三維集成電路中基于多棱柱單元有限元法的寄生參數(shù)提取

張 程，徐小宇，任卓翔

（1.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所，北京 100029；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.索邦大學(xué)，巴黎75006）

集成電路加工工藝已經(jīng)進(jìn)入跨越3 nm 的時(shí)代，新結(jié)構(gòu)、新材料的應(yīng)用以及工藝漲落對(duì)于電路性能的影響也更加顯著，也對(duì)互聯(lián)寄生參數(shù)的提取提出了更高的要求。參數(shù)提取主要依賴麥克斯韋方程組的電磁場(chǎng)求解器，其中，廣泛采用的方法是有限元法（FEM）[1-6]。總的來(lái)說(shuō)，有限元法將節(jié)點(diǎn)標(biāo)量電勢(shì)、棱邊矢量電位等作為未知量，對(duì)于網(wǎng)格，采用插值規(guī)則建立代數(shù)方程組，其中網(wǎng)格單元可以是不同幾何形狀[1-7]。所有有限元求解器的作用都針對(duì)的是性能提升，并在效率與精度之間進(jìn)行權(quán)衡。近些年來(lái)，有限元法的能量互補(bǔ)和對(duì)偶性被廣泛研究，該特性被用來(lái)加速求解收斂[3-4]。所謂的對(duì)偶有限元法，即節(jié)點(diǎn)有限元和棱邊有限元，分別將原始網(wǎng)格上節(jié)點(diǎn)標(biāo)量電位和棱邊上的矢量電位作為未知量。電容參數(shù)提取是一類靜電場(chǎng)問(wèn)題，采用矢量電位時(shí)會(huì)出現(xiàn)多值問(wèn)題，可通過(guò)在帶電荷區(qū)域和多連通域之間建立“連接”來(lái)解決[1]。根據(jù)歐拉特性，棱邊有限元總是會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)更多的自由度，因此在對(duì)偶網(wǎng)格上采用標(biāo)量電勢(shì)作為未知量，可以提供FEM 的另一種解決方案如下。

對(duì)偶網(wǎng)格由多邊形（二維）及多面體（三維）單元組成，廣義重心坐標(biāo)系（GBCs）可被用來(lái)為這些單元提供近似插值函數(shù)[7-8]?；贕BCs的伽遼金格式的有限元可稱為多邊形或多面體有限元。近些年來(lái)，基于GBCs的有限元法獲得了較多的關(guān)注并顯示出新的前景[9-13]，且在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、拓?fù)鋬?yōu)化[14-15]、力學(xué)[9]、熱學(xué)和電磁學(xué)[1,8]等領(lǐng)域已經(jīng)有許多研究，然而該算法的高復(fù)雜度和耗時(shí)阻礙了應(yīng)用推廣。為了在三維對(duì)偶網(wǎng)格上更加有效地建立變量有限元，文中提出了一種在多棱柱單元上分片插值的方法，并通過(guò)算例給出三維電容參數(shù)提取結(jié)果的收斂性和精確性。

1 原始網(wǎng)格及對(duì)偶網(wǎng)格

給定一個(gè)Delaunay三角化網(wǎng)格，很容易獲得它的關(guān)聯(lián)對(duì)偶網(wǎng)格，分別稱為原始網(wǎng)格MP及對(duì)偶網(wǎng)格MD，如圖1 所示。通常情況下，采用基于外心的方式從原始網(wǎng)格獲得對(duì)偶網(wǎng)格，此時(shí)兩套網(wǎng)格互相正交。

圖1 網(wǎng)格的二維及三維視圖

雖然已有PolyMesher 等工具可用來(lái)生成多邊形網(wǎng)格[16]，但為了從已建立的原始網(wǎng)格中產(chǎn)生對(duì)偶網(wǎng)格，應(yīng)當(dāng)注意不同區(qū)域的交界面。如圖2 所示，由于界面的存在，多邊形c3、c2被分割為若干個(gè)部分。尤其是MP中形態(tài)不佳的三角形會(huì)導(dǎo)致多邊形c2和c5也處于形態(tài)不佳的情況，這時(shí)可以局部采用重心來(lái)構(gòu)建對(duì)偶網(wǎng)格。

