(gòu)物相互作用方面的能力尚未得到證實。Rijnsdorp等(2016)提出了一個基于SWASH (Zijlema, 2011)的非靜壓數(shù)值模型。他們的模型能夠預(yù)測波浪的非線性演變及其對受約束船舶的影響。然而, 該模型不能直接用于模擬波浪與浮式結(jié)構(gòu)物的相互作用。

近年來, Ai等(2018), Ai等(2019b), Ma等(2019)和Ai等(2022b)在其開發(fā)的非靜壓波浪數(shù)值模型的基礎(chǔ)上, 通過引入浸入邊界法實現(xiàn)了波浪與浮式或水下結(jié)構(gòu)物相互作用的模擬。浸入邊界法的引入使得非靜壓模型實現(xiàn)了基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格模擬波浪與任意形狀結(jié)構(gòu)物相互作用的能力?；趶V義垂向邊界擬合坐標系統(tǒng), 分別采用半隱分部算法求解Navier-Stokes方程(Ai, 2018)和顯式投影法求解Euler方程(Ma, 2019), 實現(xiàn)了波浪與浮式或水下任意形狀結(jié)構(gòu)物相互作用的立面二維模擬。數(shù)值模擬結(jié)果表明, 所建立的非靜壓模型可以準確地模擬出浮式或水下結(jié)構(gòu)物對波浪傳播演化的影響(圖7)以及波浪作用下結(jié)構(gòu)物的受力情況(Ai, 2018; Ma, 2019)。另外, 模型還可以模擬波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用過程中旋渦的產(chǎn)生以及結(jié)構(gòu)物附近旋渦的演化過程(圖8)。由于上述兩個非靜壓模型均為立面二維模型, 為實現(xiàn)波浪與三維結(jié)構(gòu)物相互作用的模擬, 對上述模型進行擴展建立了三維非靜壓模型(Ai, 2019b)。這樣建立的三維模型, 由于浸入邊界法的引入破壞了壓力Poisson方程的對稱性, 降低了模型的求解效率。為改進模型的執(zhí)行效率, Ai等(2022b)首次將浸入邊界法與全局連續(xù)性方程相結(jié)合建立了高效的三維非靜壓模型, 在該模型中全局連續(xù)性方程用來替代固液邊界處的Newmann邊界條件, 避免了浸入邊界法對壓力Poisson方程的不利影響, 保證了壓力Poisson方程對稱正定的性質(zhì), 有效提高了模型的計算效率。在三維波浪與浮式結(jié)構(gòu)物相互作用的模擬中(圖9), 計算效率最高可提高7.6倍(Ai, 2022b)。

3 結(jié)論

非靜壓水波模型的應(yīng)用十分廣泛, 凡是涉及非靜壓效應(yīng)的自由表面流動現(xiàn)象都可采用非靜壓模型模擬。本文綜述了非靜壓模型概念的提出以及數(shù)值開發(fā)的難點, 主要介紹了非靜壓模型在波浪傳播演化和波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用這兩方面的應(yīng)用進展。本文介紹的非靜壓模型是基于不可壓縮Euler方程或Navier-Stokes方程建立的, 在這類模型中, 壓力Poisson方程的求解是不可避免的。壓力Poisson方程的性質(zhì)直接關(guān)系整個模型的執(zhí)行效率。高效的非靜壓水波模型一直是研究者不懈追求的目標。作者希望本文能引起更多的研究者加入到非靜壓水波模型的開發(fā)應(yīng)用中, 拓寬非靜壓模型的應(yīng)用領(lǐng)域。除了本文綜述的內(nèi)容之外, 非靜壓模型在內(nèi)波產(chǎn)生和傳播演化(Lai, 2010; Ai, 2016)、海嘯波傳播(Oishi, 2013)、滑坡涌浪(Ai, 2021b)、波動涌潮(Ai, 2021a)、潰壩波傳播演化(Ai, 2022a)等方面均有應(yīng)用。另外, 為提高非靜壓模型的執(zhí)行效率, 也可以采用GPU技術(shù)并行求解模型(Ai, 2019a)。

圖7 受水下結(jié)構(gòu)物影響的波面時間序列的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比(藍色實線: 模型結(jié)果; 圓形: 實測值)(Ma et al, 2019)

圖8 結(jié)構(gòu)物附近的流場

圖9 波浪與浮式沉箱的相互作用

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A REVIEW ON NON-HYDROSTATIC WATER WAVE MODELS

MA Yu-Xiang, AI Cong-Fang, DONG Guo-Hai

(Dalian University of Technology, State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian 116024, China)

Water wave numerical simulation has always been one of the important research fields of hydraulic engineering, coastal engineering, marine engineering, and physical oceanography. Among many water wave models, non-hydrostatic water wave models are favored by researchers because of its balance between computational accuracy and efficiency. After nearly three decades of development, non-hydrostatic water wave models provide important technical means for scientific research, engineering design and analysis, and marine resources development. However, developing more-efficient non-hydrostatic models and broadening the application field of the models have always been the pursuit of non-hydrostatic model researchers. In this paper, we first introduce the concept of “non-hydrostatic pressure”, and then review the application of non-hydrostatic models in wave propagations and evolutions, and wave-structure interactions from the perspective of model development and application.

numerical simulation; water wave model; non-hydrostatic model; wave-structure interactions

* 國家自然科學(xué)基金項目, 51979029號; 國家自然科學(xué)基金項目, 52171248號; 國家自然科學(xué)基金項目, 51720105010號; 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費, DUT21LK01號。馬玉祥, 教授, E-mail: yuxma@dlut.edu.cn

艾叢芳, 碩士生導(dǎo)師, 副教授, E-mail: aicongfang@dlut.edu.cn

2022-02-28,

2022-03-23

P753

10.11693/hyhz20220200041