重力場中Dirac方程的非相對(duì)論近似*

郭光杰

(1.邢臺(tái)學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，河北 邢臺(tái) 054001；2.邢臺(tái)學(xué)院 邢臺(tái)市機(jī)器人智能檢測(cè)與分揀技術(shù)研究與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 邢臺(tái) 054001)

0 引言

引力的量子效應(yīng)是量子引力理論的一個(gè)引人入勝的課題，任何相關(guān)的實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)現(xiàn)象都可能幫助理論物理學(xué)家跨越廣義相對(duì)論和量子力學(xué)的鴻溝.隨著引力波探測(cè)技術(shù)的迅速發(fā)展，越來越多的有關(guān)黑洞的直接探測(cè)數(shù)據(jù)正在被獲取[1-4].按照廣義相對(duì)性原理，在引力背景下，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)行為應(yīng)該由彎曲時(shí)空中量子力學(xué)方程描述[5-6].為了更好地理解黑洞的行為，越來越多的數(shù)值和解析算法正在被提出去求解彎曲時(shí)空中的Dirac方程[7-10].

1974年,Abbott等[1]利用晶體干涉儀觀測(cè)了地球引力場對(duì)中子波長的影響，這使得人類首次在地球上觀察到了引力的量子效應(yīng).但是，在很多教科書或文章中，解釋該實(shí)驗(yàn)的理論卻并未采用彎曲時(shí)空中的Dirac方程，而采用了勢(shì)函數(shù)為牛頓引力勢(shì)的薛定諤方程[12-13].當(dāng)然，這樣做也是有一些理論依據(jù)的.比如，在經(jīng)典力學(xué)框架下，愛因斯坦場方程可以推導(dǎo)出牛頓場方程[14]，牛頓的引力勢(shì)可看作弱引力場下彎曲時(shí)空的近似結(jié)果.但是，在量子力學(xué)框架下，牛頓的引力勢(shì)可否也看作弱引力場下彎曲時(shí)空的近似結(jié)果呢？也就是，這兩種理論對(duì)地球上引力量子效應(yīng)的解釋是否自洽？答案不是顯然的，文獻(xiàn)中還沒有關(guān)于這一問題的論述.

內(nèi)在邏輯的一致性和體系的自洽性，一直是物理理論的基本追求，也是物理理論最富魅力的原因之一.量子力學(xué)理論和時(shí)空彎曲理論都各自建立起了完整的理論，各有其適用的條件.而重力問題是這兩個(gè)理論的交會(huì)點(diǎn)，要求這兩個(gè)理論無縫連接.這兩種理論在解釋地球上引力場量子效應(yīng)中如何實(shí)現(xiàn)自洽？對(duì)這一問題的解答將提供一個(gè)具體而清晰的兩者自洽的物理細(xì)節(jié)，幫助建立兩者自洽的物理圖像.

本文在量子力學(xué)的框架體系內(nèi)，利用低能近似得到了彎曲時(shí)空下Dirac方程的非相對(duì)論近似.結(jié)果表明，在量子力學(xué)框架下，引力的效應(yīng)體現(xiàn)在得到的牛頓引力勢(shì)和對(duì)動(dòng)能的修正；在低能且弱引力場近似下，動(dòng)能修正項(xiàng)和引力勢(shì)相比可忽略不計(jì).因此，在量子力學(xué)框架下重力勢(shì)依然是彎曲時(shí)空的自然結(jié)果.兩個(gè)理論都可解釋地球上重力的量子效應(yīng)，其自洽性得以說明，其物理圖像得以建立.

1 重力場下中子運(yùn)動(dòng)的非相對(duì)論量子描述

晶體干涉儀由一塊Si單晶柱制成.把它做成等間距相互平行的前、中、后三片，厚度約為幾毫米，如圖1所示.

