變截面微管道中高zeta 勢下冪律流體的旋轉(zhuǎn)電滲滑移流動*

張?zhí)禅?任美蓉 崔繼峰 陳小剛 王怡丹

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特 010051)

1 引言

微生物傳感器、微機(jī)電微生物傳感器系統(tǒng)(MEMS) 等微流控器件廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)和生化分析領(lǐng)域，是研究基本物理過程的有力工具之一[1].在這些過程中，壓力梯度、電場、磁場或它們的適當(dāng)組合是常用的驅(qū)動機(jī)制.與以往單一的壓力驅(qū)動流動模式相比，電滲和電磁驅(qū)動機(jī)制近年來受到越來越多的關(guān)注.

電滲流 (EOF) 是由于電場在管道中的作用以及雙電層 (EDL) 在通道壁上的存在而引起的流動.當(dāng)微通道的固體表面與電解質(zhì)溶液接觸時，它們之間的化學(xué)平衡導(dǎo)致界面獲得凈固定電荷，之后，電解質(zhì)溶液中的自由離子聚集在溶液表面附近的區(qū)域，形成雙電層 (EDL).近年來，人們逐漸認(rèn)識到非牛頓流體在各種工業(yè)和工程應(yīng)用中比牛頓流體更為迫切.利用電滲流的微流控器件已經(jīng)被證明在醫(yī)學(xué)應(yīng)用中是有效和實用的.冪律流體模型是最簡單、最常見的一種描述非牛頓流體的方法，受到該領(lǐng)域研究者的特別關(guān)注.例如，Patel 等[2]研究了通過聚電解質(zhì)接枝 (軟) 窄通道旋轉(zhuǎn)的電滲流中冪律流體的流動行為;Srinivas[3]研究了由冪律模型控制的非牛頓流體的二維電滲流，用于圓形和橢圓形微通道;Nekoubin[4]對非牛頓流體在彎曲矩形微通道中的電滲流動進(jìn)行了數(shù)值研究，發(fā)現(xiàn)在剪切稀化流體流動中可以通過提高 zeta 電勢來顯著提高體積流量和混合性能;Ba?os 等[5]研究了由于服從冪律的振蕩電滲流而引起的流體動力學(xué);Ba?os 等[6]研究了冪律流體中 Navier 滑移條件的影響下的振蕩電滲流 (OEOF)，并發(fā)現(xiàn)了 (OEOF)在微流控設(shè)備 (例如微混合器) 中很有用;Jiang和Qi[7]研究了具有 Navier 滑移邊界微平行管道內(nèi) Eyring 流體在外加電場力和壓力作用下的電滲流動.對于微流控器件，旋轉(zhuǎn)電滲流 (EOF) 可以提高不同液體的混合效率，從而縮短微流體的混合時間.旋轉(zhuǎn)電滲流中渦流的產(chǎn)生取決于微管道的幾何形狀;Ajdari[8]報道了微通道中正弦表面勢電滲流中渦流的產(chǎn)生;Chang 和 Wang[9]考慮了旋轉(zhuǎn)的EOF，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)降低了外加電場方向上的 EO 流速;Song 等[10]研究了三級流體在兩平行板通道中的旋轉(zhuǎn)電滲流動;Shit 等[11]研究了滑動速度對非均勻微通道中旋轉(zhuǎn)電滲流的影響;劉全生等[12]研究了平行微管道中Jeffrey 流體的非定常電滲流動;段娟等[13]研究了有限長微擴(kuò)張管道內(nèi)冪律流體在電滲驅(qū)動下非穩(wěn)態(tài)的流動特性.

