從畫圖教學(xué)法談小學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)

◎張夏嫻

(福建廈門集美區(qū)三社小學(xué) ，福建 廈門 361023)

一、引言

隨著信息傳遞形式的多樣化，信息的載體不再僅限于文字符號，圖像圖形作為重要的信息載體在學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中扮演著越來越重要的角色.除了大量的幾何圖形，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中還會遇到各種類型的函數(shù)圖像、統(tǒng)計圖表以及結(jié)構(gòu)化圖形.為了適應(yīng)學(xué)習(xí)生活，學(xué)生必須具備一定的識圖、讀圖、畫圖的能力，了解并熟悉常見圖形的性質(zhì)特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)特征，并能借助圖形直觀地表述問題、解釋現(xiàn)象、呈現(xiàn)思路、探索結(jié)果.可以這樣說，直觀想象是學(xué)生必須具備的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng).

圖形是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要構(gòu)成部分，也是數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)的重要組成部分，把圖形融入日常的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生圖形運(yùn)用的能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本要求，也是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的一個重要方式.

二、畫圖教學(xué)法的內(nèi)容界定

本文所提到的畫圖教學(xué)法是一種用于輔助教學(xué)的方法，旨在幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識，快速地掌握數(shù)學(xué)技能，進(jìn)而深刻明白數(shù)學(xué)原理，主要指以下四個方面：(1)用畫圖的方式引導(dǎo)學(xué)生對一些幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行初步的探究，并指導(dǎo)學(xué)生利用畫圖的方式來梳理幾何圖形之間的關(guān)系，比如通過添線割補(bǔ)的方式對梯形的面積公式進(jìn)行探究；(2)用畫圖的方式來表示數(shù)量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生解決相應(yīng)的代數(shù)問題，讓學(xué)生體會圖形在解決數(shù)學(xué)問題時的直觀作用；(3)引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方式探索變化的規(guī)律，并對變化的過程進(jìn)行總結(jié)和反思，對變化的趨勢進(jìn)行合理的預(yù)測；(4)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會看思維導(dǎo)圖，并能獨(dú)立地畫出思維導(dǎo)圖，用以闡述要素之間的關(guān)系.

畫圖教學(xué)法實施的前提是學(xué)生要有一定的識圖、看圖的能力，對不同圖形的性質(zhì)要有一定的了解.比如規(guī)則圖形(長方形、正方形、三角形、平行四邊形)由哪些具體的要素構(gòu)成，要素之間有什么特殊的關(guān)系；不同類型的統(tǒng)計圖在描述數(shù)據(jù)方面的特點(diǎn)不同，讀圖時要注意有效信息捕獲的關(guān)鍵點(diǎn)在哪；圖形運(yùn)動變化(對稱、平移、旋轉(zhuǎn))的特點(diǎn)是什么，是否能正確找出對應(yīng)元素；描述物體位置時，學(xué)生是否能從中順利讀出相應(yīng)的數(shù)學(xué)量(方位角)；描述運(yùn)動變化的圖像時，學(xué)生是否能正確知曉里面的變量代表的實際含義，是否能清楚圖像里蘊(yùn)含的運(yùn)動變化規(guī)律，等等.這些都是對學(xué)生識圖和畫圖提出的具體要求，學(xué)生只有能較為熟練地識圖、看圖，才有可能正確地畫圖，從而把圖形運(yùn)用到解決數(shù)學(xué)問題中去.

