London 磁場(chǎng)的物理機(jī)制研究*

伍岳 肖立業(yè)2)?

1) (中國(guó)科學(xué)院電工研究所，北京 100190)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引言

自從超導(dǎo)體被發(fā)現(xiàn)至今[1]，其零電阻效應(yīng)、完全抗磁性[2](Meissner 效應(yīng))以及約瑟夫森效應(yīng)[3]等得到廣泛的研究和應(yīng)用[4-6].除此以外，超導(dǎo)體在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下還會(huì)產(chǎn)生微弱的磁場(chǎng)，即London 磁場(chǎng).該效應(yīng)在1933 年由Becker 等[7]首次提出，Becker等采用經(jīng)典電磁學(xué)理論，假定超導(dǎo)電子在超導(dǎo)體內(nèi)部不受任何阻礙地自由運(yùn)動(dòng)，因此當(dāng)超導(dǎo)體從靜止開始加速旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的只有原子核及正常態(tài)電子，超導(dǎo)電子在初始階段并不隨超導(dǎo)體一起旋轉(zhuǎn)，原子核及正常態(tài)電子構(gòu)成的正電荷背景在加速旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生不斷變化的渦旋電流，并在軸向產(chǎn)生一個(gè)變化磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)又會(huì)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)E:

該渦旋電場(chǎng)將使超導(dǎo)電子隨旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體一起旋轉(zhuǎn):

式中，v為超導(dǎo)電子運(yùn)動(dòng)速度;e為電子電荷;m為自由電子質(zhì)量.對(duì)于旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體而言，v=ω×r.結(jié)合(1)式和(2)式，并假定初始時(shí)刻ω(t=0)=B(t=0)=0，對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分可得

(3)式表明旋轉(zhuǎn)的超導(dǎo)體將在內(nèi)部產(chǎn)生磁場(chǎng).同時(shí)，利用空間磁場(chǎng)在超導(dǎo)體邊界的連續(xù)分布條件，得出旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中超導(dǎo)電子的旋轉(zhuǎn)將滯后于超導(dǎo)體正電荷背景，這使得旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體表面產(chǎn)生超導(dǎo)電流，而(3)式中的磁場(chǎng)正是由此產(chǎn)生.

1960 年，London[8]在Becker 等[7]的基礎(chǔ)上，假設(shè)London 方程在旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中依然適用，由London 第二方程:

式中，n為超導(dǎo)電子密度;將超導(dǎo)電流密度=nev表達(dá)式代入(4)式并考慮到v=ω×r，便可得出(3)式.相比于Becker 等的推導(dǎo)，London 的結(jié)果指出產(chǎn)生的磁場(chǎng)是超導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)的必然結(jié)果，并與時(shí)間積分項(xiàng)無關(guān).由于他的工作，該磁場(chǎng)也被稱為L(zhǎng)ondon磁場(chǎng).London 的理論雖然能夠得到London 磁場(chǎng)的表達(dá)式，但是其推導(dǎo)過程是根據(jù)超導(dǎo)電子旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的超導(dǎo)電流來反推出需要的London 磁場(chǎng)，并未明確指出London 磁場(chǎng)的產(chǎn)生機(jī)理.

在這之后，人們從不同理論角度出發(fā)，對(duì)旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體及London 磁場(chǎng)的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行了一系列研究[9-33].Rystephanick[9]假設(shè)旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中超導(dǎo)電子受到的凈作用力為0，因此需要產(chǎn)生電磁力抵消慣性力，其中除了要產(chǎn)生軸向均勻磁場(chǎng)(即London 磁場(chǎng))抵消科里奧利力之外，還要產(chǎn)生徑向電場(chǎng)抵消慣性離心力，但是該理論并未對(duì)抵消慣性力的電磁場(chǎng)的產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行解釋.

Capellmann[10]則從G-L 理論出發(fā)，提出旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體的G-L 方程要進(jìn)行如下修正:

當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度ω不是非?？鞎r(shí)，可以認(rèn)為超導(dǎo)電子波函數(shù)ψ是剛性的，通過對(duì)(6)式兩邊求旋度，并令，可以求得London 磁場(chǎng)的表達(dá)式:

(7)式表明旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)部磁場(chǎng)并非處處均勻，通過(6)式可以得出旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體表面的穿透深度內(nèi)存在超導(dǎo)電流，而London 磁場(chǎng)正是來源于該超導(dǎo)電流[11，12].然而，該理論對(duì)于超導(dǎo)電流的產(chǎn)生原因并未進(jìn)行解釋.

