基于擴散方程的強度不均勻圖像分割*

楊晟院，劉祥波，曾笑云，2，龐 達

(1. 湘潭大學(xué) 計算機學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院, 湖南 湘潭 411105;2. 中國電信股份有限公司湖南分公司, 湖南 長沙 410000)

0 引言

圖像分割是計算機視覺研究中的一個經(jīng)典難題，已經(jīng)成為圖像領(lǐng)域關(guān)注的一個熱點.由于圖像分割問題本身的重要性，從20世紀70年代起就吸引了很多研究人員進行了深入的研究，提出了一系列行之有效的圖像分割技術(shù)，并產(chǎn)生了相當(dāng)多的研究成果和分割方法[1-3].

常見的圖像分割方法有：(1)基于閾值的分割方法[4]，該類型的方法計算簡單， 效率較高，但對噪聲比較敏感，魯棒性不高，閾值的選擇有局限性；(2)基于區(qū)域的圖像分割方法，該類型的方法是以尋找區(qū)域為基礎(chǔ)的分割技術(shù)，常見的方法有區(qū)域生長法[5]、區(qū)域分裂合并法[6]、區(qū)域擬合法[7]、分水嶺算法[8].該類型的方法對復(fù)雜圖像分割效果較好，但算法復(fù)雜、計算量較大；(3)基于邊緣檢測的分割方法[9]，該方法試圖通過檢測包含不同區(qū)域的邊緣來解決分割問題，常見的算法有Roberts算法、Sobel算法、Priewitt算法、Laplacian算法、Canny算法等.該類算法速度快，邊緣定位準確，但不能保證邊緣的連續(xù)性和封閉性，在高細節(jié)區(qū)域容易產(chǎn)生大量的碎邊緣以及小碎片；(4)基于偏微分方程(PDE)模型的分割方法[10-12]，如基于擴散方程的分割模型[13]、基于主動輪廓模型的分割方法[14]、距離正則化水平集演化(DRLSE)模型[15]、CV模型[16]等.(5)基于深度學(xué)習(xí)模型的圖像分割方法，目前大多數(shù)這方面的框架都以U-Net[17]或者特征金字塔網(wǎng)絡(luò)(FPN)[18]作為它的基本結(jié)構(gòu)，并且借助VGG[19]、resnext[20]、EfficientNet[21]等框架作為它的主干網(wǎng)絡(luò)，用于從原始輸入圖片中提取特征，再借助自身的結(jié)構(gòu)對圖像進行分割預(yù)測.深度學(xué)習(xí)的方法能獲得高精度的圖像分割，但是卻需要消耗大量的計算資源，且需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，在整個過程需要花費大量時間.

基于PDE模型的水平集分割方法具有保證圖像分割的封閉性以及邊緣的連續(xù)性，并且有成熟的PDE理論保證和高效的迭代算法等優(yōu)勢，許多學(xué)者在基于PDE模型的圖像分割方面做了大量的工作. 如：CV模型將區(qū)域內(nèi)外的平均擬合灰度看作常數(shù)，用各點與平均擬合強度差的平方構(gòu)造能量方程.圖像強度均勻分布時，CV模型能獲得較好的分割效果，但當(dāng)強度不均勻時，容易產(chǎn)生錯誤的分割.RSF模型[22]將平均擬合強度擴展為局部擬合函數(shù)，LIC 模型[23]對強度不均勻場進行評估并修正.RSF模型和LIC模型均有效提高了處理強度不均勻的能力. Zhang等[24]基于統(tǒng)計學(xué)原理提出LSACM模型.LSACM模型處理強度不均勻的能力進一步增強，但在圖像強度嚴重不均勻時，仍然可能存在偏差.LATE模型[25]通過泰勒展開式對RSF模型的擬合函數(shù)進行進一步擴展，在圖像強度嚴重不均勻情況下，LATE模型仍能保持很好的分割效果，但LATE模型計算代價較高.