入射中子束穿過前片后分為兩束，即沿原入射方向的投射束和在晶面上發(fā)生布拉格衍射的衍射束.這兩束穿過中片后分成四束，其中的兩束在穿過后片后重新會(huì)合為一束，發(fā)生干涉.從圖1中可看出，若C點(diǎn)比B點(diǎn)高，則經(jīng)過ACD路徑中子要比經(jīng)過ABD路徑中子的重力勢(shì)能大，由能量守恒可得其動(dòng)能較小，所以其動(dòng)量也較小，由于波長與動(dòng)量成反比，導(dǎo)致經(jīng)過ACD路徑中子的德布羅意波長較大.傳播同樣的距離，上下束的相位差為[11-12]

(1)

式(1)中假設(shè)了中子的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等，p為中子動(dòng)量，S為平行四邊形ABDC的面積，φ是平面ABDC和水平面的夾角.當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)干涉儀時(shí)，探測(cè)到的干涉強(qiáng)度應(yīng)有周期性變化.測(cè)量結(jié)果在千分之一的精度內(nèi)與理論的預(yù)言值相符，這是證明萬有引力在微觀領(lǐng)域同樣適用的第一個(gè)直接的實(shí)驗(yàn).

重力勢(shì)在這里起到關(guān)鍵性的作用.若假設(shè)地球是個(gè)完美的球體，在z遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑時(shí)，有

(2)

2 重力場下中子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論量子描述

這一部分將給出文章的主要推演過程.首先，給出彎曲空間中的Dirac方程；其次，給出Schwarzschild度規(guī)下Dirac方程的描述；最后，得到Schwarzschild度規(guī)下Dirac方程的低能近似.

2.1 彎曲空間中的Dirac方程

在一個(gè)彎曲的時(shí)空中，中子運(yùn)動(dòng)滿足彎曲空間的Dirac方程，其度規(guī)為

ds2=g00dx02+2g0idx0dxi+gikdxidxj，

(3)

式(3)中重復(fù)指標(biāo)代表求和，并且i,k=1,2,3，x0=ict.

需要說明的是，按照大多數(shù)高等量子力學(xué)和量子場論教科書采用的符號(hào)習(xí)慣，選擇坐標(biāo)0分量為純虛量，以方便其計(jì)算結(jié)果和平直空間的相對(duì)論量子力學(xué)進(jìn)行對(duì)比.雖然大多數(shù)廣義相對(duì)論的教科書上均采用坐標(biāo)0分量為實(shí)參量ct，但采用純虛0分量依然可以建立整套廣義相對(duì)論，只需稍作符號(hào)修改即可.

為保證Dirac方程的廣義協(xié)變性，γ矩陣需滿足

γμγν+γνγμ=2gμνI,

(4)

(5)

則彎曲時(shí)空中的Dirac方程[5]為

(6)

式(6)中，γμ為γμ的協(xié)變形式.和實(shí)參量ct情況一樣，采用純虛0分量依然需要區(qū)分協(xié)變、逆變張量.只是當(dāng)考慮時(shí)空為平直的特殊情況時(shí)，將不再需要區(qū)分協(xié)變、逆變張量.

2.2 Schwarzschild度規(guī)下的Dirac方程

具體到地球引力場的中子，因?yàn)橐υ淳哂星驅(qū)ΨQ性，Schwarzschild度規(guī)是一個(gè)自然的選擇[5].這一度規(guī)的形式為

-ds2=ζ2dx02+α2μ2(dx12+dx22+dx32),

(7)

其中，

(8)

式(8)中c為真空中的光速.下面的討論將全部基于該Schwarzschild度規(guī).

為滿足式(4)，令

γ0=ζE0，γi=αμEii=1,2,3

(9)

式(9)中E0，E1，E2，E3滿足

EμEν+EνEμ=2δμνI.

(10)

將式(9)帶入式(5)，并利用式(10)和保Schwarzschild度規(guī)的仿射聯(lián)絡(luò)得

(11)

式(11)中：ζs=?ζ/?xs；μs=?μ/?xs；s=1,2,3；φ0，φ1，φ2，φ3由電磁勢(shì)決定.把式(9)和(11)帶入式(6)中得Schwarzschild度規(guī)下的狄拉克方程為

(12)

為方便下面的計(jì)算討論，取

(13)

(14)

2.3 Schwarzschild度規(guī)下Dirac方程的低能近似

令

(15)

其中Ψa是前兩個(gè)分量，Ψb是后兩個(gè)分量.利用Pauli矩陣

(16)

(13)、(14)式可重寫為

(17)

式(17)中I為2×2的單位矩陣.