圖2 網(wǎng)格以及區(qū)域界面

2 廣義重心坐標(biāo)系及插值

2.1 廣義重心坐標(biāo)系定義

有限元法中經(jīng)常采用的重心坐標(biāo)系僅適用于三角形、四面體等單純形，對(duì)于更加廣泛的多邊形與多面體，廣義重心坐標(biāo)系（GBCs）可視為重心坐標(biāo)在多邊形和多面體上的延伸。GBCs 函數(shù)λi在多邊形或多面體Ω內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)vi滿足非負(fù)性、線性完備性、單位性、克羅內(nèi)克函數(shù)特性等性質(zhì)[1,8]。

GBCs 滿足作為代數(shù)基的伽遼金逼近函數(shù)的充分必要條件，也有大量GBCs 可供選擇。在FEM 框架下，需要計(jì)算λ與gradλ，并且對(duì)gradλ及gradλi、gradλj在單元上進(jìn)行積分。對(duì)于GBCs 而言，該計(jì)算非常耗時(shí)，可以考慮采用近似插值技術(shù)。

2.2 分片插值廣義重心坐標(biāo)系

考慮到在三棱柱上的能量積分相對(duì)容易，可以考慮選取一個(gè)點(diǎn)將具有n條邊的凸多棱柱分為多個(gè)三棱柱，其中電場(chǎng)和能量可以分開(kāi)計(jì)算。這種分片插值算法可用來(lái)簡(jiǎn)化GBCs 和其梯度計(jì)算，并可以用于FEM 計(jì)算。

2.2.1 選取插值點(diǎn)

為了準(zhǔn)確地表達(dá)多棱柱各節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，首先需要定位插值點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，多胞體的重心或最大內(nèi)切球的球心是較好的選擇?？紤]到可能會(huì)存在多個(gè)最大內(nèi)切球，所以選擇其中最靠近重心的球心。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，文中采用重心作為插值點(diǎn)，如圖3（a）中的do，n邊多棱柱可分為n個(gè)三棱柱，其中，do(1)與do(2)分別是do在頂面與底面上的投影，包含了do的橫截面如圖3（b）所示。設(shè)定凸多邊形d1…dn的第i個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi,zi)。

圖3 多棱柱單元及其橫截面圖

2.2.2 確定插值點(diǎn)上的標(biāo)量電勢(shì)

一旦給出了插值點(diǎn)，施加在該點(diǎn)上的電勢(shì)值即可被確定。一般采用能量最小原則來(lái)確定插值點(diǎn)上的標(biāo)量電勢(shì)。

如圖3（a）所示，設(shè)多棱柱上的節(jié)點(diǎn)上的電勢(shì)為，其中r=1,…,n；s=1,2。假定重心do上的待定電勢(shì)為vo，每個(gè)子區(qū)域中的能量可根據(jù)公式計(jì)算得出，累加所有子區(qū)域的能量，就可以得到多棱柱單元的總能量We。

顯然，We是vo的函數(shù)，可通過(guò)局部極值點(diǎn)的計(jì)算來(lái)查找vo以使局部能量最小化，也就是尋求對(duì)該點(diǎn)電勢(shì)的偏導(dǎo)數(shù)為零的能量：

根據(jù)計(jì)算得到電勢(shì)為：

其中，權(quán)重系數(shù)γi可表示為：

可以證明權(quán)重系數(shù)在每個(gè)單元內(nèi)的和為1，即滿足單元性。并且也可以得到：

因此，基于式（2）獲得的值是最小值。

2.2.3 形函數(shù)

如圖3（a）所示，考察落入子區(qū)域dodidi+1的d*點(diǎn)上的電勢(shì)，可以推出單元dodidi+1上的形函數(shù)N(s)為：

其中，s取值1、2，分別表示上、下表面，且有：

關(guān)于棱柱單元d1...dn之中電勢(shì)的連續(xù)性，根據(jù)式（5）～（7）可以看出，在插值點(diǎn)、頂點(diǎn)及連線上是0階連續(xù)，在所有棱、面上是1 階連續(xù)，在其他地方是無(wú)窮階連續(xù)。

2.2.4 單元及總體剛度矩陣

根據(jù)局部區(qū)域能量最小的原理以及式（5）～（7），對(duì)于計(jì)算區(qū)域Ω上的偏微分方程問(wèn)題，可以很容易得到n邊多棱柱單元的系數(shù)矩陣元素。

這樣就建立起了單元和總體剛度矩陣。最后，求解所得到稀疏矩陣，即可得到每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的標(biāo)量電勢(shì)。

