剖析武漢中考題,揭秘二次函數(shù)最值求法

李桂艷

【摘要】武漢中考數(shù)學(xué)題第24題是比較典型的二次函數(shù)最值問(wèn)題，在初中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過(guò)程中，二次函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大重點(diǎn)和難點(diǎn)，考試題型也涉及十分廣泛，不管是選擇題還是填空題，還是最后的壓軸題計(jì)算題都有二次函數(shù)題型，因此這部分內(nèi)容所占的分值比例也比較大，數(shù)學(xué)考試要想拿高分，就一定要攻克這類題型.而關(guān)于二次函數(shù)題型的突破，不是胡亂做題就可以的，這樣不僅浪費(fèi)學(xué)習(xí)的時(shí)間，也達(dá)不到想要的效果，做題訓(xùn)練提升一定要典型集中，考試怎么考，考哪種題型，重難點(diǎn)是什么，搞清楚這些再去針對(duì)性的練題提升，才能夠輕松攻克難題.本文通過(guò)不同的解法詳解闡述二次函數(shù)最值得求法，以供參考.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);初中數(shù)學(xué);中考解題

原題 如圖1，直線 l： y=3x-3 分別與 x 軸， y 軸交于點(diǎn) A，點(diǎn) B，拋物線 y=ax2-2ax+a-4 過(guò) 點(diǎn) B .

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn) C 是第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AC，BC.

①當(dāng)△ABC 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)及△ABC 面積的最大值;

②在①的條件下，將直線 l 繞著點(diǎn) A 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到直線 l′， l′與線段BC 交于點(diǎn) D，設(shè)點(diǎn) B，點(diǎn) C 到 l′的距離分別為d1 和d2，求d1 + d2的最大值，求直線l旋轉(zhuǎn)的角度.

第（1） 問(wèn)： 求出點(diǎn) B 的坐標(biāo)（0，-3），再代入列方程得 a=1，最后求出解析式.

解：令 x=0，y=-3;令 y=0，x=1，

所以 A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）.

又因拋物線 y=ax2 -2ax+a-4 過(guò)點(diǎn) B.

所以a-4=-3，

解得a=1，

所以拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

第（2）問(wèn)：這類題型：主要有 3 種常見(jiàn)解法.平行切線法、鉛垂法、割補(bǔ)法

解法1 平行切線法

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交x軸于點(diǎn)F.

依題意有：當(dāng)直線CF與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積最大.

設(shè)直線CF的解析式為y=3x+b，

則聯(lián)立直線CF與拋物線的解析式所得的方程組y=3x+by=x2-2x-3只有一組解.

即方程x2-5x-（3+b）=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.

所以Δ=b2-4ac=25+4（3+b）=0，

解得b=-374.

所以直線CF的解析式為y=3x-374.

令y=0，則x=3712所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（3712，0）;

將b=-374代入上方程組，解得

x=52y=-74.

所以C點(diǎn)的坐標(biāo)（52，-74）.

因?yàn)镃F∥AB;

所以S△ABC=S△ABF=12AFⅹOB=12×3712-1×3=258.

解法2 鉛垂法

如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CN∥y軸，交直線l于點(diǎn)N.

需要分類討論

N 點(diǎn)坐標(biāo)（x，3x-3），C 點(diǎn)坐標(biāo)（x，x2 -2x-3）

第一種情況：點(diǎn)N在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖3.

S△ABC=S△NBC-S△NAC （x>1）

=12 （- x2 + 5x） x-x-1

=-12x2+52x

=-12x-522+258≤258，

所以當(dāng) x=52 時(shí)，S△ABC有最大值為258.

NC=3x-3- （x2 -2x-3）=-x2+5x.

第二種情況：點(diǎn)N在線段BN上，如圖4.

S△ABC=S△NBC+S△NAC （0<x≤1）

=12 （- x2 + 5x） x+1-x

=-12x2+52x

=-12x-522+258.

當(dāng) x =1 時(shí)，S△ABC有最大值2.

綜上S△ABC最大值為258.

解法3 割補(bǔ)法

（種類較多，最簡(jiǎn)單的是連接AC）連接 OC，如圖5.

S△ABC=S△OAC+S△OBC-S△AOB

=12×1×[-x2 - 2x - 3]+12×3x-12×1×3=-12x2+52x，

因?yàn)閍 =-12 <0所以S△ABC有最大值;

即當(dāng) x=-522×-12=52時(shí)，

S△ABC =-5224×-12 =258.

S△ABC有最大值258.

（2）②如圖6作CN ⊥AD，BM⊥AD，

則 BM= d1 ，CN=d2，

d1+d2=BM+CN≤BD+CD=BC

當(dāng)l′⊥BC時(shí)，d1+d2最大.

解法1

因?yàn)锳（1，0），B（0，-3），C（52，-74），

所以O(shè)A=1，OB=3，

則AB=10，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，如圖7，

所以CE=52，BE=OB-OE=54，

所以BC=BE2+CE2=554，

所以S△ABC=12×BC×AD

=12×554×AD=258.

解得 AD=5.

所以BD=AB2-AD2=5=AD，

所以∠BAD=∠ABD=45°，

所以當(dāng)d1+d2最大時(shí)，

直線l旋轉(zhuǎn)的角度為45°.

解法2

因?yàn)辄c(diǎn)D在直線BC：y=12x-3上.

所以D（m，12m-3）.

根據(jù)勾股定理得： AB=10.

構(gòu)造 K 型圖：

AF2 + FD2=AD2，BE2+DE2=BD2，

而AB2=AD2+BD2

=AF2+FD2+DE2+BE2，

所以102= m-12+-12m-32+m2+12m-3--32.

整理得52m2-5m=0.

解得m=0（不合題意，舍之）、m=2，

所以D（2，-2），AF=1，DE=1.

從而K型圖是全等三角形，

得AD=BD，△ABD是等腰直角三角形;

故直線l旋轉(zhuǎn)的角度∠BAD=45°.