非厄米鑲嵌型二聚化晶格*

侯博 曾琦波

(首都師范大學(xué)物理系，北京 100048)

1 引言

非厄米系統(tǒng)在過去二三十年中引起了研究人員的廣泛關(guān)注[1-5].在所研究的系統(tǒng)中，如果要進一步考慮系統(tǒng)與外部環(huán)境的相互作用或者影響，可以在系統(tǒng)的哈密頓量中引入非厄米項，如物理增益或者損耗等.非厄米哈密頓量在光學(xué)、冷原子系統(tǒng)等經(jīng)典和量子系統(tǒng)中均有廣泛應(yīng)用[6-25].不同于傳統(tǒng)的厄米系統(tǒng)中系統(tǒng)能量始終為實數(shù)，非厄米系統(tǒng)的能量往往是復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)能譜在復(fù)能量平面中能表現(xiàn)出更為豐富的能帶結(jié)構(gòu)特征，如點能隙(point gap)和線能隙(line gap)[26]、環(huán)狀能隙(loop gap)[27，28]等.如果系統(tǒng)哈密頓量具有PT 對稱性[29-31]或者贗厄米性[32-35]，其能譜也可以為實數(shù).

近年來，具有非對稱躍遷的非厄米系統(tǒng)掀起了新一輪的研究熱潮[36-38].在格點模型中，非對稱躍遷是指相同的兩個格點之間的躍遷在不同方向具有不同的強度.例如，在一維Hanato-Nelson (HN)模型中[39]，粒子向前躍遷與向后躍遷的躍遷振幅不同，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的哈密頓量不再是厄米的.具有非對稱躍遷的系統(tǒng)中往往存在非厄米趨膚效應(yīng)(non-Hermitian skin effect)，即在開邊界條件下，系統(tǒng)的本征態(tài)不再分布于整個系統(tǒng)中，而是被局域在系統(tǒng)的邊界上[40，41].由于非厄米趨膚效應(yīng)的存在，這類系統(tǒng)的能譜對于邊界條件的變化十分敏感[42]，從而為設(shè)計新型的傳感器件提供了新的思路和靈感[43-45].此外，非厄米趨膚效應(yīng)對拓?fù)鋺B(tài)也有重要影響，會破壞傳統(tǒng)的厄米拓?fù)湎到y(tǒng)中的體-邊界對應(yīng)原理[40，41]，這一效應(yīng)也使得非厄米拓?fù)湎到y(tǒng)在最近幾年中得到了深入的研究[45-52].近期的研究表明，非厄米趨膚的拓?fù)淦鹪礊橄到y(tǒng)在周期邊界條件下存在的點狀能譜[53，54].另一方面，非對稱躍遷對無序或準(zhǔn)周期系統(tǒng)中的安德森局域化現(xiàn)象(Anderson localization)也有重要影響[39，55]，其存在往往會引起退局域化效應(yīng)(delocalization effect)[26，56-59].

目前為止，有關(guān)非對稱躍遷的系統(tǒng)的研究主要集中在將非對稱躍遷施加在所有的躍遷項上.最近，研究人員提出了鑲嵌型晶格模型，發(fā)現(xiàn)在將周期調(diào)制等間距地施加在某些格點上，系統(tǒng)中會出現(xiàn)遷移率邊等有趣的現(xiàn)象[60].類似地，當(dāng)調(diào)制項等間距地施加到躍遷項中時，系統(tǒng)的拓?fù)鋺B(tài)和局域化等也會受到影響[61，62].

本文研究一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格模型.在這類系統(tǒng)中，交替變化的非對稱躍遷被等間距地施加在躍遷項中.計算結(jié)果表明，在躍遷項均為實數(shù)的情形下，系統(tǒng)的能譜可以在一定的參數(shù)范圍內(nèi)保持為實數(shù).隨著非對稱躍遷強度的增大，系統(tǒng)在開邊界條件下的能譜會從實數(shù)變?yōu)閺?fù)數(shù).此外，系統(tǒng)的能譜性質(zhì)和非厄米趨膚效應(yīng)會受到鑲嵌型調(diào)制周期的影響.本文進一步研究了這類系統(tǒng)中的拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)并在非布洛赫能帶理論的基礎(chǔ)上，計算了貝里相位對其進行表征.本研究工作引入了一類新型的非厄米格點模型，進一步揭示了非厄米系統(tǒng)的新奇特性.