三、從畫圖教學(xué)法談小學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的具體策略

(一)注重畫圖示范，善用教學(xué)工具

小學(xué)階段對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)需要依托具體的實物或者具體的情境，因此教具的使用就顯得尤為重要.比如在進(jìn)行立體圖形和平面圖形的教學(xué)時，教師需要用大量的實物模型來增強(qiáng)學(xué)生對知識的理解，同時教師需要把抽象的幾何圖形呈現(xiàn)在黑板上，這一過程要求教師規(guī)范地使用作圖工具，并且要注意畫圖的示范性和程序化.學(xué)生經(jīng)常對作圖工具的具體功能模糊不清，比如用圓規(guī)比較角的大小.所以畫圖教學(xué)法的第一步就是向?qū)W生介紹各個作圖工具的用處，并教會學(xué)生正確使用它們，使學(xué)生能規(guī)范測量、正確讀數(shù)，這些都是精確作圖的前提，圖形的準(zhǔn)確度對學(xué)生早期幾何直觀能力的形成有重要的作用.畫圖教學(xué)法的第二步就是引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地使用這些作圖工具.比如可以把圓規(guī)和直尺組合使用，用來畫“一條線段等于已知線段”，把三角板有規(guī)律地疊放使用，用來畫一些特殊度數(shù)的角(15°，75°，105°等)，把直尺和量角器組合使用，用來畫任意度數(shù)的角，等等.通過對這些作圖工具的組合使用，學(xué)生會對工具的功能性有進(jìn)一步的了解，同時也對“尺規(guī)作圖”埋下種子.畫圖教學(xué)法的第三步就是要對畫圖過程進(jìn)行科學(xué)、有步驟、有思維的示范，不能只重視圖形的形似，更應(yīng)該關(guān)注畫圖過程中蘊(yùn)含的邏輯思維.比如，畫等腰三角形和平行四邊形時可以嘗試以這樣的方式進(jìn)行示范(如圖1)：

圖1

畫等腰三角形時，先畫底邊，再畫出底邊的對稱軸，接著在對稱軸上任取一點(diǎn)，從而畫出等腰三角形，這樣的畫圖示范不僅凸顯了等腰三角形的軸對稱性質(zhì)，也讓等腰三角形的各個要素之間產(chǎn)生了緊密的關(guān)聯(lián)，學(xué)生的幾何直觀能力由此上升了一個層級.

畫平行四邊形時，從它的對角線互相平分這個性質(zhì)入手，雖然小學(xué)生無法定性分析畫圖原理，但是這樣的畫法比較準(zhǔn)確和規(guī)范，有利于學(xué)生更為深入地了解平行四邊形的特性.

當(dāng)然，手工畫圖遠(yuǎn)不如使用信息技術(shù)畫圖精確，所以教師在課上進(jìn)行畫圖示范時，可以借用幾何畫板把圖形呈現(xiàn)出來，并且動態(tài)演示圖形的形成和變化的過程，讓學(xué)生形成動態(tài)的幾何觀，這是黑板制圖所無法比擬的.如果條件和課時允許，教師可以把數(shù)學(xué)課堂拓展到電腦機(jī)房，教給學(xué)生一些簡單的用幾何畫板畫圖的方法，讓學(xué)生在畫圖過程中體會幾何的對稱美、迭代美.

(二)注重圖形關(guān)聯(lián)，利用畫圖整合

小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的常用幾何圖形類型眾多，樣式齊全，但是因為缺乏定性分析，所以看起來各圖形間稍顯獨(dú)立.長期割裂地學(xué)習(xí)各圖形，不利于學(xué)生幾何模塊知識系統(tǒng)的形成，所以關(guān)聯(lián)式的教學(xué)是幾何教學(xué)中常用的教學(xué)方法，因此，利用畫圖進(jìn)行圖形之間的關(guān)聯(lián)再合適不過.圖形之間存在著諸多的聯(lián)系，如四邊形的問題要轉(zhuǎn)化成三角形來解決，正方形里蘊(yùn)含著等腰直角三角形，長方形其實是由兩個直角三角形拼湊而成的，菱形是由兩個大小形狀一致的等腰三角形組成的，等等.因此教師在教學(xué)時要善用圖形來直觀地闡明這些關(guān)系，幫助學(xué)生厘清各圖形之間的關(guān)聯(lián).比如，長方形和菱形的關(guān)系圖以及圓和正方形的關(guān)系圖(如圖2).在這些關(guān)系圖里，圖形之間的聯(lián)系不言而喻.常畫這樣的關(guān)系圖，可以培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光去看待數(shù)學(xué)世界，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想.再如，在探究梯形的面積公式的過程中，可以通過分割或者補(bǔ)全梯形，把梯形的面積問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形的面積問題來解決，如圖3(以等腰梯形為例).在這些示例圖里，梯形的面積問題通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成三角形、長方形、平行四邊形的面積來解決，這不僅大大提高了學(xué)生處理圖形的能力，也為輔助線的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ).

圖2

圖3

另外，圖形的運(yùn)動變化也是畫圖教學(xué)的重點(diǎn)，義務(wù)教育階段側(cè)重全等形，大部分全等形都可以由一個原圖形通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)得到，所以把圖形的位置變化融入畫圖教學(xué)，不僅可以強(qiáng)化關(guān)聯(lián)式幾何教學(xué)的效果，還可以培養(yǎng)學(xué)生動態(tài)的幾何觀.另外,學(xué)生多畫立體圖形與它的展開圖，也有助于其動態(tài)幾何觀的形成.因此，教師在教學(xué)中，可以要求學(xué)生多畫立體圖形及其展開圖，再一次強(qiáng)化圖形之間的關(guān)聯(lián)，這有利于學(xué)生空間觀念的培養(yǎng).

