一次函數(shù)背景下等腰三角形存在性問題分析與策略

◎肖 杜 羅 麗

(1.重慶市南開兩江中學(xué)校，重慶 401135；2.西南大學(xué)銀翔實(shí)驗(yàn)中學(xué)，重慶 401533)

在中考數(shù)學(xué)的壓軸題中，等腰三角形的存在性問題是一個(gè)熱門考點(diǎn)，也一直是教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求較高，讓許多學(xué)生望而卻步.本文從等腰三角形產(chǎn)生的原理上進(jìn)行歸類分析，談?wù)劷鉀Q此類問題的常用方法和策略.

類型一 兩圓一線產(chǎn)生等腰三角形

1.如圖1-1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3)，在x軸上存在一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖1-1

解析分三種情況討論△ABC:

①AB=AC②BA=BC③CA=CB

①當(dāng)AB=AC時(shí)，即以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，與x軸的交點(diǎn)即為此時(shí)的C點(diǎn)(如圖1-2)，由圖可知，此時(shí)的C點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為C1，C2.

圖1-2

②當(dāng)BA=BC時(shí)，即以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫圓，與x軸的交點(diǎn)即為此時(shí)的C點(diǎn)(如圖1-3)，由圖可知，此時(shí)的C點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為C3，C4.

圖1-3

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，

所以HC3=HC4=2，所以C3(2,0)，C4(6,0).

③當(dāng)CA=CB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，所以AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)即為此時(shí)的C點(diǎn)(如圖1-4),記為C5.設(shè)點(diǎn)C5的坐標(biāo)為(x,0)，

圖1-4

類型二 平移變換中的等腰三角形

圖2-1

解析由題中給出的直線AB的解析式可知，∠CAO=∠BAO=30°,從這個(gè)特殊的角度出發(fā)，通過平移、討論，大致確定K,H的位置，通過幾何計(jì)算，解決問題.

①當(dāng)KO=KH時(shí)，根據(jù)平移，先大致確定兩個(gè)位置，如圖2-2,2-3所示，

在圖2-2中，過點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，

圖2-2

因?yàn)椤螲AK=∠HKA=30°，

在圖2-3中，過點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，

圖2-3

因?yàn)椤螲AK=∠HKA=30°，

②當(dāng)OK=OH時(shí)，如圖2-4所示，過點(diǎn)H作HM⊥x軸于點(diǎn)M，

圖2-4

因?yàn)椤螲AK=∠HKA=30°，

所以HA=HK=2HM,OH=OK=2OM,AM=KM=3OM,

為什么沒有討論HO=HK呢？實(shí)際上若HO=HK，

則∠HOK=∠HKO=30°,而∠HAO=30°,顯然矛盾，因此舍去了.

類型三 旋轉(zhuǎn)變換中的等腰三角形

圖3-1

①如圖3-2，記此時(shí)的M,N為M1,N1，∠M1N1B=∠M1BN1=30°,所以∠EM1N1=60°,

圖3-2

②如圖3-3，記此時(shí)的M,N為M2,N2，∠M2N2B=∠M2BN2=30°,

圖3-3

③如圖3-4，記此時(shí)的M,N為M3,N3，∠N3M3B=∠M3BN3=30°，

圖3-4

圖4-1

圖4-2

圖4-3

圖4-4

圖4-5

通過上面的例題，我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的存在性問題找對(duì)、找全并不是太難，關(guān)鍵在于找到其中不變的量以及變化的量的變化趨勢，同時(shí)要有克服困難的勇氣，不斷嘗試突破，找到一些規(guī)律，也就慢慢熟練解題了.