Hirsch[13-16]則提出，對(duì)于超導(dǎo)體來說，由一對(duì)動(dòng)量相反的電子構(gòu)成Cooper 對(duì)，Cooper 對(duì)的軌道半徑擴(kuò)展為2λ并遠(yuǎn)大于正常態(tài)電子的軌道.由于在旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體表面的超導(dǎo)電子在其軌道半徑2λ范圍內(nèi)保持角動(dòng)量守恒，超導(dǎo)體表面的2λ深度的超導(dǎo)電子旋轉(zhuǎn)速度為

超導(dǎo)體最外層的超流電子速度較超導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)速度而言存在滯后，二者相差為

London 磁場(chǎng)即由超導(dǎo)體最外層超導(dǎo)電流產(chǎn)生.然而，關(guān)于超導(dǎo)電子半徑為何擴(kuò)展為2λ，該理論并未進(jìn)行解釋，且至今沒有實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

除了理論方面，人們對(duì)于London 磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究也相繼開展.Hildebrandt[21]率先利用磁通門磁強(qiáng)計(jì)獲得了超導(dǎo)體Nb 在加速(或減速)旋轉(zhuǎn)過程中的London 磁場(chǎng)信號(hào)變化.Brickman[22]利用機(jī)械轉(zhuǎn)子帶動(dòng)超導(dǎo)棒在低溫、磁屏蔽的環(huán)境下旋轉(zhuǎn)，并利用SQUID 探測(cè)線圈檢測(cè)磁場(chǎng)信號(hào)，成功探測(cè)到金屬Sn，Al 以及合金InBi 等傳統(tǒng)超導(dǎo)體在超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度下London 磁場(chǎng)隨超導(dǎo)體角速度的變化，驗(yàn)證了旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中London 磁場(chǎng)的存在.銅氧化物高溫超導(dǎo)體[23]，以及重費(fèi)米子超導(dǎo)體中[24]的London 磁場(chǎng)也相繼通過實(shí)驗(yàn)得以證實(shí).但是，已有的實(shí)驗(yàn)并未對(duì)旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)London 磁場(chǎng)的空間分布進(jìn)行測(cè)試研究，因而無法依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)London 磁場(chǎng)的物理機(jī)制做出準(zhǔn)確的判斷.關(guān)于London 磁場(chǎng)均勻性的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作仍有待開展.

超導(dǎo)現(xiàn)象的本質(zhì)是宏觀量子現(xiàn)象，大量超導(dǎo)電子處于相位相干態(tài).目前對(duì)于旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體的理論研究主要集中于超導(dǎo)電子在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而對(duì)于作為一種宏觀量子態(tài)的超導(dǎo)體內(nèi)部電子波函數(shù)相位變化關(guān)注較少.本文將從帶電粒子在旋轉(zhuǎn)作用下的貝里相位[34]出發(fā)，進(jìn)而推廣至具有宏觀量子效應(yīng)的超導(dǎo)電子，并對(duì)超導(dǎo)電子的貝里相位與London 磁場(chǎng)的關(guān)系進(jìn)行探討.

2 旋轉(zhuǎn)作用下的超導(dǎo)電子

2.1 旋轉(zhuǎn)作用下超導(dǎo)電子的薛定諤方程

臨界溫度以下，超導(dǎo)體內(nèi)部將形成超導(dǎo)電子(庫(kù)伯對(duì))并發(fā)生宏觀凝聚現(xiàn)象，超導(dǎo)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將由描述宏觀體系的集體波函數(shù)表示.由BCS理論[35]可知，超導(dǎo)電子集體基態(tài)波函數(shù)可以寫為

式中，uk，vk分別為動(dòng)量為k的對(duì)態(tài)未被占據(jù)和占據(jù)的幾率振幅;為電子產(chǎn)生算符;Ψ0為真空態(tài).利用場(chǎng)算符φ代替ck↑:

(α=↑ 或 ↓).則超導(dǎo)電子體系哈密頓量可以寫為

式中，V為超導(dǎo)電子相互吸引勢(shì);h(r) 為單電子哈密頓量:

其中Aem為外部電磁矢勢(shì);U0為任意外勢(shì);EF為費(fèi)米能級(jí).

可以看出，超導(dǎo)電子集體運(yùn)動(dòng)中的單電子哈密頓量和微觀體系中單個(gè)自由電子具有相同的形式(只是多了吸引勢(shì)和外勢(shì)作用)，因此在討論旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中的超導(dǎo)電子時(shí)，可以從旋轉(zhuǎn)作用下的單個(gè)自由電子出發(fā)，而在推廣至超導(dǎo)電子時(shí)，只用將波函數(shù)由單個(gè)自由電子變?yōu)槌瑢?dǎo)電子.

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)系下(不考慮外部電磁場(chǎng))，電子受到的慣性力可以寫為

式中，m為電子質(zhì)量;v為電子的速度;ω為轉(zhuǎn)動(dòng)系的角速度.(15)式中的第一項(xiàng)為科里奧利力，第二項(xiàng)為慣性離心力，第三項(xiàng)為角加速度項(xiàng).

