梯形中位線定理的推廣模型

江建華

模型 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AEBE=mn，則有EF=mBC+nADm+n.

證明 如圖2，過點D作DN∥AB交EF于點M，交BC于點N，則有AD=EM=BN，

因為AD∥EF∥BC，

AEBE=mn，

所以MFNC=DFDC=AEAB=mm+n，

所以MF=mm+nNC，

所以EF=EM+MF=BN+mm+nNC

=（m+n）BN+mNCm+n

=m（BN+NC）+nBNm+n

=mBC+nADm+n，

注 當m=n時，此時模型即為梯形的中位線定理EF=AD+BC2.

例1 設O為坐標原點，點A，B為拋物線y=x2上的兩個動點，且OA⊥OB，連接AB，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

（A）12.（B）22.（C）32.（D） 1.

解 如圖3，分別過點A，B作AE⊥x軸于點E，BF⊥x軸于點F，設，OE=a，OF=b，直線AB交y軸于點D，由拋物線解析式為y=x2，則有

AE=a2，BF=b2.

因為∠AOB=90°，

所以∠AOE+BOF=90°，

又∠AOE+∠EAO=90°，

所以∠BOF=∠EAO，圖3

又∠AEO=∠BFO=90°，

所以△AEO∽△OFB，

所以AEOF=EOFB，

即a2b=ab2，

化簡得ab=1.

由模型可得

OD=aBF+bAEa+b=ab2+a2ba+b=ab=1，

所以點D坐標為（0，1），即直線AB過定點D，

因為∠DCO=90°，DO=1，

所以點C是在以DO為直徑的圓上運動，

所以當點C到y(tǒng)軸距離等于此圓半徑12時，點C到y(tǒng)軸距離最大.

故選（A）.

例2 如圖4，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于原點O和點A，且其頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式;

（2）拋物線的對稱軸上存在定點F，使得拋物線y=ax2+bx+c上的任意一點G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離總相等.

①證明上述結論并求出點F的坐標;

②過點F的直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于M，N兩點.

證明當直線l繞點F旋轉時，1MF+1NF是定值，并求出該定值;

（3）點C（3，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標.

解 （1）因為頂點B關于x軸的對稱點坐標為（2，1），

所以B（2，-1），

將點O，點A，點B坐標代入拋物線

y=ax2+bx+c，

得c=0，4a+2b+c=-1，16a+4b+c=0，

解得a=14，b=-1，c=0，

所以y=14x2-x.

（2）①設F（2，m），Gx，14x2-x，

因為G到定點F的距離與點G到直線y=-2的距離相等，

所以（2-x）2+m-14x2+x2

=14x2-x+22，

整理得mm-12x2+2x=0，

因為距離總相等，所以m=0，

所以F（2，0）;

②如圖5，設CE=m，DE=n，MC=a，ND=b，

由題意可得

MF=MC=a，

NF=ND=b，

因為MC∥EF∥ND，

所以MFNF=CEDE，

所以ab=mn，

即an=bm，①

由模型可得

EF=an+bmm+n=2，②

將①代入②得

an+anm+n=2，bm+bmm+b=2，

即anm+n=1，bmm+n=1，

所以1a=nm+n，1b=mm+n，

所以1MF+1NF=1a+1b=nm+n+mm+n=1，

所以1MF+1NF=1是定值.

（3）如圖6，作點B關于y軸的對稱點B′，作點C關于x軸的對稱點C′，連接B′C′交x軸，y軸分別于點P，Q，則此時四邊形PQBC的周長最小，因為點C（3，m）是該拋物線y=14x2-x上的一點，

所以C3，-34，因為B（2，-1），

所以B′（-2，-1），C′3，34，

設直線B′C′的解析式為

y=kx+b，

所以-2k+b=-1，3k+b=34，

所以k=720，b=-310，

所以直線B′C′的解析為

y=720x-310，

當x=0時，y=-310;

當y=0時，x=67，

所以Q0，-310，P67，0.