函數(shù)周期性、奇偶性、對(duì)稱性之間的關(guān)系
——一道高考題引發(fā)的思考

◎何德材

(梧州高級(jí)中學(xué)，廣西 梧州 543002)

函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性和單調(diào)性是函數(shù)的主要性質(zhì)，是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，近幾年全國各省市的高考題都有對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查，考題形式多樣，難度也不盡相同.筆者從一道高考題入手，探討函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性之間的一些內(nèi)在聯(lián)系.

我們先回顧一下函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的概念和一些要點(diǎn).

周期性：一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在一個(gè)不為0的常數(shù)T，使得對(duì)于任意x∈D都有f(x+T)=f(x)，那么y=f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做周期，kT(T的整數(shù)倍)也是它的周期.

常用結(jié)論：

①若f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，b-a是它的一個(gè)周期;

②若f(x+a)=-f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期;

奇偶性：對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)；對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù).

我們?cè)倏聪鄳?yīng)的高考題：

(2018·全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

題中條件給出了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，求從1到50的函數(shù)值之和，明顯與周期性有關(guān)，這就意味著要根據(jù)所給的奇偶性及對(duì)稱性求函數(shù)的周期.那么如何由奇偶性、對(duì)稱性求函數(shù)的周期性呢？

定理1若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù).(若函數(shù)圖像在定義域內(nèi)關(guān)于兩條垂直于x軸的直線對(duì)稱，則該函數(shù)為周期函數(shù))

證明因?yàn)閳D像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f(x)=f(2a-x).

因?yàn)閳D像關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f(x)=f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m.

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=f(m+2(b-a))，

即f(x)=f(x+2(b-a)),2(b-a)為函數(shù)周期.

推論若偶函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期.

定理2若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù).(若函數(shù)圖像在定義域內(nèi)關(guān)于x軸上的兩點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為周期函數(shù))

證明因?yàn)閳D像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，所以f(x)=-f(2a-x).

因?yàn)閳D像關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，所以f(x)=-f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m，

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=f(m+2(b-a))，

即f(x)=f(x+2(b-a)),2(b-a)為函數(shù)周期.

推論若奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期.

定理3若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與點(diǎn)(b,0)(a≠b)，則y=f(x)是以T=4(b-a)為周期的周期函數(shù).(若函數(shù)圖像在定義域內(nèi)關(guān)于一條垂直于x軸的直線及x軸上的一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為周期函數(shù))

證明因?yàn)閳D像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f(x)=f(2a-x).

因?yàn)閳D像關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，所以f(x)=-f(2b-x).

令m=2a-x，則x=2a-m，

所以2b-x=2b-(2a-m)=m+2(b-a)，

故f(m)=-f(m+2(b-a))，

即f(x)=-f(x+2(b-a)),4(b-a)為函數(shù)周期.

推論1若奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期.

例1已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(1-x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x2，則f(2019)=________.

解因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù)，

所以f(-x)=-f(x)，

所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)=-[-f(x-3)]=f(x-3)，即f(x+4)=f(x)，

所以函數(shù)y=f(x)的周期為4，

則f(2019)=f(2019-4×505)=f(-1)=-f(1)=-12=-1.

故答案為-1.

推論2若偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4a是它的一個(gè)周期.

歸納定理1，2，3及其推論1,2都是由一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱關(guān)系得到周期的推導(dǎo).

例2若函數(shù)f(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，它既關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又關(guān)于直線x=3對(duì)稱，那么函數(shù)f(x)( ).

A.不是周期函數(shù)

B.是周期為1的函數(shù)

C.是周期為2的函數(shù)

D.是周期為4的函數(shù)

解由題意得f(x)=f(2-x)，f(t)=f(6-t).

令t=2-x，則f(x)=f(2-x)=f[6-(2-x)]=f(x+4)，

故f(x+4)=f(x).

故答案為D.

例3已知函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，且?x∈R有f(x)+f(-x)=4.當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)=x+2.則下列說法錯(cuò)誤的是( ).

A.f(x)的周期T=8

B.f(x)的最大值為4

C.f(2021)=2

D.f(x+2)為偶函數(shù)

解∵函數(shù)y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，

∴函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱.

∴f(-2+x)=f(-2-x).

∵?x∈R有f(x)+f(-x)=4，

∴函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,2)中心對(duì)稱，

∴f(-2+x+2)=f[-2-(x+2)]，

即f(x)=f(-4-x)=4-f(-x).

又f(-4-x)+f(x+4)=4，

∴f(x+4)=f(-x)，

∴f[(x+4)+4]=f[-(x+4)]=f(x)，

即f(x+8)=f(x)，f(x+2)=f(-x+2)，

∴f(x)的周期T=8，f(x+2)為偶函數(shù)，即選項(xiàng)A，D正確.

∵當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)=x+2，f(x)+f(-x)=4，

∴當(dāng)x∈[-2,0)時(shí)，-x∈(0,2]，f(x)+(-x+2)=4，

即f(x)=x+2，

∴當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，f(x)=x+2.