除上述電滲流外，磁流體力學(xué) (MHD) 流動也因其在工程和醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用前景而備受關(guān)注[14].為了實現(xiàn)更有效的流動控制，電磁流體力學(xué) (EMHD)流動也受到了廣泛的關(guān)注，即對導(dǎo)電流體施加外加電場和磁場.電場和橫向磁場的相互作用可以產(chǎn)生洛倫茲力.大量的理論和實驗工作在文獻(xiàn)中可用于分析EMHD 流動的行為.Jian 和 Chang[15]獲得了非均勻磁場影響下 EMHD 速度分布的近似解析解;Xie 和 Jian[16]研究了通過窄微通道的冪律流體的旋轉(zhuǎn)電磁流體力學(xué) (EMHD) 流，結(jié)果可以用作開發(fā)精巧而有效的電磁設(shè)備的初步藍(lán)圖，用于涉及流量控制或物質(zhì)分離的應(yīng)用;Habib 等[17]研究了冪律流體的非定常層流自由對流的熵產(chǎn)生分析，流體流存在熱輻射和磁場;Sarkar 和Ganguly[18]研究了在疊加磁場的存在下，電動調(diào)制的軸向壓力驅(qū)動的冪律流體通過微通道的傳輸;Yang 等[19]討論了在平行微通道中的電磁流體力學(xué) (EMHD) 電滲流 (EOF) 和不可壓縮的三級流體的熵產(chǎn)生;Xie和 Jian[20]進(jìn)行了兩層通過微平行通道的磁流體動力電滲流的熵產(chǎn)生分析，并發(fā)現(xiàn)該發(fā)明可以用于設(shè)計有效的熱微設(shè)備.

對于冪律流體在高 zeta 勢、滑移邊界條件下對微流控器件 EOF 的影響研究已經(jīng)進(jìn)行了很多，但很少有對具有旋轉(zhuǎn)框架的非牛頓流體進(jìn)行同樣的科學(xué)研究.Wang 等[21]研究了高zeta 勢下冪律流體在非均勻微通道中的旋轉(zhuǎn)電滲流動 (EOF) 受滑移速度的影響;Xie 和 Jian[22]討論了冪律流體在微通道中高 zeta 勢下的旋轉(zhuǎn)電滲流動，利用非線性 Poisson-Boltzmann 模型得到了雙電層電勢分布的解析解.

受上述研究的啟發(fā)，本研究旨在研究高 zeta勢下具有滑移邊界條件的冪律流體在壁面周期性變化的變截面微管道中外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流.利用Navier-Stokes 方程和非線性 Poisson-Boltzmann模型，描述電勢的分布和雙層結(jié)構(gòu)，并用有限差分法數(shù)值計算外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流的速度分布.討論相關(guān)物理參數(shù)對冪律流體無量綱速度的影響.

2 模型描述

如圖1 所示，考慮不可壓縮冪律流體在有限長L的變截面對稱微管道中的非定常外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流.假設(shè)變截面微管道高度z′=±h′(x′) 呈余弦變化，其微管道壁的表達(dá)式為

圖1 變截面微通道中流體流動示意圖Fig.1.Schematic view of the flow in a variable cross-section microchannel.

其中a為微管道邊界高度的振幅.

使用以下坐標(biāo)變換:

(1)式轉(zhuǎn)換為以下形式:

其中 (x′，y′，z′) 為笛卡爾坐標(biāo)系;H為管道固定高度;a為微管道壁的振幅;L是微管道的有限長度，其長度遠(yuǎn)大于板間高度邊界的高度.

假設(shè)微管道系統(tǒng)中充滿了電解質(zhì)溶液，具有介電常數(shù)ε且微管道系統(tǒng)圍繞z軸旋轉(zhuǎn)的角速Ω=(0，0，Ω)，假設(shè)流體在微通道中的流動繞x′軸對稱，并沿x′方向流動.流體同時受到電場E=(Ex，Ey，0) 和磁場B=(0，0，Bz) 的作用，使微管道壁上均勻地充滿了 zeta 電勢ψω，根據(jù)靜電學(xué)理論，靜電荷密度ρf與電勢ψ滿足 Poisson-Boltzmann方程，即

由方程(4)和方程(5) 聯(lián)立可以直接得到:

相應(yīng)的邊界條件可以表示為

方程 (6) 在無Debye-Hückel 線性近似下，根據(jù)邊界條件(7)式和(8)式，方程(6)的解析解如下[21]:

其中ψω為壁面電勢;且κ為雙電層厚度的倒數(shù).n0為電解質(zhì)離子密度，z0為離子的化合價，e為單位電荷，kB為Boltzmann常數(shù)，T是絕對溫度.