擴散方程作為偏微分方程的重要內(nèi)容，在圖像分割領(lǐng)域也被廣泛應(yīng)用.Du Zhongjie 等[13]提出了一種帶選擇源的非線性擴散方程用于對退化文檔圖像的恢復(fù)，再根據(jù)一個灰度閾值便可將其進行分割，該模型對部分文檔圖像能取得較好的性能， 但是對于部分背景被嚴重污染或者文字不太明顯的文檔圖像，該模型效果表現(xiàn)不太好. Moroanu Costi c?等[26]提出了一種非局部非線性二階各向異性反應(yīng)擴散模型，該模型在強度較均勻的圖像有較好的分割結(jié)果，對于具有模糊邊界的多目標圖像可以較為準確地分割，但當(dāng)強度較不均勻時，分割結(jié)果與真實結(jié)果有較大的偏差.

針對圖像強度不均勻的情況，以上方法進行了較深入的研究，但仍然存在一些問題，例如圖像分割精度或者算法的效率有待進一步提升.針對這些問題，文章提出了一種基于擴散方程的強度不均勻圖像分割方法，該方法無須設(shè)置初始輪廓，直接利用圖像本身所攜帶的信息構(gòu)造初始的冷、熱源，根據(jù)熱傳導(dǎo)的思想對強度嚴重不均勻的圖像進行有效的分割.

1 基于擴散方程的圖像分割原理

二維擴散方程被廣泛地用于描述濃度擴散、流體運動和傳熱過程.對于均勻的二維區(qū)域，假設(shè)傳熱系數(shù)為常數(shù)，其傳熱方程為[27].

(1)

式中：函數(shù)φ表示二維區(qū)域上的溫度；(x,y)是區(qū)域內(nèi)點的空間坐標；f(x,y,t) 是熱源項；μ2φ是區(qū)域內(nèi)自發(fā)熱擴散的擴散項；μ是傳熱系數(shù).

為了防止二維區(qū)域上溫度絕對值過大，假定區(qū)域內(nèi)的點只有在溫度接近于零時才有一個對該點有較大作用的外部熱源.當(dāng)溫度絕對值較大時，外部熱源的作用較小(或者說接近于0).為了模擬這種情況下的傳熱過程，設(shè)

f(x,y,t)=D(I(x,y))·δ(φ(x,y,t))，

(2)

式中，D(I(x,y))表示為:

(3)

式中：h(I)是由原圖經(jīng)過類Laplace算子預(yù)處理得到的溫度初始值，|h(I)| 為熱量分布，當(dāng)圖像某處的初始溫度絕對值越高時，代表該處所蘊含的能量值越高；h((x,y)) / |h((x,y))| 表示符號控制，符號為正則表示該點是熱源作用、符號為負則表示該點為冷源作用；*表示卷積操作；|h(I)|Kσ2表示為以熱量分布圖中某點為中心的一個區(qū)域的加權(quán)能量值，其能有效地增加目標輪廓邊緣區(qū)域和其他區(qū)域的溫度差，以及抑制強噪音的熱量絕對值劇增.λ為一個正常數(shù)，其值越大則在分割結(jié)果中會保留越多的細節(jié).D(I)在整個演化過程只需計算一次.一般來說，當(dāng)區(qū)域上各點溫度一致時，某點h的響應(yīng)幅度越強，該點處f的響應(yīng)幅度也越強.

δ(φ(x,y,t))稱為熱敏因子，δ(·) 表示為

(4)

式中，u表示某個坐標點處的溫度.當(dāng)|u|= 0，δ(u)有最大值δ(0) = 1/π，f= D/π；當(dāng)|u|較大時，δ(u)≈0，f≈0.由式 (1)、式(2)和式(3)得到

(5)

文中h的表達式為

h(I)=(I-Kσ1*I)

(6)

其中，Kσ是一個帶有σ標準差的高斯核函數(shù)，Kσ的表達式為

(7)

在遠離圖像邊緣的平坦區(qū)域，有I≈Kσ*I，所以h≈0.在圖像的邊緣附近，邊緣兩側(cè)的強度差異很大.因此，類似于采用Laplace算子作用后在邊緣圖像的兩側(cè)，產(chǎn)生一對絕對值相等且符號相反值.這樣處理比直接采用Laplace算子更抗干擾.

