用列方程法求圖形面積的三種途徑

孫志東

【摘要】 本文通過(guò)三個(gè)典型案例給出建立方程求解圖形面積的三種途徑：根據(jù)圖形面積比建立方程、根據(jù)勾股定理建立方程、 根據(jù)中間橋梁建立方程.

【關(guān)鍵詞】 求面積;列方程;面積比;勾股定理;中間橋梁

在平面幾何中，求圖形面積是一類(lèi)重要的問(wèn)題，特別是求三角形或四邊形的面積類(lèi)型較多.因?yàn)榍髨D形的面積不僅僅涉及計(jì)算，還涉及到推理，能考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何和代數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，所以它在競(jìng)賽中常常出現(xiàn).下面通過(guò)三個(gè)典型案例來(lái)說(shuō)明求圖形面積的三種有效途徑.

1 根據(jù)圖形面積比相等建立方程求面積

例1 圖1

如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且△ABE，△ADF，△CEF的面積分別為5，4，3，則△AEF的面積是.

分析 考慮到等高的平行四邊形面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，通過(guò)作兩條平行線，可以把原平行四邊形分割成四個(gè)小平行四邊形.若假設(shè)其中一個(gè)小平行四邊形的面積，則其他三個(gè)平行四邊形的面積很容易表示出來(lái)，這樣根據(jù)四個(gè)小平行四邊形的面積之間的關(guān)系就可以建立方程.

解 如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交AB于點(diǎn)H，EG與HF交于點(diǎn)O，可知AHOG，BEOH，ECFO，OFDG都是平行四邊形.

設(shè)SAHOG=x，則SBEOH=10-x，

SECFO=6，SOFDG=8-x.

根據(jù)SAHOG∶SOFDG=SBEOH∶SECFO得

x∶（8-x）=（10-x）∶6，

即方程x2-24x+80=0，

解得x=4或20，

因?yàn)?<x<8，

所以x=4，

從而S△AEF=（10+6+4）-（5+3+4）=8.

2 根據(jù)勾股定理建立方程求面積

例3 圖3

如圖3，正方形DEFG的三個(gè)頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊BC，AC，AB上，D為BC的中點(diǎn)，AG=7，GB=6，AE=9，EC=2，求正方形DEFG的面積.

分析 由線段中點(diǎn)，可以聯(lián)想到三角形的中位線，結(jié)合正方形的對(duì)邊平行的條件，得到相似三角形，得出幾條關(guān)鍵線段的關(guān)系，最后利用勾股定理完成方程的建立.

解 如圖4，過(guò)點(diǎn)B作DE的平行線交AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)GF交AC于點(diǎn)N.設(shè)DE=x，則由BD=CD，得

CE=ME=2，

所以BM=2x，

且AM=AC-ME

=9-2=7.

由GN∥BM，得

GNBM=ANAM=AGAB，

即x+FN2x=AN7=713，

解得AN=4913，F(xiàn)N=x13，

所以NE=AE-AN=9-4913=6813.

在Rt△ENF中，由EF2+FN2=NE2，得

x2+x132=68132，

解得x2=27.2，

即正方形DEFG的的面積為27.2.

注 在平面幾何中，利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度，是非常重要的方法.

3 根據(jù)中間橋梁建立方程求面積

例3 圖5

如圖5，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，且FH=3，EG=4，S四邊形EFGH=5，求S正方形ABCD.

分析 因?yàn)樗倪呅蜤FGH不是特殊的四邊形，所以在初中階段，它的兩條對(duì)角線和面積這些數(shù)量不容易建立關(guān)系.這樣就需要我們另辟思路，不妨充分借助邊之間的關(guān)系，多次利用勾股定理尋找到一個(gè)等式，再利用圖形總面積等于各部分面積的和，得到另外一個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)等式存在中間橋梁，從而建立方程就自然而然了.

解 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，CG=a，

BE=b，BH=c，AF=d，則由勾股定理，得

x2+（a-b）2=16，x2+（c-d）2=9，

變形，整理，得

（a-b）2（c-d）2=（16-x2）（9-x2），①

又S正方形ABCD=x2=5+12bc+12（x-c）a+12（x-b）d+12（x-a）（x-d），

整理，得12x2=5+12（bc+ad-ac-bd），

即（a-b）（c-d）=10-x2，

所以（a-b）2（c-d）2=（10-x2）2，②

聯(lián)立①②，得

（16-x2）（9-x2）=（10-x2）2.

解得x2=445.

即S正方形ABCD=445.