整個系統(tǒng)圍繞z軸旋轉(zhuǎn)，在非慣性坐標(biāo)系下水平旋轉(zhuǎn)的流體層中，所有的速度都是相對速度，對于不可壓縮流體，給出了連續(xù)性方程:

其中V是外加磁場的電滲流的速度且V=(u，v，0) .在具有恒定角速度的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中，柯西動量方程表示為

其中τ是應(yīng)力張量;ρ為冪律流體的密度;t為時間;P為離心力修正的壓力，P=p-p|Ω×r|2/2，r=(x，y，z) ;p為壓強(qiáng);f為體積力，等于電場 力ρe(x)E和洛倫茲力J×B的和，即

其中電流J滿足歐姆定律:

在典型的微通道流動中，磁雷諾數(shù)的量級約為10—5，因此感應(yīng)磁場可以忽略不計，這也意味著感應(yīng)磁場與流速無關(guān).

對于冪律流體[23]，動力黏度μ與剪切變形速率Γ相關(guān)表達(dá)式為

這里，η是黏性系數(shù)，n是冪律流體的行為指數(shù).根據(jù)n的取值，冪律流體可分為三類:1) 膨脹塑性流體 (n＞1)，其黏度隨剪切速率的增大而增大;2)假塑性流體 (n＜ 1)，其黏度隨剪切速率的增大而減小;3)n=1 時，得到的是牛頓流體.由于黏性冪律流體的動態(tài)黏度和剪切變形速率，黏性應(yīng)力張量和應(yīng)變張量之間的關(guān)系可以表示為

其中?V是速度梯度的張量;?V ′是它的轉(zhuǎn)置.

利用文獻(xiàn)中Chang 和Wang[9]以及Xie 和Jian[22]的方法，可以找到u=u(z，t)，v=v(z，t) 形式的解.在這種情況下，連續(xù)性方程 (10) 將自動滿足，冪律流體的動力粘度可簡化為

則剪切應(yīng)力可以寫成:

因此，柯西動量方程可以簡化為

特別地，n=1 時，方程 (20)和方程(21) 中的μ(Δ)表示旋轉(zhuǎn)環(huán)境下電動勢驅(qū)動的牛頓流體流動.考慮了Navier 滑移邊界條件，給出了相應(yīng)的初始條件和邊界條件:

其中b是滑移長度參數(shù).

為了方便計算，引入無量綱變量:

這里Ueo=-εExψω/η;Ha稱為哈特曼數(shù)，表示磁力和黏滯力的比值;S是一個無量綱參數(shù)，用于估計電場強(qiáng)度;K為電動寬度，被定義為微通道半高H與EDL 厚度κ-1的比值.

將方程 (25) 代入方程 (17) 中，無量綱后冪律流體的動力黏度變?yōu)?/p>

同樣將方程 (25) 代入方程 (9) 中，得到無量綱后的Poisson-Boltzmann 方程為

相應(yīng)的邊界條件(7)式和(8)式化為

因此，無量綱后的柯西動量方程(20)和方程(21) 轉(zhuǎn)化為

Navier 滑移邊界條件及相應(yīng)的初始條件和邊界條件(22)式、(23)式和(24)式可轉(zhuǎn)化為

3 數(shù)值算法

利用有限差分法求解外加磁場的旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中冪律流體的旋轉(zhuǎn)電滲流，考慮域 (tˉ，zˉ) 屬于 [0，T]×[0，h] 速度分量u和v在離散后的網(wǎng)格上的任意一點 (i，m) 上的表達(dá)式為

考慮方程 (30) 和 方程(31) 是拋物型方程，對時間的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行一階向前差分，其表達(dá)式為