2 非厄米鑲嵌型二聚化晶格模型

2.1 模型哈密頓量

考慮具有最近鄰躍遷的一維格點模型，其中非對稱躍遷被等距離的施加在某些相鄰格點的躍遷項中，如圖1 所示.系統(tǒng)的哈密頓量如下:

圖1 具有鑲嵌型非對稱躍遷的一維非厄米二聚化晶格示意圖.第sκ 個格點和第sκ+1 格點之間的躍遷振幅是不對稱的，為 t±(-1)jλFig.1.Schematic of the one-dimensional non-Hermitian mosaic dimerized lattice with asymmetric hopping.The backward and forwardward hopping amplitudes between the sκ-th and sκ+1-th sites are t ±(-1)jλ，which are asymmetric.

其中，(cj) 為格點j處的粒子產(chǎn)生(湮滅)算符.t為相鄰格點間的躍遷振幅，λ為格點間的非對稱躍遷強度.本文取t=1 作為能量單位且所有參數(shù)均為實數(shù).κ為正整數(shù)，代表了鑲嵌型調(diào)制的周期;s的取值也為正整數(shù)，表明非對稱躍遷每隔κ個格點施加在躍遷振幅中.由于非對稱躍遷是正負(fù)交替變化的，這一模型具有二聚化晶格的特征.

2.2 有向性IPR(directional，IPR)

由于模型中存在非對稱躍遷，可以預(yù)期系統(tǒng)中將存在非厄米趨膚效應(yīng).在這一效應(yīng)的影響下，系統(tǒng)在開邊界條件下的體態(tài)都會被局域在一維格點系統(tǒng)的兩端.系統(tǒng)本征態(tài)的局域性質(zhì)可以通過計算其IPR(inversion participation ratio)來進行判斷.IPR 的定義為

式中的P() 的定義為

sgn(x) 給出了變量x的符號:當(dāng)x＞0 時為正，當(dāng)x ＜0 則為負(fù).δ為正數(shù)且取值為 0＜δ ＜0.5 .P()給出了本征態(tài)分布在系統(tǒng)的左半部分還是右半部分的信息，因而可以反映在非厄米趨膚效應(yīng)下，本征態(tài)是被局域在一維格點系統(tǒng)的左端還是右端.當(dāng)dIPR ＞0 時，說明該本征態(tài)局域在系統(tǒng)的右端;而如果dIPR＜0，則意味著該本征態(tài)局域在系統(tǒng)的左端.由此可見，可以用dIPR 來有效地對一維格點系統(tǒng)中的非厄米趨膚效應(yīng)進行區(qū)分.

3 本征能譜、非厄米趨膚效應(yīng)和拓?fù)淞隳軕B(tài)

3.1 本征能譜

首先考察一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在不同邊界條件下的本征能譜.圖2 給出了在開邊界條件下，具有不同周期(即κ)的鑲嵌型非對稱躍遷的二聚化晶格的本征能譜作為非對稱躍遷強度λ的函數(shù)圖像.從能譜的虛部(圖2 下半部分)可以看出，當(dāng)非對稱躍遷強度|λ|＜t時，系統(tǒng)的本征能量為實數(shù)，因而系統(tǒng)在這一參數(shù)區(qū)域內(nèi)具有純實數(shù)能譜.隨著|λ|的增大，系統(tǒng)的能譜不再保持為實數(shù).當(dāng)κ=1 時，非對稱躍遷被施加在所有的躍遷項上，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的能量在|λ|＞t變?yōu)榧兲摂?shù)，因此系統(tǒng)的能譜在|λ|=t處經(jīng)歷了實數(shù)能譜到虛數(shù)能譜的變化.而對于鑲嵌型調(diào)制的情況而言(κ＞1)，系統(tǒng)的能譜在|λ|＞t時變?yōu)閺?fù)數(shù).因此，在開邊界條件下，隨著非對稱躍遷的增強，系統(tǒng)的能譜會從實數(shù)變?yōu)樘摂?shù)或復(fù)數(shù)，且發(fā)生這一變化的臨界點為|λ|=t.