為了保持活動輪廓曲線的光滑性，文中也引入弧長項vδ(φ)·div(?φ/ |?φ|) 來保證輪廓曲線的光滑度，最終的圖像分割模型為：

(8)

2 基于擴散方程的圖像分割算法

根據(jù)擴散原理可知，當(dāng)整個演化達到穩(wěn)定狀態(tài)時，圖像目標的輪廓對應(yīng)于溫度為 0 的分割線.因此，在實際演化過程中，只需判定溫度為 0 的分割線在相鄰兩次迭代過程中不變或者在可控的誤差范圍內(nèi)即可停止迭代.文中根據(jù)每張圖所對應(yīng)的溫度圖上各點的符號變化數(shù)來設(shè)定截止條件.假設(shè)一張圖分辨率為M*N，每次迭代后記錄符號變化的點的個數(shù)記為x，當(dāng)x/(M*N) <=ε時，則認為該模型已經(jīng)演化到了一個穩(wěn)定狀態(tài)，可停止演化.

根據(jù)以上的分析，給出基于二維擴散方程的圖像分割算法如下：

算法1 基于擴散方程的圖像分割算法

1：輸入源圖像I，設(shè)置參數(shù) μ、ν、σ1、σ2、λ、ε；

2：記錄整幅圖的像素點個數(shù)n；

3：根據(jù)式(6)計算h(I)；

4：根據(jù)h(I) 設(shè)置初始值(φ0) ；

5：根據(jù)式(3)計算D(I)；

6：根據(jù)式(2)計算f；

7：根據(jù)式(8)計算出下一次迭代后的結(jié)果 φi+1，i表示為當(dāng)前的迭代次數(shù)；

8：令φi=φi+1，統(tǒng)計溫度符號發(fā)生變化的點的個數(shù)x，如果x/n>ε，返回第 6 步，否則輸出最終結(jié)果φ.

3 數(shù)值實現(xiàn)

3.1 各種分割模型的演化

本文采用MATLAB R2017a編程實現(xiàn)、操作系統(tǒng)為Windows 10.5種水平集模型和文中的模型的演化如圖1所示.圖1(a)～(f)中，每行圖分別為RSF模型、DRLSE模型、LIC模型、LSACM模型、LATE模型和本文模型的圖像分割演化示意圖.從圖1的第一列圖可知，本文模型無須設(shè)定初始輪廓，根據(jù)圖像的靜態(tài)項h可以得到圖像的初始狀態(tài)(圖 1(f)的第一張圖)；其他模型都需要設(shè)定初始輪廓曲線.從演化圖中可看出，LIC模型和本文模型能夠快速定位圖像的邊緣.另外，本文方法最顯著的特點是，在演化的早期階段，活動輪廓能快速定位圖像的強輪廓，虛假輪廓則由熱擴散的作用會慢慢消失，最終實現(xiàn)對目標弱輪廓分割.

不同的初始輪廓對RSF模型、DRLSE模型、LIC模型、LSACM 模型、LATE模型都有較大的影響.在不同初始輪廓下，5種水平集模型的分割結(jié)果如圖4所示.其中圖2(a)(第一行的圖片)為兩幅圖分別給定了5種不同的初始輪廓曲線的情形.圖2(b)～(f)每行分別對應(yīng)這5種分割模型的分割結(jié)果.可以看出，由于初始輪廓線設(shè)置的不同可能會產(chǎn)生較為嚴重的不合理分割.

本文模型則不需要設(shè)置初始輪廓，且能獲得理想的分割結(jié)果，說明本文的圖像分割模型具有較強的魯棒性.

3.2 分割質(zhì)量和效率的比較

圖像分割的精度可以用 JSC 相似系數(shù)[22-23]標準來衡量.

(9)

式中：Om為算法推導(dǎo)出的目標區(qū)域；Ot為圖像中真正的目標區(qū)域；A(·)表示區(qū)域面積.JSC的取值范圍為[0,1]，其值越大，表示分割越準確.

一般來說，圖像強度不均勻性越嚴重，越難以得到準確的分割結(jié)果.因此，針對強度嚴重不均勻的圖像進行分割，則能很好地檢驗圖像分割方法分割圖像的能力.