柯西動量方程 (30) 和方程 (31) 最后的差分格式為

離散化后，相應(yīng)的初始條件和邊界條件為

4 結(jié)果和討論

本文研究中，對于所有計算，空間步長和時間步長選取分別為 Δz=10-2和 Δt=5×10-6;在目前的計算中，典型微通道流動的參數(shù)值如下:電解質(zhì)溶液的介電常數(shù)ε=709×10-12F/m ;半高H=100 μm ;電解質(zhì)的濃度n0=NAc，其中c=10-5mol/L為摩爾濃度，NA=6.02×1023/mol ;ρ=1.0×103kg/m3;離子價態(tài)z0=1 ;e=1.6×10-19C ;kB=1.38×10-23J/K ;電場強(qiáng) 度Ex=104V/m ;絕對溫度T=293 K ;η=0.9×10-3;σe的變化范圍為 2 .2×10-4—106S/m ;磁場強(qiáng)度B的取值范圍為 0 .02—1 T ;交變電 場強(qiáng)度Ey的取值范圍為0—1 V/m .

為了驗證本研究數(shù)值方法的正確性，當(dāng)微管道高度波動變化的振幅a=0 時，微管道的形狀為平行管道;當(dāng)n=1 和β=0 時(即對于牛頓流體和無滑移邊界條件)，和K=30，Ω=100 rad/s，=1 V的情況下，給出了相應(yīng)的速度分量u，v的數(shù)值結(jié)果與Chang 和Wang[9]的解析結(jié)果如圖2 所示.結(jié)果表明，它們之間的一致性很好.因此，本文所建立的數(shù)值方法是有效的，可用于計算冪律流體在n≠1 時的外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲速度分布.

圖2 目前數(shù)值解與Chang 和Wang[9]解析解的比較，其中 β=0，K=30，Ω=100 rad/s，=1 V，a=0，Ha=0，S=0Fig.2.Comparison of the current numerical solution with the analytical solution of Chang and Wang [9]，β=0，K=30，Ω=100 rad/s，=1 V，a=0，Ha=0，S=0 .

如圖3 和圖4 所示為不同的冪律流體行為指數(shù)n(0.4，0.5，0.8，1，1.2)的無量綱外加磁場旋轉(zhuǎn)電滲流速度的數(shù)值變化.圖3 和圖4 分別呈現(xiàn)了滑移參數(shù)β=0 和β/=0 (即，無滑移邊界條件和存在滑移邊界條件) 時冪律流體行為指數(shù)n對x方向和y方向的速度刨面的影響.從圖3(a)和圖4(a)可以看出，對于假塑性流體 (n＜1)，它們的形狀更接近于插頭狀的外加磁場電滲流速度剖面，對于膨脹塑性流體 (n＞1)，它們更接近于拋物線形的速度剖面.除墻體上的滑移距離外，這與Wang 等[21]與 Xie 和 Jian[22]的研究結(jié)果一致.圖3(a)和圖4(a)中還可以看出，x方向的速度大小隨著冪律行為指數(shù)n的減小而增大，其原因在于冪律行為指數(shù)的增加導(dǎo)致流體的粘度較大，這使得在微通道中流動更加困難.圖3(a)和圖4(a)的對比可以得出，滑移邊界條件存在時對壁面處流體黏性的減小，也導(dǎo)致相比于不存在滑移條件時，到達(dá)了更大的速度最大值和距離壁面更短的距離.同樣的現(xiàn)象也可以在圖3(b)和圖4(b)中找到.

圖3 當(dāng)無滑移邊界條件時，冪律流體行為指數(shù)n 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的影響，其中 β=0，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.3.When there is a no-slip boundary condition，the influence of power-law fluid behavior index n on rotating electroosmotic flow velocity with the external magnetic field，β=0，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 .

