兩個特殊的三角形

歐利

例1 在△ABE中，AB=8，AE=7，BE=3，求△ABE的面積.

分析 因初中階段還未學(xué)習(xí)正弦定理與余弦定理，所以不能用公式S△ABE=12AB×BE×sinB來求，只能采用傳統(tǒng)面積求法

S△ABE=12×底×高.

解 過點(diǎn)A作AD⊥BE交BE延長線于點(diǎn)D，設(shè)ED=x，圖2

在Rt△ADB中，∠D=90°，

則AD2=AB2-BD2，

在Rt△AED中，∠D=90°，

則AD2=AE2-ED2，

所以AB2-BD2=AE2-ED2，

因?yàn)锳B=8，

BD=3+x，

AE=7，ED=x，

所以82-（3+x）2=72-x2，

所以x=1，

所以AD2=AE2-ED2=48，

所以AD=43，

所以S△ABE=12BE×AD

=12×3×43

=63.

例2 在△AEC中，AC=8，EC=5，AE=7，求△AEC的面積.

解 過點(diǎn)A作AG⊥EC交EC于點(diǎn)G，設(shè)EG=x，

在Rt△AGE中，∠AGE=90°，

則AG2=AE2-EG2，

在Rt△AGC中，

∠AGC=90°，

則AG2=AC2-GC2，

所以AE2-EG2=AC2-GC2，

因?yàn)锳E=7，EG=x，

GC=5-x，AC=8，

所以72-x2=82-（5-x）2，

所以x=1，

所以AG2=AE2-EG2

=72-12

=48，

所以AG=43，

所以S△ABE=12EC×AG=12×5×43=103.

不光如此，我們還發(fā)現(xiàn)：

例1中，Rt△ADB，BD=4，AB=8，可知∠B=60°;

例2中，Rt△AGC，GC=4，AC=8，可知∠C=60°;

△ABE與△AEC的高相等，可以合并成一個邊長為8的等邊三角形，如圖5.

由此不需要借助上述例題中冗長的證明過程，可以直接得到∠B=∠C=60°，即邊長為3，8與邊長為5，8的夾角都是60°.

即以后碰到三角形的邊長是3，7，8和5，7，8時，可拼成一個大的等邊三角形，高為43，面積分別為63，103，且邊長為3，8的夾角與邊長為5，8的夾角均為60°.