接下來討論系統(tǒng)在周期邊界條件下的能譜性質(zhì)，數(shù)值計算結(jié)果如圖3 所示.通過與圖2 中開邊界條件下的能譜進行比較可知，當(dāng)κ=1 和 3 時，系統(tǒng)的能譜在不同邊界條件下具有相同的結(jié)構(gòu)(邊界態(tài)除外)，且能譜在|λ|＜t的參數(shù)范圍內(nèi)均為實數(shù).而當(dāng)κ=2 和4 時，系統(tǒng)在周期邊界條件和開邊界條件下的能譜結(jié)構(gòu)則完全不同，且在周期邊界條件下，系統(tǒng)能譜在λ/=0 時即變成復(fù)數(shù).通過進一步計算其他鑲嵌調(diào)制周期κ下的能譜，發(fā)現(xiàn)當(dāng)κ為奇數(shù)時，系統(tǒng)在開邊界和周期邊界條件下的能譜是相同的(除邊界態(tài)外，見后文討論);而如果κ是偶數(shù)，則系統(tǒng)在不同邊界條件下的能譜具有十分不同的結(jié)構(gòu)，與常規(guī)的具有非對稱躍遷的晶格模型的能譜特征類似.

圖2 具有不同鑲嵌型調(diào)制的一維非厄米二聚化晶格模型在開邊界條件下的本征能譜.上半部分為能譜實部，下半部分為能譜虛部;圖中的顏色代表該能量對應(yīng)的本征態(tài)的dIPR 值;系統(tǒng)大小為 L=120Fig.2.The eigenenergy spectra of the 1D non-Hermitian dimerized lattices with different mosaic modulations.The upper panel shows the real parts of the spectra while the lower panel shows the imaginary parts，the colorbar indicates the dIPR value of the eigenstate，the lattice size is L=120 .

圖3 一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在周期性邊界條件下的本征能譜Fig.3.The eigenenergy spectra of the 1D non-Hermitian mosaic dimerized lattices under periodic boundary conditions.

3.2 非厄米趨膚效應(yīng)

下面研究一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格系統(tǒng)中的非厄米趨膚效應(yīng).圖2 中，數(shù)據(jù)點的顏色代表各個能量本征值所對應(yīng)本征態(tài)的dIPR 值.由dIPR 的定義((2)式)可知，當(dāng)dIPR＜0 時，對應(yīng)的本征態(tài)被局域在晶格的左端;而如果dIPR ＞0，則該本征態(tài)局域在晶格的右端.從圖4 中可以發(fā)現(xiàn)，在κ為奇數(shù)時，所有體態(tài)的dIPR 值都趨于0，意味著這些體態(tài)均為擴展態(tài)，系統(tǒng)中沒有趨膚效應(yīng).當(dāng)κ為偶數(shù)時，體態(tài)的dIPR 在λ＜0 的區(qū)域為正，而在λ＞0 的區(qū)域為負(fù).此時，對應(yīng)的本征態(tài)分別局域在一維晶格的右端和左端，如圖4(a)所示.λ=0 時，系統(tǒng)中不存在非對稱躍遷，因而沒有趨膚效應(yīng).為了更直觀表征趨膚效應(yīng)在不同鑲嵌型調(diào)制周期下的表現(xiàn)，可以計算dIPR的平均值，即dMIPR，其定義為

圖4 具有非對稱躍遷的一維鑲嵌型二聚化晶格中的非厄米趨膚效應(yīng) (a) 在開邊界條件下，當(dāng)本征態(tài)的 dIPR ＞0(dIPR ＜0)時，體態(tài)將局域在一維系統(tǒng)的右端(左端);(b) 系統(tǒng)的dMIPR 值在不同的鑲嵌型調(diào)制周期下的變化Fig.4.The non-Hermitian skin effect in the 1D mosaic dimerized lattices with asymmetric hopping:(a) Under open boundary conditions，the bulk eigenstates with d IPR ＞0(dIPR ＜0) will be localized at the right (left) end of the lattice;(b) the variations of dMIPR for the systems with different mosaic modulation.

圖4(b)給出了dMIPR 作為λ的函數(shù)圖像.從圖中可以看到，在κ為奇數(shù)時，dMIPR 始終在0 附近，表明系統(tǒng)中不存在趨膚效應(yīng);而當(dāng)κ是偶數(shù)時，dMIPR 則為有限值，且在λ=0 處由正值變?yōu)樨?fù)值，對應(yīng)于非厄米趨膚效應(yīng)發(fā)生方向的改變.