圖5 中給出了哈特曼數(shù)Ha對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響.圖5 和圖6 展示了當(dāng)冪律流體行為指數(shù)n＜1 及n＞1 時，哈特曼數(shù)Ha對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響.由圖5(a)和圖5(b)與圖6(a)和圖6(b)可以看出，當(dāng)哈特曼數(shù)Ha＞1 時，速度隨著哈特曼數(shù)Ha的增加而減小，因為當(dāng)哈特曼數(shù)Ha大時，洛倫茲力里的阻力部分σeuB2變大，總的洛倫茲力變成遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電滲力.但當(dāng)哈特曼數(shù)Ha＜1 時，x方向速度u的大小隨著Ha的增加而增加，如圖5(c)和圖6(c)所示，這意味著在哈特曼數(shù)Ha小的情況下，洛倫茲力可以加快流體流動.

圖6 哈特曼數(shù)Ha 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的影響，其中n=1.2，K=10，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，S=1Fig.6.The influence of Hartmann number Ha on the velocity of rotating electroosmotic flow with external magnetic field，n=1.2，K=10，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，S=1 .

如圖7 和圖8 所示，圖中分別呈現(xiàn)了行為指數(shù)n=0.8 和n=1.2 時，旋轉(zhuǎn)角速度 Ω 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響.從圖7(a)、圖7(c)、圖7(d)和圖8(a)、圖8(c)、圖8(d)中可以看出，當(dāng)沒有旋轉(zhuǎn)角速度時，x方向的u速度在內(nèi)部有一個平坦的速度平臺.隨著Ω的增大，外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度u減小，與Xie 和 Jian[22]的結(jié)果相似.中心速度甚至在大的旋轉(zhuǎn)角速度時變?yōu)樨?fù)值(Ω=400，800).由圖7(b)和圖8(b) 表明，隨著旋轉(zhuǎn)角速度Ω的進(jìn)一步增大，y方向的速度v的中心速度表現(xiàn)出減小的特性.其結(jié)果與Chang 和Wang[9]相似.

圖7 旋轉(zhuǎn)角速度 Ω 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的影響，其中 n=0.8，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 (a) K=10，β=0.1;(b) K=10，β=0.1;(c) K=10，β=0;(d) K=20，β=0.1.Fig.7.The influence of the rotational angular velocity Ω on the rotational electroosmotic flow velocity of the external magnetic field，n=0.8，=5 V， a=0.05，Ha=1，S=1 (a) K=10，β=0.1;(b) K=10，β=0.1;(c) K=10，β=0;(d) K=20，β=0.1 .

圖8 旋轉(zhuǎn)角速度 Ω 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的影響，其中 n=1.2，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 (a) β=0.1，K=10. (b) β=0.1，K=10. (c) β=0，K=10. (d) β=0.1，K=30Fig.8.The influence of the rotational angular velocity Ω on the rotational electroosmotic flow velocity of the external magnetic field，n=1.2，=5 V， a=0.05，Ha=1，S=1 (a) β=0.1，K=10. (b) β=0.1，K=10. (c) β=0，K=10. (d) β=0.1，K=30 .

圖9、圖10 和圖11 分別呈現(xiàn)了當(dāng)行為指數(shù)n=0.8 和n=1.2 時電動寬度K對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響.從圖9 和圖10 可以看出電動寬度K的增大導(dǎo)致外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的增加，并隨著n的減小電動寬度K影響的效果更加顯著.從圖10 和圖11 中可以看到，在滑移邊界條件下 (見圖10) 出現(xiàn)與不存在滑移邊界條件下 (Xie 和Jian[22]，見圖11) 不同的結(jié)論.此外，從圖9(b)中，當(dāng)n=0.8 時，速度v呈碗狀，其大小隨電動寬度K增加.圖10(b)和圖11(b) 中，當(dāng)n=1.2 時，速度v呈拋物線形狀，在滑移邊界條件下速度隨電動寬度K增大而增大;無滑移邊界條件下隨電動寬度K增大導(dǎo)致速度減小.

圖9 電動寬度 K 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響，其中 n=0.8，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.9.The influence of the electric width K on the velocity distribution of rotating electroosmotic flow with external magnetic field，n=0.8，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V， a=0.05，Ha=1，S=1 .

