London 磁場的物理機制研究*

伍岳 肖立業(yè)2)?

1) (中國科學院電工研究所，北京 100190)

2) (中國科學院大學，北京 100049)

1 引言

自從超導體被發(fā)現(xiàn)至今[1]，其零電阻效應、完全抗磁性[2](Meissner 效應)以及約瑟夫森效應[3]等得到廣泛的研究和應用[4-6].除此以外，超導體在旋轉狀態(tài)下還會產生微弱的磁場，即London 磁場.該效應在1933 年由Becker 等[7]首次提出，Becker等采用經(jīng)典電磁學理論，假定超導電子在超導體內部不受任何阻礙地自由運動，因此當超導體從靜止開始加速旋轉時，轉動的只有原子核及正常態(tài)電子，超導電子在初始階段并不隨超導體一起旋轉，原子核及正常態(tài)電子構成的正電荷背景在加速旋轉過程中會產生不斷變化的渦旋電流，并在軸向產生一個變化磁場，變化的磁場又會產生渦旋電場E:

該渦旋電場將使超導電子隨旋轉超導體一起旋轉:

式中，v為超導電子運動速度;e為電子電荷;m為自由電子質量.對于旋轉超導體而言，v=ω×r.結合(1)式和(2)式，并假定初始時刻ω(t=0)=B(t=0)=0，對時間進行積分可得

(3)式表明旋轉的超導體將在內部產生磁場.同時，利用空間磁場在超導體邊界的連續(xù)分布條件，得出旋轉超導體中超導電子的旋轉將滯后于超導體正電荷背景，這使得旋轉超導體表面產生超導電流，而(3)式中的磁場正是由此產生.

1960 年，London[8]在Becker 等[7]的基礎上，假設London 方程在旋轉超導體中依然適用，由London 第二方程:

式中，n為超導電子密度;將超導電流密度=nev表達式代入(4)式并考慮到v=ω×r，便可得出(3)式.相比于Becker 等的推導，London 的結果指出產生的磁場是超導體旋轉的必然結果，并與時間積分項無關.由于他的工作，該磁場也被稱為London磁場.London 的理論雖然能夠得到London 磁場的表達式，但是其推導過程是根據(jù)超導電子旋轉產生的超導電流來反推出需要的London 磁場，并未明確指出London 磁場的產生機理.

在這之后，人們從不同理論角度出發(fā)，對旋轉超導體及London 磁場的產生機理進行了一系列研究[9-33].Rystephanick[9]假設旋轉超導體中超導電子受到的凈作用力為0，因此需要產生電磁力抵消慣性力，其中除了要產生軸向均勻磁場(即London 磁場)抵消科里奧利力之外，還要產生徑向電場抵消慣性離心力，但是該理論并未對抵消慣性力的電磁場的產生機理進行解釋.

Capellmann[10]則從G-L 理論出發(fā)，提出旋轉超導體的G-L 方程要進行如下修正:

當旋轉速度ω不是非常快時，可以認為超導電子波函數(shù)ψ是剛性的，通過對(6)式兩邊求旋度，并令，可以求得London 磁場的表達式:

(7)式表明旋轉超導體內部磁場并非處處均勻，通過(6)式可以得出旋轉超導體表面的穿透深度內存在超導電流，而London 磁場正是來源于該超導電流[11，12].然而，該理論對于超導電流的產生原因并未進行解釋.

Hirsch[13-16]則提出，對于超導體來說，由一對動量相反的電子構成Cooper 對，Cooper 對的軌道半徑擴展為2λ并遠大于正常態(tài)電子的軌道.由于在旋轉超導體表面的超導電子在其軌道半徑2λ范圍內保持角動量守恒，超導體表面的2λ深度的超導電子旋轉速度為

超導體最外層的超流電子速度較超導體旋轉速度而言存在滯后，二者相差為

London 磁場即由超導體最外層超導電流產生.然而，關于超導電子半徑為何擴展為2λ，該理論并未進行解釋，且至今沒有實驗驗證.

除了理論方面，人們對于London 磁場的實驗研究也相繼開展.Hildebrandt[21]率先利用磁通門磁強計獲得了超導體Nb 在加速(或減速)旋轉過程中的London 磁場信號變化.Brickman[22]利用機械轉子帶動超導棒在低溫、磁屏蔽的環(huán)境下旋轉，并利用SQUID 探測線圈檢測磁場信號，成功探測到金屬Sn，Al 以及合金InBi 等傳統(tǒng)超導體在超導轉變溫度下London 磁場隨超導體角速度的變化，驗證了旋轉超導體中London 磁場的存在.銅氧化物高溫超導體[23]，以及重費米子超導體中[24]的London 磁場也相繼通過實驗得以證實.但是，已有的實驗并未對旋轉超導體內London 磁場的空間分布進行測試研究，因而無法依據(jù)實驗結果對London 磁場的物理機制做出準確的判斷.關于London 磁場均勻性的實驗驗證工作仍有待開展.

