例析平面幾何中的平行問題

袁名揚

【摘要】初中階段有關(guān)平行的問題一般都涉及到證明兩直線的平行以及平行線的判定與性質(zhì)，尤其是對于較復(fù)雜的題目，通常是將平行的知識點與中位線定理等其他知識點綜合考察.基于此，文中將相關(guān)題目歸納分類并根據(jù)題目的命題特點總結(jié)了解決初中平面幾何平行題型的思路與方法.

【關(guān)鍵詞】平面幾何;歸納分類;解題思路

在初中各種考試命題中，有關(guān)平行的題型靈活多變，應(yīng)用的知識點也是靈活多樣，下面筆者對初中平面幾何中涉及到的平行題型進行了分類探究，將題型按照一定標(biāo)準(zhǔn)進行分類，在應(yīng)用的基礎(chǔ)上進行難度提升，加強學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生在處理平行問題時，建立起一定的體系框架，能將平行題型進行分類，準(zhǔn)確定位考查的知識點與技能，并在這一過程中，不斷提高邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.

1 平行線的判定

例1 如圖1，過點P作射線PM和PN分別與⊙O相切于M、N兩點，作直徑MA且延長MA交射線PN于點B，連接OP、AN，試證明OP∥AN.

分析 由題意可連接ON，欲證OP∥AN，即證∠POM=∠MAN.因為△MPO≌△NPO，可得∠POM=∠PON.最后又因為∠MAN=12∠MON，進而可以得到∠POM=∠MAN.

證明 如圖1，連接ON由題意PM、PN分別與⊙O相切于M、N兩點，可得PM=PN，∠MPO=∠NPO.因為△MPO≌△NPO，所以∠POM=∠PON.又因為∠MAN=12∠MON，所以∠POM=∠MAN，所以O(shè)P∥AN.

本題添加了一條輔助線以便于更簡單的證明結(jié)論，探究了角之間的關(guān)系，利用了“同位角相等，兩直線平行”的判定定理得出OP∥AN的結(jié)論.

例2 如圖2，在△ABC中，點E、M在AB上，點N、F在AC上，且BF∥EN，CE∥FM，試判斷MN與BC的位置關(guān)系，并說明理由.

分析 利用兩個平行的條件，根據(jù)對應(yīng)線段成比例，可以得到兩個關(guān)系式AB·AN=AE·AF和AC·AM=AE·AF.進而可以得到比例式ABAM=ACAN，因此MN∥BC.

證明 MN∥BC.因為BF∥EN，所以AB·AN=AE·AF.又因為CE∥FM，即AC·AM=AE·AF，所以AB·AN=AC·AM，

進而ABAM=ACAN，所以MN∥BC.

這道例題典型地運用了定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，使得解題變得簡單明了.在這里要注意一點，上述定理要求的不是任意對應(yīng)線段成比例，這是萬萬不能夠推出來兩直線平行的.不能對定理斷章取義，要理解并記憶清楚.

2 與中位線定理相結(jié)合

在同一前提下，梯形或三角形的中位線定理含有兩個確定的結(jié)論：一個是位置關(guān)系：即中位線平行于兩底（或第三邊）;另一個是數(shù)量關(guān)系：即中位線等于兩底和（或第三邊）的一半.由于中位線可以平移、倍分轉(zhuǎn)化，因此這兩個結(jié)果在試題中的應(yīng)用可謂非常廣泛.如果題目中直接給出條件或者是可以間接的得出中位線定理，那么中位線與第三邊（或兩底）平行的位置關(guān)系是顯而易見的，不需要過多的證明.但通常與中位線定理相關(guān)的題目不單單是為了證明兩直線平行，更多的是間接利用了中位線定理的位置關(guān)系得出平行，再利用平行的性質(zhì)來解決其他問題.所以當(dāng)遇到線段中點或三角形中位線時，常常考慮是否可以利用中位線來解決問題，在解題過程中往往會運用到有關(guān)平行的知識.

例3 如圖3，E、F分別是梯形ABCD的兩邊AD、BC的中點，MF∥EB交CD于點M，連接EM，求證：EM=BF.