考慮到慣性離心力為一保守力，因此可以將其寫為標(biāo)量勢(shì)的梯度形式:

在這里U為引入的標(biāo)量勢(shì).令矢量勢(shì)ω×r=a，代入(15)式，可得

在這里用到公式?×a=2ω.將(17)式寫成張量形式，有

因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)系的矢量勢(shì)a與電荷的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，因此(19)式又可以寫為

將(20)式代入拉格朗日方程，得到:

則自由電子在轉(zhuǎn)動(dòng)系下的拉格朗日函數(shù)為

對(duì)應(yīng)的正則動(dòng)量和哈密頓函數(shù)為

則自由電子在旋轉(zhuǎn)作用下的薛定諤方程可以寫為

如前文中提到的，對(duì)于旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體而言(25)式同樣適用，只不過此時(shí)的ψ代表超導(dǎo)電子波函數(shù).

2.2 旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體的貝里相位與London 磁場(chǎng)

考慮一旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)圓盤(圖1 所示)，旋轉(zhuǎn)角速度為ω，在距離旋轉(zhuǎn)軸R處存在一密閉盒子，數(shù)量為N的超導(dǎo)電子位于盒中，其坐標(biāo)為r.

圖1 旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體示意圖Fig.1.Schematic diagram of rotating superconductor.

由于超導(dǎo)電子是一個(gè)多體系統(tǒng)，其集體波函數(shù)可以寫為如下形式:

式中，r1，r2，r3···rN為超導(dǎo)電子空間坐標(biāo).令|n，R〉和En(R) 分別為超導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下超導(dǎo)電子的本征態(tài)和能量本征值，則對(duì)于超導(dǎo)電子定態(tài)薛定諤方程，其形式解可以寫為[36]

其中滿足ω=0 時(shí)的定態(tài)薛定諤方程.現(xiàn)考慮密閉盒子在旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)延閉合路徑緩慢轉(zhuǎn)過一圈的情形.利用完備性公式:

將(27)式代入(28)式，可得

對(duì)于(29)式右邊的第二項(xiàng)，由于為非旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下超導(dǎo)電子集體波函數(shù)，且與R的選擇無關(guān)，因此該積分項(xiàng)為一標(biāo)量常數(shù)項(xiàng)，延閉合路徑積分為0.由此，旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)所有N個(gè)超導(dǎo)電子沿閉合路徑轉(zhuǎn)過一圈產(chǎn)生的貝里相位總和為

對(duì)應(yīng)于每個(gè)超導(dǎo)電子，其產(chǎn)生的貝里相位為

利用斯托克斯公式:

可以看出，所有超導(dǎo)電子在旋轉(zhuǎn)作用下沿閉合路徑積分一圈時(shí)獲得的附加相位與存在外加磁矢勢(shì)的情況(見貝里等人推導(dǎo)A-B 效應(yīng)的結(jié)果)具有一致的形式，在這里磁通量Φ由強(qiáng)度為的磁場(chǎng)產(chǎn)生，該磁場(chǎng)即為L(zhǎng)ondon 磁場(chǎng).

對(duì)于常規(guī)導(dǎo)體材料而言，其內(nèi)部大量自由電子構(gòu)成一個(gè)多體系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)處于旋轉(zhuǎn)作用中時(shí)，由于系統(tǒng)內(nèi)的自由電子相位無相干性，因此無法宏觀體現(xiàn)貝里相位.不同于常規(guī)導(dǎo)體材料，超導(dǎo)體內(nèi)部的超導(dǎo)電子處于宏觀量子態(tài)，超導(dǎo)電子之間的相位并非雜亂無章，而是在超導(dǎo)體內(nèi)保持相位相干一致性，因而超導(dǎo)電子相位的集體變化(貝里相位變化)將可能具有宏觀效應(yīng)，圖2 所示為常規(guī)導(dǎo)體內(nèi)部電子和超導(dǎo)體內(nèi)部電子在旋轉(zhuǎn)作用下的相位變化示意圖.

圖2 常規(guī)導(dǎo)體與超導(dǎo)體旋轉(zhuǎn)過程中內(nèi)部電子貝里相位變化示意圖.圖中常規(guī)導(dǎo)體與超導(dǎo)體內(nèi)部的半圓形箭頭表示旋轉(zhuǎn)過程中電子產(chǎn)生的貝里相位Fig.2.Schematic diagram of the Berry phase during the rotation of conventional conductors and superconductors.The semicircular arrows inside the conventional conductor and superconductor in the figure represent the Berry phase of electronics.