(三)巧借畫圖解題，善用數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，數(shù)與形的關(guān)系密不可分，數(shù)少形時少直觀，所以可以借助畫圖來輔助解決一些代數(shù)問題.比如行程問題中的相遇與追及問題，可以通過畫線段圖進(jìn)行呈現(xiàn)，從而幫助學(xué)生厘清題目中的數(shù)量關(guān)系.

例1甲、乙兩人分別從A地和B地出發(fā)，相向而行.甲的速度為5 m/s，乙的速度為6 m/s，如果A,B兩地相距2 km，經(jīng)過多長時間甲、乙兩人相遇？

畫線段圖(如圖4)：

圖4

利用線段圖可以對題中的運(yùn)動情境進(jìn)行自由的切換和改造，例如在相遇的情境中增設(shè)往返情節(jié)(循環(huán)往復(fù))，把線段變成一個圓周，在圓周上完成相遇和追及問題，增設(shè)幾個線段上的點(diǎn)，賦予其運(yùn)動過程一些干擾因素，等等.線段是直線的一部分，借助線段的和差性質(zhì)可以計算數(shù)量的和差，完美地把圖形和數(shù)量結(jié)合在一起.其實小學(xué)階段的線段圖和初中階段的數(shù)軸密不可分，因此，教師在進(jìn)行線段圖教學(xué)時，要時刻注意對數(shù)軸特征的滲透，比如讓學(xué)生潛移默化地感受相反數(shù)、絕對值、兩點(diǎn)間距離等概念的幾何意義.這樣不僅可以為學(xué)生初中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也可以讓學(xué)生深刻體會數(shù)與形之間的緊密關(guān)系.

除了常見的行程問題，借助畫圖還能直觀地呈現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律、式子的性質(zhì).比如借助溫度計理解簡單的負(fù)數(shù)運(yùn)算，通過畫圖理解等式的性質(zhì)，利用圖形闡述乘法交換律，等等.另外，借助畫圖還可以鍛煉學(xué)生的逆向思維.比如，計算下列圖形(如圖5)面積：

圖5

如果從正面分割圖形，會比較復(fù)雜，學(xué)生要經(jīng)歷多次的分塊計算，計算的風(fēng)險變大.另外，如果學(xué)生不能正確分割，很可能無法求出分割出的各部分圖形面積.但是，如果學(xué)生利用逆向思維，選擇先觀察圖形結(jié)構(gòu)特征，然后畫圖補(bǔ)全圖形，再用大正方形面積減去小正方形面積就能快速算出結(jié)果.

用畫圖來解決代數(shù)問題的案例還有很多，這種解題方法的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用圖形中各個要素之間的數(shù)量關(guān)系來解題，所以教師在利用畫圖教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)時，要多設(shè)置一些環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)地觀察圖形，使其能通過畫圖或者對圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?biāo)識，從而挖掘出圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系，再利用這些數(shù)量關(guān)系解題.用畫圖的方法解題其實就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來看待數(shù)學(xué)問題.數(shù)形結(jié)合是幾何直觀最高階的能力層級，在小學(xué)階段滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學(xué)生形成比較穩(wěn)固的幾何直觀思想.

(四)繪制統(tǒng)計圖表，滲透函數(shù)思想

統(tǒng)計圖表在描述數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散趨勢方面有獨(dú)到的用處，學(xué)生可以利用統(tǒng)計圖表把一堆雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行有序的呈現(xiàn).繪制統(tǒng)計圖表可以幫助學(xué)生順利地獲取數(shù)據(jù)里面蘊(yùn)含的規(guī)律，讓學(xué)生真真切切地用數(shù)學(xué)知識來解決實際生活中的問題.比如扇形統(tǒng)計圖的繪制過程，學(xué)生不僅對圓中占比這一概念有了更深刻的認(rèn)識，也對圓的性質(zhì)有了進(jìn)一步的了解.再如，折線統(tǒng)計圖其實就是函數(shù)圖像的雛形.如果教師能在教學(xué)折線統(tǒng)計圖時有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注折線統(tǒng)計圖中的函數(shù)特征，這對于學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識有很大的幫助.函數(shù)圖像的繪制和使用是幾何直觀能力培養(yǎng)里很重要的部分，這是因為函數(shù)既含有數(shù)的特征又蘊(yùn)含形的特征.因此，在小學(xué)階段，教師應(yīng)該有意識地進(jìn)行函數(shù)觀念的滲透，比如在進(jìn)行混合運(yùn)算時，教師可以把運(yùn)算過程繪制成程序框圖，使學(xué)生初步感受對應(yīng)關(guān)系和對應(yīng)法則，