圖10 電動寬度 K 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響，其中 n=1.2，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.10.The influence of the electric width K on the velocity distribution of rotating electroosmotic flow with external magnetic field，n=1.2，β=0.1，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 .

圖11 電動寬度 K 對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響，其中 n=1.2，β=0，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.11.The influence of the electric width K on the velocity distribution of rotating electroosmotic flow with external magnetic field，n=1.2，β=0，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 .

當(dāng)冪律流體行為指數(shù)分別為n=0.8 和n=1.2 時，不同的滑移參數(shù)β對外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度分布的影響如圖12 和圖13 所示.從圖12和圖13 可以發(fā)現(xiàn)，隨著滑移參數(shù)β的增加，x方向和y方向的速度均相應(yīng)的增大.由于壁面的滑移效應(yīng)，變截面微管道的中心速度要較為平穩(wěn)，接近壁面的速度受到β值的影響出現(xiàn)劇烈變化，并快速減小.從圖中可以發(fā)現(xiàn)由于滑移邊界條件的存在，壁面上的速度分布出現(xiàn)差異，β值越小邊界附近的速度下降的越劇烈.當(dāng)滑移邊界條件不存在時，即β=0，邊界處的速度將下降到0.

圖12 滑移參數(shù) β 對外加磁 場的旋轉(zhuǎn)電滲 流速度的影響，其 中 n=0.8，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.12.The influence of the slip parameter β on the rotating electroosmotic flow velocity with an external magnetic field，n=0.8，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 .

圖13 滑移參數(shù) β 對外加磁 場的旋轉(zhuǎn)電滲 流速度的影響，其 中 n=1.2，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1Fig.13.The influence of the slip parameter β on the rotating electroosmotic flow velocity with an external magnetic field，n=1.2，K=10，Ω=100 rad/s，=5 V，a=0.05，Ha=1，S=1 .

5 結(jié)論

本文建立了高zeta 勢下具有滑移邊界條件的冪律流體在變截面微管道中的外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流的數(shù)學(xué)模型，利用有限差分法，對冪律流體進(jìn)行了數(shù)值研究，得到了速度分量的數(shù)值解.結(jié)果表明，在相同的條件下，變截面微管道中假塑性流體(n＜1) 的速度比膨脹塑性流體 (n＞1) 的速度高.當(dāng)哈特曼數(shù)Ha＞1 時，速度隨著哈特曼數(shù)Ha的增加而減小;但當(dāng)哈特曼數(shù)Ha＜1 時，x方向速度u的大小隨著Ha的增加而增加.旋轉(zhuǎn)角速度 Ω 越大，外加磁場旋轉(zhuǎn)電滲流的速度逐漸減小，影響效果由壁面逐漸向中心區(qū)域增加，且達(dá)到最大值的距離逐漸靠近壁面.旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)產(chǎn)生的科里奧利力對外加磁場的電滲流起主導(dǎo)作用.電動寬度K的增大導(dǎo)致外加磁場的旋轉(zhuǎn)電滲流速度的增加，并隨著n的減小電動寬度K影響的效果更加顯著.滑移參數(shù)的增大使變截面微管道內(nèi)的流動增強(qiáng)，最大值速度接近微管道壁面.

附錄A

兩邊同時乘以 dψ/dz得到:

對上述表達(dá)式積分并應(yīng)用邊界條件(8)式和公式cosh 2x=2sinh2x+1，可得到:

其中α=z0e/kBT，κ2=2n0z02e2/εkBT.

由于 sinhx是一個奇函數(shù)，并考慮邊界條件(7)式和(8)式，電勢ψ由以下方程給出:

利用不定積分表達(dá)式:

并對 (A4)式的等價形式進(jìn)行變換，d(αψ/2)/sinh(αψ/2)=κdz，在區(qū)間 [z，h] 上積分，可以得到電勢ψ分布的表達(dá)式，即(9)式: