一次函數(shù)的圖像與三角形面積的綜合應(yīng)用

王照芳

【摘要】由于一次函數(shù)的圖像（b≠0）是一條不過(guò)原點(diǎn)的直線，它與橫、縱坐標(biāo)各有一個(gè)交點(diǎn)，那么直線和坐標(biāo)軸之間就會(huì)形成一個(gè)三角形.在一次函數(shù)的圖像和三角形面積一同出現(xiàn)時(shí)，要學(xué)會(huì)將線段長(zhǎng)用點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離刻畫出來(lái).

【關(guān)鍵詞】一次函數(shù);綜合應(yīng)用;初中教學(xué)

例1 已知直線y=kx+6與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是24，求常數(shù)k的值.

解 設(shè)直線y=kx+6與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A、B，

令x=0，y=6;令y=0，x=-6k，

所以，得到A、B的坐標(biāo)分別為（0，6）、（-6k，0），

所以，O與A點(diǎn)之間的距離是：OA=|6|=6，

O與B點(diǎn)之間的距離是：OB=|-6k|.

所以，三角形的面積是：

12OA·OB=12·6·|-6k|=24，

于是，3·|-6k|=24，|-6k|=8， |-6|k=8

6k=8，|k|=34，

所以，k=±34.

例2 已知直線y=-12x+52，求直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積.

解 設(shè)直線y=-12x+ 52與x、y軸的交點(diǎn)分別為M、N，

令x=0，y=52;令y=0，x=5，

所以，得到M、N的坐標(biāo)分別

為（5，0）、（0，52），

畫直線y=-12x+ 52，

函數(shù)圖像，如圖1所示.

所以，O與M點(diǎn)之間的距離是：

OM=|5|=5.

O與N點(diǎn)之間的距離是：

ON=|52| = 52.

所以，△MON的面積是：

12OM·ON=12×5×52 =254.

例3 已知一次函數(shù)y=kx-4（k<0）的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于8，求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

解 設(shè)直線y=kx-4與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為E、F，

令x=0，y=-4;令y=0，x=4k，

所以，得到E、F的坐標(biāo)分別為（0，-4）、（4k，0），

所以，O與E點(diǎn)之間的距離是：OE=|-4|=4，

O與F點(diǎn)之間的距離是：OF=|4k|，

所以，三角形的面積是：12OE·OF=12·4·|4k|=8.

于是，2·|4k|=8，|4k|=4， |4k|=4.

4k=4，|k|=1.

所以，k=±1，

因?yàn)閗<0，

所以，k=-1，

所以，該一次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x-4.

例4 已知直線y=x+3與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線L經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把△AOB分成面積比為2∶1的兩部分，求直線L的表達(dá)式.

解 如圖2所示，當(dāng)直線L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為2∶1時(shí)，過(guò)點(diǎn)C分別作x、y軸的垂線，垂足分別為F、E.

設(shè)直線L的表達(dá)式為y=kx，

令x=0，y=3;令y=0，x=-3;

所以，得到A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，3），

所以，O與A點(diǎn)之間的距離是：OA=|-3|=3，

O與B點(diǎn)之間的距離是：OB=|3|=3，

所以，△AOB的面積是：12OA·OB=12×3×3=92.

因?yàn)橹本€L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為2∶1，

所以，△AOC的面積是：92×23=3，

△BOC的面積是：92×13=32，

因?yàn)椤鰽OC的面積=12OA·CF=12×3×CF=3，所以CF=2，

同理可得：CE=1.

因?yàn)镕點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，而E在y軸的正半軸，

所以，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，2），

所以，直線L的表達(dá)式是y=-2x，

如圖3所示，當(dāng)直線L把△AOB分為△AOC和△BOC且它們的比為1：2時(shí)，過(guò)點(diǎn)C分別作x、y軸的垂線，垂足分別為F、E.

于是，△AOC的面積是：92×13=32，△BOC的面積是：92×23=3，

因?yàn)椤鰽OC的面積=12OA·CF=12×3×CF=32，所以CF=1.

同理可得：CE=2.

因?yàn)镕點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，而E在y軸的正半軸，

所以，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，1），

所以，直線L的表達(dá)式是y=- 12 x，

綜上所述，直線L的表達(dá)式是y=-2x或y=- 12 x.