例2李爺爺說：“把我的年齡加上12再除以4，然后減去15，再乘以10，恰好是100歲.”李爺爺有________歲.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出程序框圖(如圖6).

圖6

對于“數(shù)對”這一節(jié)課，教師可以讓學(xué)生通過班級里特殊位置的分布感受數(shù)與形之間的關(guān)系.比如第一排第一列(1，1)的同學(xué)，第二排第二列(2，2)的同學(xué)，第三排第三列(3，3)的同學(xué)，他們的位置在一條直線上.學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)數(shù)對里的數(shù)字規(guī)律，也可以直觀地看到數(shù)對所反饋出的圖形特征.如果把班級里學(xué)生的位置用圖形簡化出來，讓學(xué)生在紙上或平板上進(jìn)行紙筆操作，更能幫助學(xué)生完成從數(shù)到形的直觀過渡.學(xué)生用數(shù)對呈現(xiàn)出班級里學(xué)生的位置分布后，讓他們把剛才眼睛所看到的這一條直線畫出來，這樣，學(xué)生就能更加深化從數(shù)到形的認(rèn)識.最后問學(xué)生這樣的問題：第十排第十列的同學(xué)會在這一條直線上嗎？你還能找到其他的直線嗎？這條直線上的數(shù)對有什么特點(diǎn)？通過這樣一系列的畫圖過程，學(xué)生對于函數(shù)圖像的直觀感受已經(jīng)初步形成，如果教師再在“折線統(tǒng)計圖”的教學(xué)里，讓學(xué)生預(yù)測折線走勢，并從生活里加以印證，那么學(xué)生對函數(shù)圖像的認(rèn)同感就會劇增，幾何直觀能力也會因為函數(shù)圖像的加入，在小學(xué)階段顯得更加多維.

(五)繪制思維導(dǎo)圖，梳理從屬關(guān)系

繪制思維導(dǎo)圖或者關(guān)系圖也是畫圖教學(xué)法的重要組成部分，利用圖形的直觀性把知識要點(diǎn)進(jìn)行簡明扼要的呈現(xiàn)，可以提高學(xué)生的復(fù)習(xí)效率.在繪制思維導(dǎo)圖時，學(xué)生的幾何直觀能力也會進(jìn)一步得到提升.學(xué)生可以先利用數(shù)學(xué)的方式來繪制思維導(dǎo)圖，然后以數(shù)學(xué)的方式利用思維導(dǎo)圖對知識模塊進(jìn)行描述和詳細(xì)分析，這大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及邏輯思維的品質(zhì).思維導(dǎo)圖可以將知識點(diǎn)之間的聯(lián)系清晰地呈現(xiàn)出來，它是一種重要的關(guān)系圖，除了可以用來直觀地梳理知識點(diǎn)之間的關(guān)系外，還可以用來解決一些數(shù)量關(guān)系問題和從屬關(guān)系問題.

例3學(xué)校里有足球、籃球兩個體育興趣小組，六(5)班有32人參加了足球興趣小組，有24人參加了籃球興趣小組，六(5)班共有48名同學(xué)并且全部參加了這兩個體育興趣小組.有多少名同學(xué)同時參加了兩個體育興趣小組？

關(guān)系圖(如圖7)：

圖7

參加足球興趣小組32人 參加籃球興趣小組24人

在上面的圖形中，數(shù)量之間的關(guān)系被清晰地呈現(xiàn)出來，學(xué)生利用各個量之間的從屬關(guān)系能快速地解決問題.

數(shù)學(xué)是一門注重邏輯推理的學(xué)科，思維導(dǎo)圖是一種與邏輯關(guān)系有關(guān)的結(jié)構(gòu)圖，幾何直觀的本質(zhì)就是借助圖形有邏輯地理解數(shù)學(xué).所以，這三者之間相互契合，相輔相成.