3 數(shù)值分析算例

寄生參數(shù)提取是集成電路工業(yè)中的重要議題，它是典型的靜電場(chǎng)問(wèn)題。文中利用所提出的有限元法在對(duì)偶網(wǎng)格MD中提取8 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的電容值。如圖4 所示，C8被設(shè)為主導(dǎo)體并施加1 V 電壓，其他導(dǎo)體作為環(huán)境導(dǎo)體并施加0 V 電壓。

圖4 三維多導(dǎo)體系統(tǒng)的電容參數(shù)提取算例結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 中描述的是8 導(dǎo)體結(jié)構(gòu)，導(dǎo)體被相對(duì)介電常數(shù)為3.70 的材料（圖中所示的尺寸非等比例）包圍。

如圖5 所示，計(jì)算區(qū)域經(jīng)Delaunay 三角化離散形成原始網(wǎng)格MP，然后通過(guò)外心形成對(duì)偶網(wǎng)格MD。文中采用了標(biāo)量的原始有限元（primal FEM，標(biāo)記為pFEM）、矢量對(duì)偶有限元（dual FEM，標(biāo)記為dFEM），以及所提出的多胞體（如多棱柱）有限元（polytope FEM，標(biāo)記為tFEM）。

圖5 網(wǎng)格單元

電勢(shì)分布及能量的計(jì)算結(jié)果如圖6 所示。由于對(duì)偶有限元的兩種方法具有能量互補(bǔ)特征，其均值也被用來(lái)作為參考基準(zhǔn)。針對(duì)原始網(wǎng)格上的算例#1 與算例#2，算例#1 具有9 126 個(gè)節(jié)點(diǎn)、16 150 個(gè)單元，算例#2 具有41 834 個(gè)節(jié)點(diǎn)、77 550 個(gè)單元，計(jì)算相關(guān)概要信息，如表1、表2 所示。對(duì)應(yīng)情況下，指定的主導(dǎo)體C8的自電容與互電容結(jié)果如表3、表4 所示。

圖6 不同有限元法計(jì)算獲得的電勢(shì)分布計(jì)算結(jié)果

表1 不同算例網(wǎng)格的概要信息

表2 不同算例有限元法計(jì)算的概要信息

表3 不同有限元法的算例#1電容參數(shù)提取結(jié)果

表4 不同有限元法的算例#2電容參數(shù)提取結(jié)果

隨著網(wǎng)格加密的電容參數(shù)提取結(jié)果如圖7 所示，結(jié)果表明，多胞體有限元法具有良好的收斂性和精度，與原始有限元法相比，雖然耗時(shí)略多，但明顯具有更高的精度。

圖7 導(dǎo)體C4與C8之間的電容

4 結(jié)論

與基于原始網(wǎng)格的傳統(tǒng)標(biāo)量有限元法及矢量有限元法不同，文中給出了一種基于對(duì)偶網(wǎng)格的標(biāo)量有限元法，該方法采用廣義重心坐標(biāo)系進(jìn)行插值函數(shù)的構(gòu)建。這類方法近些年才重新興起，并在包括電磁場(chǎng)分析的領(lǐng)域有所應(yīng)用，但是廣義重心坐標(biāo)及相應(yīng)的有限元法計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高，文中針對(duì)三維多棱柱單元，提出一種基于分片插值的方法，以快速獲得伽遼金格式的有限元法的形函數(shù)，并將其用于集成電路的參數(shù)提取。對(duì)數(shù)值的分析結(jié)果表明，該方法具有良好的精度，且隨著網(wǎng)格的加密也呈現(xiàn)出穩(wěn)定的收斂性。該方法容易推廣到其他單元類型，并且對(duì)偶網(wǎng)格也很容易由原始網(wǎng)格導(dǎo)出。

從經(jīng)驗(yàn)上來(lái)看，多胞體有限元法比原始網(wǎng)格上的標(biāo)量有限元法的精度高，該方法實(shí)際上隱含了在多個(gè)細(xì)密的網(wǎng)格上進(jìn)行形函數(shù)導(dǎo)出的過(guò)程。為了將多胞體有限元應(yīng)用于實(shí)際工程，有必要對(duì)網(wǎng)格離散誤差和有限元計(jì)算誤差的估計(jì)進(jìn)行理論研究。