超導現(xiàn)象的本質是宏觀量子現(xiàn)象，大量超導電子處于相位相干態(tài).目前對于旋轉超導體的理論研究主要集中于超導電子在旋轉坐標系下的運動規(guī)律，而對于作為一種宏觀量子態(tài)的超導體內部電子波函數(shù)相位變化關注較少.本文將從帶電粒子在旋轉作用下的貝里相位[34]出發(fā)，進而推廣至具有宏觀量子效應的超導電子，并對超導電子的貝里相位與London 磁場的關系進行探討.

2 旋轉作用下的超導電子

2.1 旋轉作用下超導電子的薛定諤方程

臨界溫度以下，超導體內部將形成超導電子(庫伯對)并發(fā)生宏觀凝聚現(xiàn)象，超導電子的運動狀態(tài)將由描述宏觀體系的集體波函數(shù)表示.由BCS理論[35]可知，超導電子集體基態(tài)波函數(shù)可以寫為

式中，uk，vk分別為動量為k的對態(tài)未被占據(jù)和占據(jù)的幾率振幅;為電子產生算符;Ψ0為真空態(tài).利用場算符φ代替ck↑:

(α=↑ 或 ↓).則超導電子體系哈密頓量可以寫為

式中，V為超導電子相互吸引勢;h(r) 為單電子哈密頓量:

其中Aem為外部電磁矢勢;U0為任意外勢;EF為費米能級.

可以看出，超導電子集體運動中的單電子哈密頓量和微觀體系中單個自由電子具有相同的形式(只是多了吸引勢和外勢作用)，因此在討論旋轉超導體中的超導電子時，可以從旋轉作用下的單個自由電子出發(fā)，而在推廣至超導電子時，只用將波函數(shù)由單個自由電子變?yōu)槌瑢щ娮?

考慮轉動系下(不考慮外部電磁場)，電子受到的慣性力可以寫為

式中，m為電子質量;v為電子的速度;ω為轉動系的角速度.(15)式中的第一項為科里奧利力，第二項為慣性離心力，第三項為角加速度項.

考慮到慣性離心力為一保守力，因此可以將其寫為標量勢的梯度形式:

在這里U為引入的標量勢.令矢量勢ω×r=a，代入(15)式，可得

在這里用到公式?×a=2ω.將(17)式寫成張量形式，有

因為轉動系的矢量勢a與電荷的運動速度無關，因此(19)式又可以寫為

將(20)式代入拉格朗日方程，得到:

則自由電子在轉動系下的拉格朗日函數(shù)為

對應的正則動量和哈密頓函數(shù)為

則自由電子在旋轉作用下的薛定諤方程可以寫為

如前文中提到的，對于旋轉超導體而言(25)式同樣適用，只不過此時的ψ代表超導電子波函數(shù).

2.2 旋轉超導體的貝里相位與London 磁場

考慮一旋轉超導圓盤(圖1 所示)，旋轉角速度為ω，在距離旋轉軸R處存在一密閉盒子，數(shù)量為N的超導電子位于盒中，其坐標為r.

圖1 旋轉超導體示意圖Fig.1.Schematic diagram of rotating superconductor.

由于超導電子是一個多體系統(tǒng)，其集體波函數(shù)可以寫為如下形式:

式中，r1，r2，r3···rN為超導電子空間坐標.令|n，R〉和En(R) 分別為超導體旋轉狀態(tài)下超導電子的本征態(tài)和能量本征值，則對于超導電子定態(tài)薛定諤方程，其形式解可以寫為[36]

其中滿足ω=0 時的定態(tài)薛定諤方程.現(xiàn)考慮密閉盒子在旋轉超導體內延閉合路徑緩慢轉過一圈的情形.利用完備性公式:

將(27)式代入(28)式，可得

對于(29)式右邊的第二項，由于為非旋轉狀態(tài)下超導電子集體波函數(shù)，且與R的選擇無關，因此該積分項為一標量常數(shù)項，延閉合路徑積分為0.由此，旋轉超導體內所有N個超導電子沿閉合路徑轉過一圈產生的貝里相位總和為

對應于每個超導電子，其產生的貝里相位為

利用斯托克斯公式:

可以看出，所有超導電子在旋轉作用下沿閉合路徑積分一圈時獲得的附加相位與存在外加磁矢勢的情況(見貝里等人推導A-B 效應的結果)具有一致的形式，在這里磁通量Φ由強度為的磁場產生，該磁場即為London 磁場.