在旋轉(zhuǎn)作用下超導(dǎo)電子沿旋轉(zhuǎn)空間閉合回路旋轉(zhuǎn)一周，對(duì)應(yīng)的貝里曲率正好為L(zhǎng)ondon 磁場(chǎng)，因此，旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體的London 磁場(chǎng)可以看做超導(dǎo)電子貝里相位的宏觀效應(yīng)，即可以視為超導(dǎo)電子貝里相位的變化產(chǎn)生了一個(gè)磁場(chǎng)，也可以看作A-B 效應(yīng)的逆效應(yīng).

3 討論

對(duì)于一個(gè)量子體系而言，要產(chǎn)生貝里相位并成為可觀測(cè)量，需要滿足兩個(gè)條件:首先，只有量子體系波函數(shù)在物理參量空間對(duì)應(yīng)的貝里曲率不為零的情況下，才可以產(chǎn)生非零的貝里相位.可以看出，無論是在旋轉(zhuǎn)還是外加磁場(chǎng)空間都會(huì)產(chǎn)生非零的貝里曲率.其次，貝里相位的可觀測(cè)性還取決于觀測(cè)的對(duì)象.在微觀系統(tǒng)中，例如A-B 效應(yīng)、自旋1/2 的粒子在外磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都是貝里相位的微觀體現(xiàn).而對(duì)于大多數(shù)宏觀系統(tǒng)而言，其內(nèi)部包含大量隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的粒子，且粒子的波函數(shù)相位雜亂無序，每個(gè)粒子產(chǎn)生的貝里相位也不具備相干性，因而大多數(shù)多粒子系統(tǒng)的貝里相位無法被實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到.超導(dǎo)體是為數(shù)不多的具有宏觀量子效應(yīng)的材料，由于其內(nèi)部的超導(dǎo)電子具有相位相干性，因此可以實(shí)現(xiàn)貝里相位的實(shí)驗(yàn)觀測(cè).

旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體London 磁場(chǎng)與超導(dǎo)電子的貝里相位可能存在密切關(guān)聯(lián)，而London 磁場(chǎng)的產(chǎn)生原因有以下兩種可能:

1) 為使超導(dǎo)電子保持相位不變，即要求超導(dǎo)電子在旋轉(zhuǎn)一周后產(chǎn)生的貝里相位為0.為此，需要產(chǎn)生一個(gè)等效的反向磁場(chǎng)來抵消旋轉(zhuǎn)作用下產(chǎn)生的貝里相位，該磁場(chǎng)即為L(zhǎng)ondon 磁場(chǎng)[36].

2) 有關(guān)貝里相位的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)(例如A-B 效應(yīng)等)已經(jīng)清楚地表明空間磁矢勢(shì)可以影響帶電粒子的相位，從而產(chǎn)生一個(gè)非平庸的貝里相位，說明磁矢勢(shì)(磁場(chǎng))可以改變粒子波函數(shù)的幾何相位;本文認(rèn)為，貝里相位的變化也可能產(chǎn)生等效的磁矢勢(shì)，磁矢勢(shì)改變波函數(shù)幾何相位的逆效應(yīng)同樣存在，即London 磁場(chǎng)來自旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)超導(dǎo)電子貝里相位的變化.

上述理論假設(shè)需要設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)并進(jìn)一步確定.首先，若London 磁場(chǎng)起源于超導(dǎo)電子的相位剛性或貝里相位的變化，超導(dǎo)體內(nèi)部空間的London 磁場(chǎng)應(yīng)該均勻分布;而如果London 磁場(chǎng)由旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體在最外層形成的超導(dǎo)電流產(chǎn)生，則該磁場(chǎng)在旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)的分布就不是均勻的.因此可以通過測(cè)試旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體內(nèi)London 磁場(chǎng)的空間分布情況來進(jìn)行驗(yàn)證.除此以外，還可以通過測(cè)試旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體是否存在徑向電場(chǎng)來進(jìn)一步確定London 磁場(chǎng)的產(chǎn)生機(jī)理.

4 結(jié)論

本文對(duì)帶電粒子旋轉(zhuǎn)作用下的貝里相位進(jìn)行了理論分析，進(jìn)而推廣至旋轉(zhuǎn)超導(dǎo)體中超導(dǎo)電子的貝里相位，并得出產(chǎn)生London 磁場(chǎng)的兩種可能的物理機(jī)制:即源于超導(dǎo)電子抵消貝里相位變化，或是由貝里相位的變化可以產(chǎn)生磁矢勢(shì)(即A-B 效應(yīng)的逆效應(yīng)).然而，目前還未有實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.因此，相關(guān)的問題仍有待進(jìn)一步研究.

感謝中國(guó)科學(xué)院電工研究所客座學(xué)者邵明學(xué)研究員的有益幫助.