初中數(shù)學(xué)教學(xué)中變式教學(xué)的應(yīng)用

曹廷樂

【摘要】變式教學(xué)是指有目的、有計(jì)劃地對命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，以鍛煉靈活運(yùn)用所學(xué)，解決問題能力的一種教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);絕對值;一元二次方程

1 用于絕對值的教學(xué)

原題 如圖1，點(diǎn)M、N、P為數(shù)軸上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)M表示的數(shù)是4，點(diǎn)N表示的數(shù)為-1，動點(diǎn)P表示的數(shù)為x.若點(diǎn)P在點(diǎn)M、N之間，則|x+1|+|x-4|的值為.

因?yàn)镸表示的數(shù)是4，點(diǎn)N表示的數(shù)為-1，點(diǎn)P在點(diǎn)M、N之間，而|x+1|+|x-4|表示的是點(diǎn)P到數(shù)軸上-1、4點(diǎn)的距離之和，即，MN的長度，4-（-1）=5，所以|x+1|+|x-4|=5

變式1 題干不變，問題變?yōu)椋喝魘x+1|+|x-4|=10，則x的值是多少？

由原題解題過程可知點(diǎn)P不可能在M、N之間，接下來需要進(jìn)行分類討論.

當(dāng)點(diǎn)P在N的左側(cè)，即，x<-1時(shí)，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=10，解得x=-72;當(dāng)點(diǎn)P在M點(diǎn)右側(cè)，即，x>4時(shí)，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=10，解得x=132，因此，x的值為-72或132.

變式2 題干不變，問題變?yōu)椋喝酎c(diǎn)P代表的數(shù)是-5，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)，按照每秒一個(gè)單位的速度向右運(yùn)動.當(dāng)經(jīng)過多少秒時(shí)，螞蟻經(jīng)過的點(diǎn)到點(diǎn)M、N的距離之和為8？

解答該題需要求出到點(diǎn)M、N的距離之和為8的點(diǎn)有哪些.根據(jù)母題的解題過程可知，該點(diǎn)不在M、N之間.當(dāng)該點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)時(shí)，|x+1|+|x-4|=-1-x+4-x=8，得到x=-52，此時(shí)螞蟻運(yùn)動的時(shí)間t=-52-（-5）=52s;當(dāng)該點(diǎn)在M點(diǎn)右側(cè)時(shí)，|x+1|+|x-4|=x+1+x-4=8，x=112，此時(shí)螞蟻運(yùn)動的時(shí)間為t=112-（-5）=212s，因此螞蟻運(yùn)動經(jīng)過的時(shí)間為52s或212s滿足題意.

應(yīng)用點(diǎn)評 絕對值是初中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，為更好的鞏固學(xué)生所學(xué)，使學(xué)生把握絕對值知識本質(zhì)，掌握相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)積極開展變式教學(xué)活動.原題考查了學(xué)生對絕對值幾何意義的理解，較為基礎(chǔ).變式一、變式二難度有所增加，在考查學(xué)生對絕對值幾何意義理解的基礎(chǔ)上，指引學(xué)生運(yùn)用分類討論思想解決問題，很好的鍛煉了學(xué)生的解題能力以及解題技巧.

2 用于圓知識的教學(xué)

原題 如圖2所示的Rt△ABC中，O在斜邊上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，分別和BC、AB交于點(diǎn)D、E，連接AD，已知∠CAD=∠B，求證：AD是圓O的切線.

證明 連接OD，因?yàn)镺D=OB，所以∠ODB=∠B，由已知條件可知∠CAD+∠CDA=90°，又因?yàn)椤螩AD=∠B，所以∠ODB+∠CDA=90°，所以∠ADO=90°，又因?yàn)镺D為半徑，因此，AD是圓O的切線.

變式1 在原題的基礎(chǔ)上添加條件∠B=30°，CD=32，求劣弧BD的長.

因?yàn)椤螩AD=∠B=30°，所以AD=2CD=3，∠DAB=30°，因?yàn)锳D⊥OD，所以O(shè)D=ADtan30°=3，又因?yàn)椤螪OB=120°，所以劣弧BD的長為13×23π=23π3.

變式2 在原題的基礎(chǔ)上添加條件AC=2，BD=3，求AE的長.

連接DE.因?yàn)锽E是直徑，所以∠EDB=90°，AC∥ED，又因?yàn)椤螩AD=∠B，所以△ACD∽△BDE，所以AC/BD=CD/DE=23，設(shè)CD=2x，DE=3x.因?yàn)镈EAC=BD/BC，即，3x2=33+2x，解得x=12，所以CD=1，BC=4，則AB=22+42=25.又因?yàn)锳EAB=CDCB，所以AE=52.

應(yīng)用點(diǎn)評 圓在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位.變式教學(xué)活動中原題考查了圓切線以及圓的相關(guān)性質(zhì).變式一考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓心角、劣弧的求法等.變式二考查了三角形相似、平行線分線段等比例關(guān)系.原題、變式一、變式二難度依次增加，激活了學(xué)生思維，拓展了學(xué)生視野.

3 用于拋物線的教學(xué)

原題 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c和x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC=3，頂點(diǎn)為D.請判斷△ACD的形狀.

根據(jù)題意可知A（-3，0），C（0，-3）代入拋物線方程解得 b=2，c=-3，所以y=x2+2x-3，容易求得點(diǎn)D（-1，-4），過點(diǎn)D作DM⊥y軸，易得CM=DM=1，所以∠MCD=∠MDC=45°，又因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA=45°，所以∠ACD=90°，所以△ACD為直角三角形.

變式1 在母題的基礎(chǔ)上，添加問題：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PA=PC，若存在求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x-3），則PA2=（x+3）2+[x2+2x-3]2，PC2=x2+[x2+2x]2，因?yàn)镻A=PC，所以PA2=PC2，整理解得x=-1+132或x=-1-132，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)存在，分別為（-1+132，-1+132）或（-1-132，-1-132）.

變式2 在母題的基礎(chǔ)上，添加問題：若拋物線對稱軸上的一點(diǎn)H（-1，-154），過點(diǎn)H的任意一條和y軸不平行的直線交拋物線與點(diǎn)M、N，探究MH·NHMN是否為定值.

根據(jù)題意設(shè)過程點(diǎn)H的直線為y=kx+k-154，設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）.將y=kx+k-154和y=x2+2x-3聯(lián)立，整理得到：x2+（2-k）x-k+34=0，則x1+x2=k-2，x1x2=-k+34，又因?yàn)閥1=kx1+k-154，y2=kx2+k-154，則y1-y2=k（x1-x2），所以MN=（x1-x2）2+（y1-y2）2=1+k2·（x1-x2）2=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=1+k2.同理可求得MH=1+k2·（1+x1）2，NH=1+k2·（1+x2）2，則MH·NH=14（1+k2），所以MH·NHMN=14，為定值.

應(yīng)用點(diǎn)評 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)知識.變式教學(xué)時(shí)原題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、直角三角形等知識.變式一考查應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算證明線段相等知識以及學(xué)生的運(yùn)算能力.變式二較為綜合，難度較大，考查直線與拋物線的結(jié)合、根與系數(shù)之間的關(guān)系等，既鞏固了學(xué)生所學(xué)，又很好的鍛煉了學(xué)生的綜合能力.