數(shù)學(xué)期望原理及其應(yīng)用

郭華毅

(山西藥科職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030031)

概率論是研究隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科，分布函數(shù)全面刻畫了其統(tǒng)計規(guī)律性。但在實際問題中，分布函數(shù)一般難以求得。而且，在很多時候，我們也未必需要知道隨機(jī)變量的全部信息，而只關(guān)心其某些重要特征。數(shù)學(xué)期望就是刻畫隨機(jī)變量“平均”取值水平的重要數(shù)字特征，在理論和實踐中都有廣泛的應(yīng)用。

1 數(shù)學(xué)期望的概念

隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望，來源于通常平均數(shù)的概念，體現(xiàn)了隨機(jī)變量的平均取值的大小。針對不同的隨機(jī)變量類型，可分為兩種。

1.1 離散型的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=xk)=Pk,k=1,2，Λ

由定義可以看出，數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量取值關(guān)于其概率的加權(quán)平均值[1]。

1.2 連續(xù)型的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)

2 數(shù)學(xué)期望在實際生活中的應(yīng)用

2.1 在識別街頭騙局中的應(yīng)用

在日常生活中，我們經(jīng)常碰到一些街頭游戲，比如地攤骰子、猜數(shù)贏錢、摸球中獎等。這些游戲普遍上看上去對顧客有利，但很多人卻在這些看似有利的游戲中輸了不少錢。那這些游戲的奧妙在那里呢，我們不妨以摸球中獎游戲為例分析一下。

游戲規(guī)則這樣的：有一個袋子里放著6個紅球和6個白球，參與者可以“免費”從袋子中摸6個球，兌獎規(guī)則如下：6個全紅，贏100元；5紅1白，贏50元；4紅2白，贏20元；3紅3白，輸100元；2紅4白，贏20元；1紅5白，贏50元；6個全白，贏100元。

七種情形只有一種是輸錢的，其它六種均能賺錢，表面上看這個規(guī)則對顧客是非常有利的，但觀察下來，參與者卻是輸多贏少。問題出在那呢？

我們不妨計算一下。任取6個球，取到i個紅球和j個白球的概率為：

E(X)=(0.001*100+0.039*50+0.244*20)*2-0.433*100=-28.98(元)

也就是，玩家在這種游戲里每次“平均”都會輸?shù)艚?9元，也難怪玩的越多，輸?shù)脑蕉唷?/p>

2.2 在投資決策中的應(yīng)用

在投資中，我們會碰到如何設(shè)定最佳投注比例的問題。對于這個問題，1956年約翰·拉里·凱利(John Larry Kelly)在《貝爾系統(tǒng)技術(shù)期刊》提出了大名鼎鼎的“凱利公式[3]”，該公式如下

其中，各個參數(shù)的意義是

f：應(yīng)投注的籌碼比例

p：獲勝的概率

q：失敗的概率，即1-p

b：賠率，等于可能的盈利/可能的虧損，也就是盈虧比

這個公式應(yīng)該怎么應(yīng)用呢？

假設(shè)有一個小游戲，拋硬幣賭正反。拋得正面者贏2元，拋得反面者輸1元，你有100元，每次下注金額不限，那最優(yōu)下注方法是什么呢？

該公式的分子中的bp-q，其含義就是“盈利的數(shù)學(xué)期望”，原理見表1。

表1 游戲X的勝率、賠率

則盈利的數(shù)學(xué)期望E(X)=bp-1*q=bp-q

實踐中，應(yīng)用這個公式的前提是bp-q>0，這是因為：

(1) 盈利期望bp-q<0時，賭徒不具備任何優(yōu)勢，會越賭越輸，不應(yīng)該下注(如前面的摸球中獎騙局)。

(2) 盈利期望bp-q=0時，這是個公平游戲，也不應(yīng)該下注。

(3) 盈利期望bp-q>0時，可以參與，這時候按照凱利公式投注賺錢最快。

2.3 在傳染病篩查中的應(yīng)用

醫(yī)學(xué)上，為了確定某種疾病的傳染情況，需要對特定人群進(jìn)行篩查。假設(shè)某地區(qū)有N個人，如果我們逐個篩查，就需要進(jìn)行N次，工作量較大，那么如何減少篩查次數(shù)，提高篩查效率呢？

假設(shè)陽性反應(yīng)率為0.04，則平均篩查次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為

顯然當(dāng)K=2,3,4……時，E(X)<1，平均篩查次數(shù)小于1，說明分組比不分組好

進(jìn)一步，可以對E(X)求最值，得出當(dāng)k=16時E(X)取得最小值，即每組16人最好。

分組人數(shù)與陽線反應(yīng)率a有關(guān)，對不同的a值，用上述方法可以計算出不同的最佳分組人數(shù)見表2[4]。

表2 不同的值對應(yīng)的最佳分組人數(shù)

2.4 在運動員選拔方面的應(yīng)用

對于一場重要的體育比賽來說，如何選拔出“最好”的運動員去參賽往往是人們關(guān)注的焦點。從數(shù)學(xué)角度，我們可以通過期望和方差這兩個標(biāo)準(zhǔn)去選拔。

比如有甲、乙兩名射手，其射擊成績?nèi)缦?，問誰的射擊水平更好？

甲射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X是8、9、10對應(yīng)的概率分別是0.3、0.1、0.6.

乙射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)Y是8、9、10對應(yīng)的概率分別是0.2、0.5、0.3.

通過計算E(X)=9.3,E(Y)=9.1

數(shù)學(xué)期望反應(yīng)了射擊的準(zhǔn)確度，E(X)>E(Y)，說明從準(zhǔn)確度角度看，甲要優(yōu)于乙。但是不是一個好的射手，還需要從穩(wěn)定性方面考察，這可以從均方差來比較。

3 應(yīng)用數(shù)學(xué)期望時候需要注意的問題

3.1 不能簡單把數(shù)學(xué)期望等同于均值

我們平時所說的均值通常是算術(shù)平均值，即默認(rèn)每個量出現(xiàn)的概率是一樣的；而數(shù)學(xué)期望中每個變量出現(xiàn)的概率可能不同，因此其含義是加權(quán)平均值。

3.2 注意數(shù)學(xué)期望實現(xiàn)的條件

在投資中，一個正的數(shù)學(xué)期望意味著這不是賭博，有了參與的可能。但要注意，正的期望值是在大量重復(fù)實驗條件下才可能出現(xiàn)的“均值”，在有限的實驗次數(shù)下，實驗結(jié)果完全可能極度偏離或者長期偏離。如果想獲得期望值，必須保證遍歷性[5]。遍歷性是指統(tǒng)計結(jié)果在時間和空間上的統(tǒng)一性，表現(xiàn)為時間均值等于空間均值。

總之，數(shù)學(xué)期望概念廣泛應(yīng)用用工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)社會的各個領(lǐng)域。熟練理解和運用這個概念，有助于正確認(rèn)識客觀世界的發(fā)展規(guī)律，為進(jìn)一步的決策分析提供依據(jù)。