又函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，

∴在一個(gè)周期[-6,2]上，f(x)max=f(2)=4，

∴f(x)在R上的最大值為4，即選項(xiàng)B正確.

f(2021)=f(252×8+5)=f(5)=f(1+4)=f(-1)=-1+2=1，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故答案為C.

定理4若周期為T=2a的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a+b,0)對(duì)稱.

證明因?yàn)閳D像關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，所以f(x)=-f(2b-x).

因?yàn)楹瘮?shù)周期為T=2a，所以f(x)=f(2a+x).

則點(diǎn)(a+b,0)為函數(shù)圖像的對(duì)稱中心.

推論1周期為2a的奇函數(shù)f(x)的圖像必有對(duì)稱中心(a,0).

推論2周期為2a的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，則f(x)為奇函數(shù).

定理5若周期為T=2a的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a+b對(duì)稱.

證明因?yàn)閳D像關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f(x)=f(2b-x).

因?yàn)楹瘮?shù)周期為T=2a，所以f(x)=f(2a+x).

則直線x=a+b為函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸.

推論1偶函數(shù)與周期性：周期為2a的偶函數(shù)f(x)的圖像必有對(duì)稱軸x=a.

解∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

∴直線x=0是y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸.

又∵f(1+x)=f(1-x)，

∴直線x=1也是y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸.

故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

故答案為0.3.

推論2函數(shù)f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=a，且周期為2a，則f(x)為偶函數(shù).

歸納定理4，5及其推論都是由一個(gè)函數(shù)的周期性和一個(gè)對(duì)稱性，得到另外一個(gè)對(duì)稱性的推導(dǎo).

例5定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+2)=0，f(4-x)=f(x).現(xiàn)有以下三種敘述：

①8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；

②f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；

③f(x)是偶函數(shù).

其中正確的是

A.②③ B.①② C.①③ D.①②③

解由f(x)+f(x+2)=0可得f(x+2)=-f(x)，

用x+2代替x可得f(x+4)=-f(x+2)，

聯(lián)立可得f(x+4)=f(x)，

所以f(x)是以4為最小正周期的函數(shù)，

所以8是它的一個(gè)周期.

在f(4-x)=f(x)中用x+2代替x可得f(x+2)=f(2-x)，

所以其圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

故答案為B.

考點(diǎn)函數(shù)周期性、對(duì)稱性和奇偶性.

例6若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，f(x+1)是奇函數(shù).現(xiàn)給出下列4個(gè)命題：

①f(x)是周期為4的周期函數(shù)；

②f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱；

③f(x)是偶函數(shù)；

④f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-2,0).

其中正確命題的個(gè)數(shù)是________.

解命題①：由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

所以函數(shù)f(x)的周期為4，故①正確；

命題②：由f(x+1)是奇函數(shù)知f(x+1)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故②正確；

命題③：由f(x+1)是奇函數(shù)得f(1+x)=-f(1-x)，

因?yàn)閒(x+2)=-f(x)，

所以f(-x)=-f(-x+2)=-f(1+1-x)=f(1-(1-x))=f(x)，

所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故③正確；

命題④：f(-2)=-f(-2+2)=-f(0)，

無法判斷其值，故④錯(cuò)誤.

綜上，正確命題的序號(hào)是①②③.

故答案為3.

定理6若周期為T=4(a-b)的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

證明因?yàn)橹芷跒門=4(a-b)，

所以f(x+2(a-b))=-f(x).

因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，所以f(x)=-f(2b-x).

故f(x+2(a-b))=f(2b-x)?直線x=a為對(duì)稱軸.

定理7若周期為T=4(a-b)的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)(a≠b)對(duì)稱.

證明因?yàn)橹芷跒門=4(a-b)，

所以f(x+2(a-b))=-f(x).

因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f(x)=f(2a-x).

故f(x+2(a-b))=-f(2a-x)?點(diǎn)(b,0)為對(duì)稱中心.

歸納定理6，7是由一個(gè)函數(shù)的周期性和一個(gè)對(duì)稱性，得到一個(gè)對(duì)稱性的推導(dǎo).

A.函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且周期T=3

B.函數(shù)y=f(x)在R上有可能是單調(diào)函數(shù)

D.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)

對(duì)于B：由D得f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù)，錯(cuò)誤.

故答案為B.

考點(diǎn)函數(shù)的周期性.

有了上面的推論，我們?cè)賮砜瓷厦嫣岬降母呖碱}：

(2018全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷·11)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.

∵f(1-x)=f(1+x)，∴f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

根據(jù)定理3，函數(shù)的周期為T=4.

由于奇函數(shù)在零點(diǎn)處有定義，故f(0)=0.

令x=1，由f(1-x)=f(1+x)可得f(0)=f(2)=0.

因?yàn)閒(1)=2，

所以f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2，

f(4)=f(4-4)=f(0)=0，

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=0+f(1)+f(2)=2.

故答案為C.

奇偶性、周期性、對(duì)稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，三者之間存在著一定的聯(lián)系，既蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的奧妙，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美.解決與這些性質(zhì)有關(guān)的考題時(shí)常用到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.對(duì)于上面幾個(gè)定理和推論，若通過數(shù)形結(jié)合(正、余弦函數(shù)圖像)去分析、記憶，則會(huì)更為具體和直觀.