分析 依題意AD、BC的中點分別是E、F，可知BF=12BC.因此，欲證EM=BF，只需證明EM=12BC.根據(jù)三角形中位線定理，考慮延長BE交CD的延長線于點P，構(gòu)造出一個帶有中位線的三角形，就可以利用三角形中位線定理使問題得到解決.

證明 延長BE交CD的延長線于點P.由四邊形ABCD是梯形，可知AB∥CD，所以∠ABP=∠CPB.又因為∠AEB=∠DEP且AE=ED，所以△AEB≌△DEP（AAS）.又因為FB=FC且MF∥BP，所以PM=MC.所以EM=12BC=BF.

上述例題雖然沒有直接要求證明兩直線平行，但是我們在證明過程中運用到了平行線的性質(zhì)定理，然后再進一步地解決問題.這說明在涉及到四邊形中邊、角相等的證明問題時，把四邊形中的邊、角轉(zhuǎn)化或構(gòu)造成三角形的邊、角更容易解決問題.當(dāng)題設(shè)中含有中點的數(shù)量或位置條件時，比如線段的一半或兩倍關(guān)系或線段平行，則可考慮中位線;而當(dāng)題設(shè)中有中點條件但不完備時，若想使用中位線定理，我們可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出中位線，從而為使用中位線定理創(chuàng)造條件.

3 與平行四邊形相結(jié)合

平行四邊形是我們熟知的一種特殊的四邊形，其獨特性表現(xiàn)在對邊平行且相等、對角相等、鄰角互補等.所以我們能夠利用平行四邊形的性質(zhì)，也就是平行四邊形的兩組對邊平行來解決我們的平行問題.

例4 如圖4，點E是ABCD的邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于F，若CD=6，求BF的長.

分析 求BF的長其實就是讓我們?nèi)デ笪粗€段AF的長.這里要結(jié)合圖形特征考慮，四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)觀察，我們可以利用平行四邊形的性質(zhì)得到兩個三角形△EAF與△EDC全等，進而得到FA=CD=6，自然可求出BF的長.

解 已知四邊形ABCD是平行四邊形，且E是ABCD的邊AD的中點，所以BA∥CD且BA=CD，AE=ED.又因為在△EAF和△EDC中∠AEF=∠DEC、∠BFC=∠DCF、AE=ED，所以△EAF≌△EDC.故FA=CD=BA=6.所以BF=BA+AF=6+6=12.

上述兩道例題說明平行四邊形是個特別的圖形，有著獨特的性質(zhì)，利用它我們可以得到對邊平行的位置關(guān)系，進而可以解決很多問題.由此可見，平行關(guān)系在各類平面幾何題目中都會借助一些常見的基本圖形為載體而頻繁出現(xiàn)，需要經(jīng)常練習(xí)相關(guān)題目才能熟能生巧，利用圖形的性質(zhì)特點解決問題.

4 平行線的性質(zhì)與判定在試題中的綜合應(yīng)用

初中涉及到的平行題型除了證明兩直線平行以外，還有很多題型是利用平行線的性質(zhì)來解決其他相關(guān)問題的.如果更復(fù)雜一點的題目，會對平行線的性質(zhì)與判定綜合起來考察學(xué)生，也可能與中位線或者其他知識點整合起來考察.

要想靈活地運用平行線的性質(zhì)與判定來解決問題還要先分得清性質(zhì)與判定之間的區(qū)別與聯(lián)系，我們先來看兩個簡單的推理：

如圖5，因為∠1=∠2（已知），所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.相反地，因為AB∥CD（已知），所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.

乍一看，這兩個推理形式一樣，只是順序不一樣，但卻有著本質(zhì)的區(qū)別：那就是因與果的顛倒.第一個推理是由“因為∠1=∠2”為前提，這是因，得到的“所以AB∥CD”這一結(jié)論是果;而第二個推理恰恰相反，即“因為AB∥CD”是前提為因，得到“所以∠1=∠2”的結(jié)論為果.因此，在做題中要尤其注意分辨判定與性質(zhì)的區(qū)別.

接下來我們來探討一道有關(guān)平行線判定與性質(zhì)的綜合試題，從而對此知識點加深理解.

例5 如圖6，點E在BC上，點G、F分別在CB、AB的延長線上，BD平分∠CBA交AE于點H，交AC于點D，且∠DHE+∠HAG=180°，∠G=∠F.求證：EF∥DB.

