溯本求源·發(fā)展素養(yǎng)
——對(duì)幾何體外接球問(wèn)題的思考

◎史彬彬

(南寧市東盟中學(xué)，廣西 南寧 530105)

空間幾何體外接球球心位置的確定是解決立體幾何問(wèn)題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，要求學(xué)生具有較好的空間想象能力，并能熟練掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及位置關(guān)系的判斷方法，這也是發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理兩個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.筆者從球截面的幾何性質(zhì)和代數(shù)特征出發(fā)，通過(guò)對(duì)圓柱、圓錐的外接球球心位置的確定及半徑的計(jì)算，對(duì)多面體的外接球問(wèn)題進(jìn)行思考.

一、球截面的性質(zhì)

幾何性質(zhì)平面與球相交，交線為圓，且球心與截面圓圓心所在的直線垂直于截面.

代數(shù)特征如圖1，球心為O，截面圓圓心為O′，則直線OO′⊥圓O′.設(shè)球O的半徑為R，圓O′的半徑為r，|OO′|=d，則由勾股定理得R，r，d滿足R2=r2+d2.

圖1

二、圓柱的外接球

問(wèn)題1記圓柱的高為h，底面圓的半徑為r，求該圓柱的外接球半徑R.

圖2

例1(2017年·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球面上，求該圓柱的體積.

延伸1.1如圖3，以圓柱底面圓的任意內(nèi)接多邊形為底面，該多邊形的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的母線為側(cè)棱的直棱柱的外接球與該圓柱的外接球相同.

圖3

例2(2010年·課標(biāo)卷)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱長(zhǎng)都為a，求該三棱柱外接球的表面積.

延伸1.2側(cè)棱垂直于底面，且底面多邊形存在外接圓的棱錐可補(bǔ)形為圓柱，該棱錐的外接球與對(duì)應(yīng)圓柱的外接球相同.

例3(2021屆西南名校高三第三次聯(lián)考)如圖4,已知三棱錐P-ABC中，∠BAC=90°，∠APC=30°，平面PAC⊥平面ABC，AB=AC=4，求三棱錐P-ABC外接球的表面積.

圖4

三、長(zhǎng)方體的外接球

問(wèn)題2記長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，求該長(zhǎng)方體外接球的半徑.

圖5

例4(2017年·全國(guó)卷Ⅱ)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，求球O的表面積.

解析設(shè)球O的半徑為R，則(2R)2=32+22+12=14，故表面積為14π.

延伸在長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，選取不共面的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，則該三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同.

根據(jù)不同的取點(diǎn)方法，可以得到如下兩類三棱錐：①側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱錐，如圖6(1)(2)；②對(duì)棱長(zhǎng)相等的三棱錐，如圖6(4).對(duì)于圖6(3)，△ABP與△ACP均是以AP為斜邊的直角三角形，則AP的中點(diǎn)到A,B,C,P的距離相等，由球的定義知AP為球的直徑.

圖6

解析因?yàn)锳C2+AB2=BC2，所以△ABC為以BC為斜邊的直角三角形.又因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以可補(bǔ)形為如圖6(2)所示的長(zhǎng)方體.由題設(shè)知長(zhǎng)、寬、高分別為2，2，2，所以外接球半徑R滿足(2R)2=22+22+22，即4R2=12，則表面積為12π.

則a2+b2+c2=9，故外接球的表面積為4πR2=π(a2+b2+c2)=9π.

注長(zhǎng)方體是特殊的直棱柱，其外接球問(wèn)題可以利用圓柱模型求解.討論長(zhǎng)方體的外接球源于兩方面的思考：(1)長(zhǎng)方體是學(xué)生最先學(xué)習(xí)且最為熟悉的空間幾何體，是學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何中位置關(guān)系的重要載體.對(duì)長(zhǎng)方體外接球球心位置的討論，有助于學(xué)生理解其他幾何體的外接球問(wèn)題.(2)對(duì)棱長(zhǎng)相等的三棱錐，不易補(bǔ)形成圓柱.

四、圓錐的外接球

問(wèn)題3記圓錐的高為h，底面圓的半徑為r，求該圓錐外接球的半徑.

圖7

延伸如圖8，以圓錐底面圓的任意內(nèi)接多邊形為底面，圓錐的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的棱錐的外接球與該圓錐的外接球相同.即頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面外接圓圓心的棱錐(側(cè)棱長(zhǎng)相等)可補(bǔ)形為圓錐.

圖8

例8(2014年·全國(guó)卷)若正四棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該棱錐外接球的表面積.

五、一般多面體的外接球

對(duì)于一般多面體的外接球問(wèn)題，可以考慮以下解決辦法：

思路1考慮多面體不在同一平面內(nèi)的部分頂點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體或旋轉(zhuǎn)體的外接球問(wèn)題.

圖9

思路2類比三角形外接圓圓心位置的確定方法，確定多面體外接球的球心.

因?yàn)榍蛐脑谶^(guò)截面圓圓心且垂直于截面的直線上，分別過(guò)多面體相交的兩個(gè)側(cè)面的外心作平面的垂線，那么兩條垂線的交點(diǎn)就是該多面體外接球的球心，交點(diǎn)到任意頂點(diǎn)的距離為半徑.

例10如圖10，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，求折疊后所得四棱錐A-BDEC的外接球的表面積.

圖10

一般結(jié)論如圖11(1)，記△ABC的外心為O1，△PAB的外心為O2，過(guò)O1,O2分別作平面ABC、平面PAB的垂線m,n，則直線m,n的交點(diǎn)即為外接球的球心O.取AB的中點(diǎn)為D，則O1D⊥AB,O2D⊥AB，設(shè)∠O1DO2=θ(θ為二面角P-AB-C所成平面角的大小).

圖11

六、歸納總結(jié)

空間中，不在同一平面內(nèi)的四點(diǎn)確定一個(gè)球.若一個(gè)多面體存在外接球，則只需在多面體的頂點(diǎn)中合理地選擇不在同一個(gè)平面內(nèi)的四點(diǎn)，那么這四點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的外接球就是該多面體的外接球.故解決三棱錐的外接球問(wèn)題是關(guān)鍵.

對(duì)于一般的三棱錐，結(jié)合題設(shè)中所給的結(jié)構(gòu)特征(如面面垂直)，類比三角形的外接圓，利用兩個(gè)面的“中垂線”確定球心，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解即可.

七、教學(xué)建議

多面體外接球球心的確定因結(jié)構(gòu)特征的不同，解決方法也不同，但其本質(zhì)都是球截面性質(zhì)的應(yīng)用.

在教學(xué)過(guò)程中，教師可借助信息技術(shù)手段，通過(guò)“截面的性質(zhì)與弦的性質(zhì)、圓柱的外接球與長(zhǎng)方形的外接圓、圓錐的外接球與等腰三角形的外接圓、三棱錐的外接球與三角形的外接圓”的類比，動(dòng)態(tài)地展示平面圖形向空間圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在圓柱、圓錐兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體外接球的基礎(chǔ)上對(duì)多面體的外接球進(jìn)行思考，以小見(jiàn)大，深入挖掘，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生從源頭上分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展.