對于常規(guī)導體材料而言，其內部大量自由電子構成一個多體系統(tǒng)，當系統(tǒng)處于旋轉作用中時，由于系統(tǒng)內的自由電子相位無相干性，因此無法宏觀體現(xiàn)貝里相位.不同于常規(guī)導體材料，超導體內部的超導電子處于宏觀量子態(tài)，超導電子之間的相位并非雜亂無章，而是在超導體內保持相位相干一致性，因而超導電子相位的集體變化(貝里相位變化)將可能具有宏觀效應，圖2 所示為常規(guī)導體內部電子和超導體內部電子在旋轉作用下的相位變化示意圖.

圖2 常規(guī)導體與超導體旋轉過程中內部電子貝里相位變化示意圖.圖中常規(guī)導體與超導體內部的半圓形箭頭表示旋轉過程中電子產生的貝里相位Fig.2.Schematic diagram of the Berry phase during the rotation of conventional conductors and superconductors.The semicircular arrows inside the conventional conductor and superconductor in the figure represent the Berry phase of electronics.

在旋轉作用下超導電子沿旋轉空間閉合回路旋轉一周，對應的貝里曲率正好為London 磁場，因此，旋轉超導體的London 磁場可以看做超導電子貝里相位的宏觀效應，即可以視為超導電子貝里相位的變化產生了一個磁場，也可以看作A-B 效應的逆效應.

3 討論

對于一個量子體系而言，要產生貝里相位并成為可觀測量，需要滿足兩個條件:首先，只有量子體系波函數(shù)在物理參量空間對應的貝里曲率不為零的情況下，才可以產生非零的貝里相位.可以看出，無論是在旋轉還是外加磁場空間都會產生非零的貝里曲率.其次，貝里相位的可觀測性還取決于觀測的對象.在微觀系統(tǒng)中，例如A-B 效應、自旋1/2 的粒子在外磁場中的運動等實驗現(xiàn)象都是貝里相位的微觀體現(xiàn).而對于大多數(shù)宏觀系統(tǒng)而言，其內部包含大量隨機運動的粒子，且粒子的波函數(shù)相位雜亂無序，每個粒子產生的貝里相位也不具備相干性，因而大多數(shù)多粒子系統(tǒng)的貝里相位無法被實驗觀測到.超導體是為數(shù)不多的具有宏觀量子效應的材料，由于其內部的超導電子具有相位相干性，因此可以實現(xiàn)貝里相位的實驗觀測.

旋轉超導體London 磁場與超導電子的貝里相位可能存在密切關聯(lián)，而London 磁場的產生原因有以下兩種可能:

1) 為使超導電子保持相位不變，即要求超導電子在旋轉一周后產生的貝里相位為0.為此，需要產生一個等效的反向磁場來抵消旋轉作用下產生的貝里相位，該磁場即為London 磁場[36].

2) 有關貝里相位的經(jīng)典實驗(例如A-B 效應等)已經(jīng)清楚地表明空間磁矢勢可以影響帶電粒子的相位，從而產生一個非平庸的貝里相位，說明磁矢勢(磁場)可以改變粒子波函數(shù)的幾何相位;本文認為，貝里相位的變化也可能產生等效的磁矢勢，磁矢勢改變波函數(shù)幾何相位的逆效應同樣存在，即London 磁場來自旋轉超導體內超導電子貝里相位的變化.

上述理論假設需要設計實驗并進一步確定.首先，若London 磁場起源于超導電子的相位剛性或貝里相位的變化，超導體內部空間的London 磁場應該均勻分布;而如果London 磁場由旋轉超導體在最外層形成的超導電流產生，則該磁場在旋轉超導體內的分布就不是均勻的.因此可以通過測試旋轉超導體內London 磁場的空間分布情況來進行驗證.除此以外，還可以通過測試旋轉超導體是否存在徑向電場來進一步確定London 磁場的產生機理.

4 結論

本文對帶電粒子旋轉作用下的貝里相位進行了理論分析，進而推廣至旋轉超導體中超導電子的貝里相位，并得出產生London 磁場的兩種可能的物理機制:即源于超導電子抵消貝里相位變化，或是由貝里相位的變化可以產生磁矢勢(即A-B 效應的逆效應).然而，目前還未有實驗進行驗證.因此，相關的問題仍有待進一步研究.

感謝中國科學院電工研究所客座學者邵明學研究員的有益幫助.