一類(lèi)圓錐曲線(xiàn)定點(diǎn)定值問(wèn)題的解法賞析

湯鑫嶸

【摘 要】 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系是高考數(shù)學(xué)的考察重點(diǎn)， 其中定點(diǎn)與定值問(wèn)題不僅是高頻考點(diǎn)， 同時(shí)也是難點(diǎn). 解決此類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高. 本文將對(duì)一類(lèi)與斜率之和或積有關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題的解法進(jìn)行賞析， 通過(guò)一題多解，開(kāi)拓學(xué)生解題思路， 提高學(xué)生解題效率.

【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線(xiàn);定值問(wèn)題;解法賞析

3 反思?xì)w納

3.1 適用范圍

特點(diǎn)是兩條直線(xiàn)有公共點(diǎn)，且與圓錐曲線(xiàn)都相交，已知兩直線(xiàn)的斜率之和或積為常數(shù)， 求證經(jīng)過(guò)兩個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)l斜率為定值或直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)的這類(lèi)問(wèn)題不僅可以用常規(guī)聯(lián)立法還可以用平移齊次化法.

3.2 相較于常規(guī)解法， 平移齊次化的優(yōu)勢(shì)在于

（1）大大減少了計(jì)算量，減少學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)的概率，提高學(xué)生得分率;（2）避免了討論直線(xiàn)斜率是否存在的情況， 充分反映了高考命題的方向“多思少算”，完美體現(xiàn)了邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng). （3）是一種通法， 具有模式化的特點(diǎn)，易于操作的同時(shí)緩解了學(xué)生的計(jì)算焦慮情緒，提高學(xué)習(xí)解析幾何的興趣.

3.3 具體步驟

（1）平移坐標(biāo)系使原點(diǎn)與兩直線(xiàn)的公共點(diǎn)重合; （2）設(shè)平移后的直線(xiàn)為l：mx+ny=1; （3）將“1”代入橢圓方程構(gòu)造出齊次方程; （4=4＼*roman） 轉(zhuǎn)化成Ak2+Bk+C=0（A，B，C為常數(shù)）的形式;（5）根據(jù)韋達(dá)定理并結(jié)合已知寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程; （6）將直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)還原回原直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

解析幾何定點(diǎn)定值問(wèn)題思維難度大，計(jì)算量大，重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.要想解決這一類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該“多思精算”，注重歸納適合一類(lèi)問(wèn)題的通性通法.平移齊次化這種方法針對(duì)文中"斜率的積或和"的題型適用，除2020年山東新高考數(shù)學(xué)卷第22題以外，2017年全國(guó)新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷理科第20題也是十分適用.通過(guò)文中的這則實(shí)例，我們可以感受到常規(guī)方法雖然容易想到，但計(jì)算量大.學(xué)生操作起來(lái)難度很大，即便有思路，得分率也很低.而平移齊次化這種方法就可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算也可避免討論，只需要同學(xué)能識(shí)別這類(lèi)題型，便可迎刃而解。這對(duì)教師的教學(xué)有一定的啟示，提醒我們要注意總結(jié)題型以及解題方法.與此同時(shí)，也提示我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要?jiǎng)?chuàng)新，學(xué)生應(yīng)該養(yǎng)成勇于突破，打破陳規(guī)的精神.有關(guān)斜率的圓錐曲線(xiàn)定點(diǎn)、定值問(wèn)題還存在許多推論，感興趣的讀者可進(jìn)行進(jìn)一步的推導(dǎo).

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