圖3 中的第(1)列圖像為待分割處理的原始圖像，第(1)列的第一幅圖像為二值圖像，之后的4幅圖像則為強度不均勻性依次增大的圖像.將第(1)列的第一幅圖像的黑色區(qū)域作為標準的Ot.分別采用不同的圖像分割方法對第(1)列的5幅圖像進行分割處理.分割結(jié)果為：第(2)列圖為采用GAC模型的分割結(jié)果；第(3)列圖為采用CV模型的分割結(jié)果；第(4)列圖為采用RSF模型的分割結(jié)果；第(5)列圖為采用DRLSE模型的分割結(jié)果；第(6)列圖為采用LIC模型的分割結(jié)果；第(7)列圖為采用LSACM模型的分割結(jié)果；第(8)列圖為采用LATE模型的分割結(jié)果；第(9)列圖為采用本文模型的分割結(jié)果.

從圖3的分割結(jié)果圖可以看出，隨著強度不均勻性的增加，GAC模型、CV模型、RSF模型、DRLSE模型、LIC模型和LSACM模型的分割結(jié)果明顯變差.LATE模型還能獲得較滿意的分割結(jié)果，本文模型的分割結(jié)果最理想.

表1為8種模型針對圖3進行分割處理的JSC值表.從表1中的數(shù)值結(jié)果看，隨著強度不均勻性的增加，GAC模型和CV模型的JSC值迅速下降；RSF模型、DRLSE模型和LIC模型對強度不均勻性有一定的處理能力，但當(dāng)強度不均勻性較嚴重時，JSC值顯著下降；LSACM對強度不均勻性的有較強的處理能力，但當(dāng)強度不均勻性較嚴重時，JSC值會下降到0.8左右.在表1中，從縱向比較的結(jié)果來看，本文模型針對圖3中的(b)(d)(e)圖分割精確度最高，對(a)(c)圖的分割精度也非常接近其他方法的最高精確度值.在強度不均勻圖像的分割精度上，本文模型基本上優(yōu)于 LATE 模型；從橫向比較的結(jié)果來看，本文模型和LATE模型一樣，在嚴重的強度不均勻情況下，JSC值也穩(wěn)定在0.9左右.說明本文模型針對強度嚴重不均勻圖像的分割具有高精度、高魯棒性的優(yōu)點.

本文針對自然圖像的分割也進行了測試，各模型的分割結(jié)果如圖4所示.其中，第1行圖像為待分割處理的原圖.第2行圖像為RSF模型的分割結(jié)果；第3行圖像為DRLSE模型的分割結(jié)果；第4行圖像為LIC模型的分割結(jié)果；第5行圖像為LSACM模型的分割結(jié)果；第6行圖像為LATE模型的分割結(jié)果；第7行圖像為本文模型的分割結(jié)果.從分割結(jié)果上看，本文模型的分割結(jié)果最理想.

表2為這6種模型針對圖4中9幅圖像進行分割處理的時間.數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，本文的方法在其中的6幅圖像的分割處理用時最少，在另外3幅圖像的分割處理中用時僅次于LIC模型，但用時也相差不大.相較于具有高分割精度的LATE模型，本文模型不僅在強度不均勻圖像的分割精度上基本優(yōu)于 LATE 模型，從運行時間上看，本文模型比 LATE 模型所需時間更是低一個數(shù)量級.總體上看，本文模型效率最高.

表2 圖4中9幅圖的分割時間Tab.2 Segmentation time of the 9 images in Figure 4 單位：s

4 總結(jié)

本文基于擴散理論提出了一種針對強度不均勻圖像的快速分割方法.與傳統(tǒng)的基于邊緣的水平集和基于區(qū)域的水平集相比，本文模型無須設(shè)定初始輪廓線，對于強度不均勻圖像的分割具有高效率、高精度、高魯棒性的優(yōu)點.

注：本文是將楊晟院老師所指導(dǎo)學(xué)生曾笑云的碩士畢業(yè)論文[28]中部分內(nèi)容進一步完善的工作.