借數(shù)學建模之風 提升核心素養(yǎng)

◎吳龍澤

(華南師范大學數(shù)學科學學院,廣東 廣州 510631)

一、問題的提出

“數(shù)學建?！彪m是老話重提，但是在新課標中的地位越發(fā)顯著.它是數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，是應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的基本手段，是推動數(shù)學發(fā)展的外部驅(qū)動力.從現(xiàn)實性來看，華羅庚先生在《大哉，數(shù)學之為用》一文中說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學.”數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活.從文化性來看，南開大學顧沛教授曾指出數(shù)學不僅包含數(shù)學思想、方法等，還包含數(shù)學史，數(shù)學與社會、各種文化等的聯(lián)系.從選拔性考試來看，近幾年高考數(shù)學建模試題比重增大，難度增加，綜合性增強，能力要求更高，突出實際應(yīng)用，在高考中舉足輕重.

基于較長時間的個人觀察和感悟，通過與一線教師、教研員的交流，筆者發(fā)現(xiàn)學生在數(shù)學建模這一模塊的學習效果與教師的期望值有著一定的偏差，所以筆者以此為出發(fā)點，致力于研究學生在數(shù)學建模方面所表現(xiàn)出的特點和不足.

二、數(shù)據(jù)收集

選取2019年人教A版高中數(shù)學必修第一冊第4章的數(shù)學建?！⒑瘮?shù)模型解決實際問題這節(jié)課，研究內(nèi)容是建立高一學生身高與體重的函數(shù)模型.在高一10個班級里隨機抽取3個班，以不記名的方式記錄每位學生的性別、身高和體重，身高單位是cm，體重單位是kg，研究對象有131人.

三、結(jié)果與分析

在分析過程中，只考慮體重與身高的關(guān)系，忽略地域、年齡等其他因素的影響.運用MATLAB數(shù)學軟件對數(shù)據(jù)進行分析.其結(jié)果如下：全部研究對象的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是184和86，最小值分別是148和36，算術(shù)平均值分別是165.2748和56.6870，幾何平均值分別是165.0828和55.8430，和諧平均值分別是164.8920和55.0474，調(diào)整平均值分別是165.2636和56.6202，回歸系數(shù)的最小二乘估計是0.3440，其95%置信度的置信區(qū)間是[0.3350，0.3531]，其散點圖如圖1所示.

圖1

根據(jù)高一學生所學函數(shù)和散點圖特點對其函數(shù)模型進行擬合，擬合結(jié)果如下：

擬合結(jié)果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，正弦型函數(shù)的擬合效果最好.

General model Fourier1:f(x)=a0+a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)

Coefficients(with 95% confidence bounds):

a0=60.57(55.05，66.09)

a1=8.642(-53.08，70.36)

b1=-6.715(-93.84，80.41)

w=0.09762(0.03779，0.1574)

其擬合后的圖像如圖2所示.

圖2

因為男生和女生的生長速度和機能有所不同，所以把研究對象131名學生按性別區(qū)分，其中男學生66名，女同學65人.分析結(jié)果如下：男同學的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是184和86，最小值分別是158和45，算術(shù)平均值分別是171.5303和62.7121，幾何平均值分別是171.4378和61.9145，和諧平均值分別是171.3451和61.1229，調(diào)整平均值分別是171.5469和62.6250，回歸系數(shù)的最小二乘估計是0.3660，其95%置信度的置信區(qū)間是[0.3524，0.3795]，其散點圖如圖3所示.

圖3

對其函數(shù)模型進行擬合，擬合結(jié)果如下：

modelGoodnessof fit f(x)=p1?x+p2f(x)=p1?x^2+p2?x+p3f(x)=p1?x^3+p2?x^2+p3?x+p4f(x)=a?exp(b?x)f(x)=a0+ a1?cos(x?w)+w)+b1?sin(x?w)f(x)=a?x^bf(x)= a?x^b+cSSE5574557055185571551355725571R-square0.15720.15770.16570.15760.16650.15750.1577AdjustedR-square0.14410.1310.12530.14440.12610.14440.1309RMSE9.3329.4039.4349.339.4299.339.404

擬合結(jié)果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，比上面全部同學的數(shù)學模型擬合效果更好，其中正弦型函數(shù)的擬合效果最好.

General model Fourier1:f(x)=a0+a1*cos(x*w)+ b1*sin(x*w)

Coefficients(with 95% confidence bounds):

a0=63.35(57.93，68.77)

a1=0.347(-186.5，187.2)

b1=6.82(-0.4588，14.1)

w=0.1455(-0.01495，0.3059)

其擬合后的圖像如圖4所示.

圖4

女同學的身高(cm)和體重(kg)的最大值分別是167和61，最小值分別是148和36，算術(shù)平均值分別是158.9231和50.5692，幾何平均值分別是158.8710和50.2869，和諧平均值分別是158.8186和50.0009，調(diào)整平均值分別是158.9683和50.6349，回歸系數(shù)的最小二乘估計是0.3180，其95%置信度的置信區(qū)間是[0.3095，0.3265]，其散點圖如圖5所示.

