善思考，巧解題

黃成虎

【摘 要】 平面向量是近年高考數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn)，不僅考查平面向量的幾何意義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積以及與其他相關(guān)知識（往往涉及三角函數(shù)、解三角形等）在解題中的靈活、綜合運(yùn)用能力，而且也考查“數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)”、“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學(xué)思想方法.基于此，本文著重對一道典型的數(shù)量積最大值問題進(jìn)行多角度探究，旨在幫助同學(xué)們理清常用解題思維，強(qiáng)化對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法、知識的靈活運(yùn)用能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)量積;幾何意義;數(shù)形結(jié)合

本文給出一道平面向量問題的多解探究，旨在幫助同學(xué)們拓寬解題思路，溝通對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法、知識在解題中的靈活運(yùn)用能力，提高分析、解決數(shù)量積最大值問題的技能技巧.

好題采擷 已知圓O的半徑為1，P是圓O上一定點(diǎn)，A，B是圓O上的兩個動點(diǎn)，且AB=1，求PA·PB的最大值.

試題分析 本題以學(xué)生熟悉的“圓”為載體，涉及一個“定點(diǎn)”和兩個“動點(diǎn)”，難度中等.從數(shù)學(xué)知識點(diǎn)看，側(cè)重考查平面向量中數(shù)量積的最大值，而且涉及平面向量與三角函數(shù)、解三角形等知識的綜合運(yùn)用;從數(shù)學(xué)思想方法看，側(cè)重考查“數(shù)形結(jié)合思想”、“轉(zhuǎn)化思想”等數(shù)學(xué)思想方法在解題中的靈活運(yùn)用;從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)以及邏輯推理素養(yǎng).

多解探究 思路1 由于本題以“圓”為載體，所以借助平面向量的幾何意義對數(shù)量積PA·PB變形時，可充分利用圓心“O”這一特殊點(diǎn)，有利于保證變形到位，從而便于借助圖形的直觀、明了性，準(zhǔn)確分析最值情景.