值得注意的是，這里Pauli矩陣并未選擇標(biāo)準(zhǔn)形式，并且其對(duì)易關(guān)系也不是標(biāo)準(zhǔn)形式，選擇這種表示僅是為了方便符號(hào)表示4×4的E矩陣(17)，這里只關(guān)心E矩陣是否滿足對(duì)易關(guān)系式(10).可以很容易計(jì)算得到E矩陣(17)確實(shí)滿足(10).

問題沒有涉及電磁相互作用，所以φ0=φ1=φ2=φ3=0，并且也是靜場問題，則式(12)可簡化為能量本征方程

(18)

式(18)中E為中子的總能量E=W+mc2，這里mc2為靜止能量，在低能極限下W?mc2.將式(15)和(17)代入上式中得

(19)

(20)

由式(19)可得

(21)

下面分析一下式(21)中各項(xiàng)的量綱.地球質(zhì)量M=5.977×1024kg，地球平均半徑r=6.371×106m，光速c=2.998×108m·s-1，引力常數(shù)G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2[12]，則GM/2c2r≈3.5×10-10是一個(gè)極小的量，滿足弱引力場近似條件，保留到一階小量，則

(22)

(23)

另外，中子干涉實(shí)驗(yàn)中中子的波長λ=1.419×10-10m，這就意味著在數(shù)量級(jí)上

(24)

根據(jù)式(21)，容易看出在低能極限下，Ψa相對(duì)Ψb為小分量，近似可表示為

(25)

將式(15)代入式(20)中，可消去小分量Ψa并得到大分量Ψb滿足的能量本征方程

(26)

(27)

式(27)中方程左邊的第二項(xiàng)是對(duì)非相對(duì)論動(dòng)能項(xiàng)的修正項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)可忽略此修正項(xiàng)的條件

(28)

和由經(jīng)典廣義相對(duì)論得到的弱引力場的條件一致[12].對(duì)比一下這一項(xiàng)在不同星體表面上的數(shù)量級(jí)，如表1所示.

表1 各種典型星體表面的相對(duì)論動(dòng)能修正Tab.1 Kinetic energy corrections on the surface of a variety of typical stars

顯然，太陽系內(nèi)的星體表面均可忽略此動(dòng)能相對(duì)論修正項(xiàng)，而中子星這種強(qiáng)引力場才需考慮此修正項(xiàng).在地球表面，式(27)可退化為

(29)

其中勢(shì)能項(xiàng)恰好就是重力勢(shì).

至此，從Schwarzschild度規(guī)下的狄拉克方程出發(fā)，采用低能近似，得到了非相對(duì)論薛定諤方程，其勢(shì)能項(xiàng)和牛頓的萬有引力勢(shì)一致.這個(gè)結(jié)果顯示，量子力學(xué)中的重力勢(shì)也是彎曲時(shí)空的自然結(jié)果.

3 結(jié)論

中子在重力場中波長的變化，是觀察重力量子效應(yīng)的一個(gè)典型實(shí)驗(yàn)，在理解量子引力理論中有著重要的意義.理論分析表明，量子力學(xué)框架下的重力勢(shì)是時(shí)空彎曲的低能近似，彎曲時(shí)空的狄拉克方程可以很自然地過渡到非相對(duì)論薛定諤方程，其方程和傳統(tǒng)方法得到的完全相同.這一結(jié)果，不但表明這兩個(gè)理論是自洽性的，而且為理解兩種理論如何實(shí)現(xiàn)自洽，建立起了清晰的物理圖像.

值得指出的是，相對(duì)論下的量子力學(xué)方程不止狄拉克方程，還有克萊因高登方程以及麥克斯韋方程等.本文只研究了彎曲時(shí)空中的自旋為1/2的狄拉克方程的低能近似，那么描述其它自旋的彎曲時(shí)空量子力學(xué)方程的非相對(duì)論近似是否也能自然地得到牛頓的引力勢(shì)呢？這個(gè)問題也是值得繼續(xù)探討的.