分析 例5的綜合性較強，以一道復(fù)雜的幾何圖形為載體，著重考查了三線八角的知識以及平行線的判定與性質(zhì).本題思路廣泛，方法多樣.解決這道題的關(guān)鍵在于先證明DB∥AG，再分析角之間的關(guān)系，最后根據(jù)平行線的判定定理使之得證.具體思路證法如下：

根據(jù)題設(shè)給出的條件這是由于∠DHE=∠AHB且∠DHE+∠HAG=180°，所以∠AHB+∠HAG=180°，故DB∥AG.

證法1 （利用“同位角相等，證明兩直線平行”）由已知DB∥AG，可得∠DBE=∠G.又因為BD平分∠CBA，所以∠DBE=∠DBA，即∠DBA=∠G.又依題意∠G=∠F，所以∠DBA=∠F，所以DB∥EF.

證法2 （利用平行線的性質(zhì)——傳遞性）根據(jù)已知DB∥AG，可得∠BAG=∠DBA，∠DBE=∠G.又因為∠DBE=∠DBA，所以∠BAG=∠G.又∠G=∠F，所以∠BAG=∠F，所以EF∥ AG.又DB∥AG，所以EF∥DB.

證法3 （先作輔助線再利用判定定理）如圖7，延長DB至I，因為∠ABC=∠GBF，線段BD平分∠ABC，所以線段BI平分∠GBF，即∠IBG=∠IBF.由于DB∥AG，可得∠IBG=∠IBF=∠G.又因為∠G=∠F，所以∠IBF=∠F，由此得證DB∥EF.可以延長FE交CA于點K進行證明.

綜上所述，例5，本題共有3個主要證法使得問題得到解決.本題的難點是找到合適的角與角之間的關(guān)系進而證明兩直線的平行.證法1是結(jié)合本題圖形特點直接探索角與角之間的關(guān)系——再分別利用“同位角相等”、“內(nèi)錯角相等”、“同旁內(nèi)角互補”證明EF∥DB平行;證法2邏輯簡單明了，只需證明DB和EF都平行于AG，再利用平行線的性質(zhì)——傳遞性證明即可;證法3是適當(dāng)?shù)靥砑右粭l不同的輔助線進行證明，眾所周知添加輔助線的題目往往比較難，因為需要考慮圖形特征，故需具備一定的解題技巧和靈活度，對學(xué)生的解題思維有一定挑戰(zhàn).[3]以上證法思維難度層層遞進，對于初中的學(xué)生來說是個鍛煉深度思維，靈活多變的好題，學(xué)生們可以在思考具體問題的同時加深對三線八角和平行線性質(zhì)與判定的認(rèn)識.

總之，平行題型是平面幾何題型中的重要組成部分，一道復(fù)雜的幾何題目往往需要用到平行的知識，為此初中學(xué)生要對三線八角、平行線的性質(zhì)與定理等相關(guān)知識點做到爛熟于心，并加強對相關(guān)題型的訓(xùn)練，對不同的題目學(xué)會歸納總結(jié)，提高邏輯思維和推理能力，為今后的平面和立體幾何的學(xué)習(xí)打下夯實的基礎(chǔ).遇到一些復(fù)雜的尤其是需要添加輔助線的題目，有時會讓人摸不著頭腦不知道如何下手，實際上在日常的做題中通常需要一些基礎(chǔ)圖形作為載體，這些基礎(chǔ)圖形大部分都是從教材中大量的例題和習(xí)題中抽離出來的，很多復(fù)雜題目中的圖形都是在這些常見基礎(chǔ)圖形上加工、引申、拓展而來的.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要熟練掌握常見的基本圖形的主要結(jié)構(gòu)，善于從復(fù)雜的幾何圖形中分離出基本圖形，再結(jié)合相關(guān)基本定理即可得解.

參考文獻：

[1]張巍.說明平行的四種常用方法[J].初中生必讀，2014（11）：25-26.

[2]陳永.中位線定理的應(yīng)用技巧[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（09）：18.

[3]趙毅，劉剛.淺談平行線的判定與性質(zhì)在一道試題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（06）：57-59.