借助幾何直觀解高中解析幾何選擇填空題的研究

◎趙曉玲

(吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)本部高中數(shù)學(xué)組，吉林 長(zhǎng)春 130022)

平面解析幾何部分一直是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),學(xué)生在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)往往會(huì)感到困難.平面解析幾何的基本思想是通過(guò)代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.但對(duì)于某些小題來(lái)說(shuō),如果單純利用代數(shù)方法去研究,那么解題過(guò)程往往會(huì)比較繁雜,容易造成“小題大做”.

直觀想象是高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括:借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型,探索解決問(wèn)題的思路.

直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

直觀想象主要表現(xiàn)為:建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問(wèn)題,借助幾何直觀理解問(wèn)題,運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.

平面解析幾何題也是幾何題，其自身優(yōu)勢(shì)是幾何直觀，它是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的一個(gè)很好的載體.學(xué)生在解題時(shí)如果適當(dāng)借助幾何直觀，將會(huì)使抽象問(wèn)題直觀化，減少運(yùn)算量,問(wèn)題的解決自然會(huì)十分便捷.

圖1

解法1(代數(shù)方法)

設(shè)∠AOB=θ，△AOB的面積為S，

設(shè)直線l的斜率為k(k<0)，

再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

∵OA⊥OB，

即x1x2+y1y2=0,

消去y，

解法2(幾何方法)

設(shè)∠AOB=θ，△AOB的面積為S，

如圖2，取弦AB的中點(diǎn)D，連接OD.

圖2

由題意得OA=OB=1,

∴∠OCA=30°,

【案例分析】通過(guò)兩種解法的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)借助幾何直觀，不僅方便快捷，減少了運(yùn)算量，而且更容易理解.此題解法2用到平面幾何的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),它們分別是：(1)圓的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,而且平分弦所對(duì)的?。?2)直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

解法1(代數(shù)方法)

如圖3,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,AB的中點(diǎn)為M,分別過(guò)A,B,M向準(zhǔn)線作垂線,垂足依次為點(diǎn)C,D,N.

圖3

由題意得2p=4,

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

∴y1=-3y2, ①

由題意得F(1,0),

設(shè)AB:y=k(x-1),k≠0，

消去x,得ky2+4y-4k=0，

y1y2=-4.③

由①②③,得k2=3.

解法2(幾何方法)

如圖4,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,AB的中點(diǎn)為M,分別過(guò)A,B,M向準(zhǔn)線作垂線,垂足依次為點(diǎn)C,D,N.

圖4

∴|AF|=3|FB|.

設(shè)|FB|=a,則|BD|=a,|AF|=3a,

∴|AC|=3a,

由題意得|KF|=2,

【案例分析】通過(guò)兩種解法的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，解決拋物線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)借助幾何直觀，不僅方便快捷，減少了運(yùn)算量，而且更容易理解.此題解法2用到拋物線的定義和平面幾何中的中位線定理.

案例3已知雙曲線mx2-y2=1(m>0)的右頂點(diǎn)為A,若該雙曲線右支上存在B,C兩點(diǎn)使得△ABC為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)m的值可能是( ).

C.2 D.3

分析雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),若存在B,C兩點(diǎn)符合題意,則B,C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),故該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn).

解法1(代數(shù)方法)

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根.

①當(dāng)m=1時(shí),不合題意；

②當(dāng)m≠1時(shí),

∴0

故選A.

解法2(幾何方法)

過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為45°的直線的斜率為1,

故選A.

【案例分析】通過(guò)兩種解法的對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線位置關(guān)系的問(wèn)題.對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題,適當(dāng)借助幾何直觀,更便于理解,同時(shí)也減少了運(yùn)算量.解法2重點(diǎn)應(yīng)用了直線與雙曲線的位置關(guān)系.直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過(guò)比較直線的斜率與雙曲線的漸近線的斜率的大小來(lái)判斷.

通過(guò)以上三個(gè)案例的解法,不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于平面解析幾何的選擇題和填空題的求解,借助幾何直觀的優(yōu)勢(shì)是明顯的.因此,教師在平面解析幾何的解題教學(xué)中要有這樣的意識(shí).通過(guò)這樣的解題教學(xué),學(xué)生既能提升數(shù)形結(jié)合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象的能力,又能增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，還能形成數(shù)學(xué)直觀思想,進(jìn)而在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).對(duì)于如何借助幾何直觀解題,這就需要解題者掌握平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和相關(guān)知識(shí),以此為依托,直觀想象,數(shù)形結(jié)合,進(jìn)而解題.另外,借助幾何直觀解題也有助于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng).