賞析幾道概率問題

康風(fēng)星

概率與我們?nèi)粘５纳a(chǎn)與生活聯(lián)系非常緊密.近年的中考試題中，有關(guān)概率問題的考查也在逐步增多.下面以2021年的部分中考試題為例，作簡(jiǎn)單的分析.

1 事件的判定

例1 一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)黑球和4個(gè)白球，這些球除顏色外其他均相同，從中任意摸出3個(gè)球，下列事件為必然事件的是（）

（A）至少有1個(gè)白球. （B）至少有2個(gè)白球.

（C）至少有1個(gè)黑球.（D）至少有2個(gè)黑球.

解 事先能夠肯定一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能夠肯定一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然是件和不可能事件都是確定事件;可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為不確定事件.四個(gè)選項(xiàng)中，只有（A）是必然事件;（B），（C），（D）都為不確定事件.

2 求簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率

表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率;概率的大小反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，用P來(lái)表示.

例2 在桌面上放有四張背面完全一樣的卡片.卡片的正面分別標(biāo)有數(shù)字-1，0，1，3.把四張卡片背面朝上，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字且放回洗勻，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張.則兩次抽取卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率是.

分析 畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到的兩張卡片上標(biāo)有的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果，再由概率公式即可求得答案.

解 畫樹狀圖如圖1.

共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有4個(gè)，

所以兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為負(fù)數(shù)的概率=416=14.

3 結(jié)合典故背景，通過列舉法求概率

理解此類試題考查的是列舉法求概率的技巧，另外畫樹狀圖法（或列表法）適合于兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

例3 “田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2（注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣（C2A1，A2B1，B2C1）獲得了整場(chǎng)比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝?gòu)?qiáng)的經(jīng)典案例.

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利？并求其獲勝的概率;

（2）如果田忌事先無(wú)法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o(wú)疑？若是，請(qǐng)說明理由;若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

分析 通過理解題意分析得出結(jié)論，通過列舉法求出獲勝的概率;

通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對(duì)陣，求出概率.

解 （1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝.

此時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣為：

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），

共四種.

其中田忌獲勝的對(duì)陣有

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1）

共兩種，

故此時(shí)田忌獲勝的概率為P1=12.

（2）不是.

齊王的出馬順序?yàn)锳1，B1，C1時(shí)，

田忌獲勝的對(duì)陣是（C2A1，A2B1，B2C1）;

齊王的出馬順序?yàn)锳1，C1，B1時(shí)，

田忌獲勝的對(duì)陣是（C2A1，B2C1，A2B1）;

齊王的出馬順序?yàn)锽1，A1，C1時(shí)，

田忌獲勝的對(duì)陣是（A2B1，C2A1，B2C1）;

齊王的出馬順序?yàn)锽1，C1，A1時(shí)，

田忌獲勝的對(duì)陣是（A2B1，B2C1，C2A1）;

齊王的出馬順序?yàn)镃1，A1，B1時(shí)，

田忌獲勝的對(duì)陣是（B2C1，C2A1，A2B1）;

齊王的出馬順序?yàn)镃1，B1，A1時(shí)，田忌獲勝的對(duì)陣是（B2C1，A2B1，C2A1）.

綜上所述，田忌獲勝的所有對(duì)陣是

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），

（A1B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C2，C2A1），

（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）.

齊王的出馬順序?yàn)锳1，B1，C1時(shí)，比賽的所有可能對(duì)陣是

（A2A1，B2B1，C2C1），（A2A1，C2B1，B2C1），

（B2A1，A2B1，C2C1），（B2A1，C2B1，A2C1），

（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2B1，A2C1），

共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對(duì)陣，

所以，此時(shí)田忌獲勝的概率

P2=636=16.

4 公平游戲的判斷及規(guī)則的修改設(shè)計(jì)問題

例4 如圖2是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被等分成3個(gè)扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個(gè)扇形，每一個(gè)扇形上都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字.小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則是：

同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，小穎獲勝;指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，為平局;指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，小亮獲勝.如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)數(shù)字為止.

（1）請(qǐng)你通過畫樹狀圖的方法求小穎獲勝的概率.

（2）你認(rèn)為該游戲規(guī)則是否公平？若游戲規(guī)則公平，請(qǐng)說明理由;若游戲規(guī)則不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種公平的游戲規(guī)則.

解 畫樹狀圖如圖3.

可見，共有12種等可能的情況，其中和小于10的有6種.

所以小穎獲勝的概率為612=12.

（2）游戲的規(guī)則是否公平關(guān)鍵是看獲勝的概率，如果概率相等則公平，否則不公平.

由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，

所以小亮獲勝的概率為312=14，顯然12≠14，故該游戲規(guī)則不公平.

游戲規(guī)則在修改后對(duì)于兩方獲勝的概率相等，故此可修改為：當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時(shí)，小亮獲勝;當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時(shí)，小穎獲勝.當(dāng)然修改游戲規(guī)則的方式很多，只要修改后的游戲規(guī)則符合題目要求即可，例如游戲規(guī)則也可修改為：當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí)，小亮獲勝;為偶數(shù)時(shí)，小穎獲勝.

練習(xí)

1.已知粉筆盒內(nèi)共有4支粉筆，其中有3支白色粉筆和1支紅色粉筆，每支粉筆除顏色外，其余均相同，先從中任取一支粉筆是紅色粉筆的概率是.

2.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是.

3.即將舉行的2022年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，如圖4.

將三張正面分別印有以上3個(gè)吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻.

（1）若從中任意抽取1張，抽得得卡片上的圖案恰好為“蓮蓮”的概率是.

（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再?gòu)闹腥我獬槿?張，求兩次抽取的卡片圖案相同的概率.（請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求解）

答案

1.14. 2.12.

3.（1）13.（2）13.