圖5

對其函數(shù)模型進行擬合，擬合結(jié)果如下：

modelGoodnessof fit f(x)=p1?x+p2f(x)=p1?x^2+p2?x+p3f(x)=p1?x^3+p2?x^2+p3?x+p4f(x)=a?exp(b?x)f(x)=a0+ a1?cos(x?w)+w)+b1?sin(x?w)f(x)=a?x^bf(x)=a?x^b+cSSE1834180217421834180818331831R-square0.0012180.01870.051220.0011950.015450.0013690.002826AdjustedR-square-0.01464-0.012960.004554-0.01466-0.03297-0.01448-0.02934RMSE5.3955.3915.3445.3955.4445.3955.434

擬合結(jié)果相差不大，模型雖然不是很理想，但是相對而言，三次函數(shù)的擬合效果最好.

Linear model Poly3:f(x)= p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

Coefficients(with 95% confidence bounds):

p1=0.008315(-0.003185，0.01982)

p2=-3.968(-9.414，1.478)

p3=630.7(-228.5，1490)

p4 = -3.335e+04(-7.851e+04，1.181e+04)

其擬合后的圖像如圖6所示.

圖6

類似于BMI的計算方式，根據(jù)學生身高與體重的正弦型擬合函數(shù)，計算出每位同學擬合后的體重，接著算出每位同學實際體重與擬合后體重的比值，這個比值如果大于1.2，則表示這位同學偏胖，如果低于0.8，則表示這位同學偏瘦，其他為正常.其分析結(jié)果如下：最大比值是1.333，最小比值是0.7128，其中比值為0.7—0.8的有6人，0.8—0.9的有28人，0.9—1.0的有35人，1.0—1.1的有29人，1.1—1.2的有27人，1.2—1.3的有4人，1.3—1.4的有2人，即偏瘦的有6人，其中2名女生、4名男生，偏胖的有6人，全部是男生，其他119人均在正常范圍內(nèi).

四、研究結(jié)果的討論

在數(shù)學建?；顒拥恼麄€過程中，學生興趣高漲，有新鮮感，分工明確，計劃周詳，結(jié)果較理想，但是也暴露了一些不足.

1.數(shù)學建模思想薄弱，甚至為零

從小學到初中再到高中，考試分數(shù)一直都是學生學習的指揮棒.學生雖然接觸過數(shù)學模型，但是很少有人系統(tǒng)地學習此模塊，甚至有的學生連什么是數(shù)學建模都不知道.在對50名學生的訪談中，只有3名學生了解數(shù)學建模思想，明確分工合作、活動流程等，有10名學生僅限于聽說過，甚至有5名學生對此認識為零.

2.動手操作能力不強，學習能力不足，分析能力不高

從組建團隊、開展研究活動到撰寫研究報告、交流展示，大多數(shù)學生處于懵懵懂懂的狀態(tài)，他們對數(shù)據(jù)分析僅限于平均值的計算，而對于如何對函數(shù)模型進行擬合完全不懂.在學習MATLAB數(shù)學軟件時，學生的自學能力不足，更缺乏鉆研精神.

3.興趣泛泛，參與度不夠

學生對學習數(shù)學的目標還停留在學習課堂知識，掌握基礎(chǔ)知識，考出好成績.學生對于這種研究活動缺乏興趣，其參與度自然不夠，全班參加的人數(shù)只有8人，只占六分之一.

五、啟示與建議

數(shù)學建模不僅對實際生活有重大影響，而且在選拔性考試中，數(shù)學建模的占分比重越來越大，因此針對以上不足，提出以下幾點建議.

1.教師方面

在課堂教學中，教師是學生的引導者，因此在教學建模時，學生想要更好地接受其思想，教師的作用至關(guān)重要.對此，教師要在日常的教學過程中，多灌輸數(shù)學建模思想，關(guān)注數(shù)學實際應(yīng)用，開闊數(shù)學建模眼界，優(yōu)化課堂教學過程，提高數(shù)學建模能力，同時，完善和補充自身的知識儲備，對知識、建模等爛熟于心.再者，建立良好的師生關(guān)系，激發(fā)學生的積極性，提高學生的參與度，促進學生個人發(fā)展.

2.學生方面

首先，在繁重的學習壓力下，學生要安排一定時間學習數(shù)學建模知識，探究問題的本源和實際應(yīng)用場景，通過數(shù)學建模，洞察現(xiàn)實生活案例，解決生活問題.其次，教師要加強學生之間的團隊合作精神.數(shù)學建模活動是一個多人合作的項目，由于個人的差異，問題看法角度不同，往往會有不同的答案，這就需要團隊的溝通，求同存異.最后，學生要提高信息處理能力.在收集資料過程中，數(shù)據(jù)龐大，雜亂無章，這就需要學生具有一定的信息處理能力，并且處理數(shù)據(jù)的過程難免會涉及陌生學科領(lǐng)域，這也就要求學生具有一定的自學能力和綜合處理問題的能力.

3.其他方面

在學生學習的過程中，學校能為學生提供一些基礎(chǔ)條件，如聘請專家學者開展座談會，提高學生的學習欲望，定期進行數(shù)學建模比賽.同時，家庭和社會也應(yīng)該給予更多的關(guān)注.社會需要的是擁有出色實踐能力的復合型人才，這也要求家長和社會對學生的培養(yǎng)更偏重于綜合發(fā)展.