非厄米趨膚效應(yīng)在不同鑲嵌型調(diào)制周期下的不同表現(xiàn)也可以在能譜中反映出來(見圖2 和3).之前的研究已表明，非厄米趨膚效應(yīng)與系統(tǒng)在周期邊界條件下能譜中的點能隙有關(guān)[53，54].圖5 也給出了系統(tǒng)在λ=1.5 時的能譜.可以看到，在沒有趨膚效應(yīng)的系統(tǒng)中(即κ=1，3)，不同邊界條件下本征能量在復(fù)平面的分布是基本重合的，且周期邊界條件下的能譜沒有環(huán)狀結(jié)構(gòu)，即不存在點能隙.但在κ=2，4 的系統(tǒng)中，其周期邊界下的能譜形成環(huán)狀結(jié)構(gòu)，存在點能隙，對應(yīng)開邊界下具有趨膚效應(yīng)這一特征.

圖5 在 λ=1.5 時，系統(tǒng)在不同邊界條件下的能譜.棕色代表開邊界條件(OBC)下的能譜，藍色代表周期邊界條件(PBC)下的能譜Fig.5.The energy spectra under different boundary conditions of the system with λ=1.5 .The brown dots represent the spectra under OBC and the blue dots represent the spectra under PBC.

3.3 拓?fù)淞隳軕B(tài)

從圖2 的開邊界能譜圖可以發(fā)現(xiàn)，在某些情況下，系統(tǒng)中是存在拓?fù)溥吔鐟B(tài)的.為了更好判斷系統(tǒng)中是否存在拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)，可以計算開邊界下系統(tǒng)能譜的絕對值，如圖6 所示.當(dāng)κ=2 和 4 時，系統(tǒng)存在拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)，且拓?fù)浞瞧接箙^(qū)域與平庸區(qū)域的臨界值為|λc|≈1.42 .

圖6 一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在開邊界條件下能譜的絕對值(上圖)，圖中的顏色代表該能量對應(yīng)的本征態(tài)的dIPR 值，系統(tǒng)的大小為 L=120 ;不同 κ 值下，系統(tǒng)的本征態(tài)的空間分布(下圖)，κ=1 時，系統(tǒng)的本征態(tài)都為擴展態(tài);κ=2 和4 時，系統(tǒng)中存在局域在邊界上的 零能拓?fù)鋺B(tài).此外，在 κ=3 和4 時，系統(tǒng)中分別存在能量為|E|=1 和|E|=1.414 的邊界態(tài)Fig.6.The absolute values of the eigenenergies of the non-Hermitian mosaic dimerized lattices (upper)，the colorbar indicates the dIPR value of the eigenstates，the lattice size is L=120 ;the distribution of eigenstates for systems with different κ values(lower)，when κ=1，the eigenstates are extended.When κ=2 and 4，there are topological zero-energy edge modes in the system.In addition，in the systems with κ=3 and 4，there are also edge states with energies|E|=1 and|E|=1.414，respectively.

為表征系統(tǒng)中拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)，可以計算系統(tǒng)的貝里相位.由于存在非厄米趨膚效應(yīng)，需要使用非布洛赫能帶理論(non-Bloch band theory)[41，42].對于鑲嵌調(diào)制周期為κ的格點系統(tǒng)，其原胞中的格點數(shù)q為2 和κ的最小公倍數(shù)，即q=lcm(2，κ) .系統(tǒng)在動量空間中的布洛赫哈密頓量可以表示成一個q×q維的矩陣，且其矩陣元為

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)非布洛赫能帶理論，做如下替代:eik →β=reik.例如，對于κ=4 的系統(tǒng)，其哈密頓量可改寫為

圖7 一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在 κ=2 (藍色虛線)和 κ=4 (紅色空心圓點)時的貝里相位.數(shù)值結(jié)果分別是將本征能量的實部小于零的能帶的貝里相位相加得到，從而表征系統(tǒng)中出現(xiàn)的拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)Fig.7.The Berry phase for the 1 D non-Hermitian mosaic dimerized lattices with κ=2 (blue dashed line) and κ=4(red empty circles).The numerical results are obtained by summing up the Berrry phases of the bands with the real part of the eigenenergies smaller than 0 and thus characterize the existence of topological zero modes.

除了拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)外，在κ=3 和 4 的開邊界能譜中還可以看到非零能量的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，且這些邊界態(tài)對應(yīng)的能量為常數(shù)，不會隨著λ的變化而發(fā)生改變，如圖6(c)和(d)所示.

4 討論部分

從以上的討論中可以發(fā)現(xiàn)，一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格的能譜和非厄米趨膚效應(yīng)與鑲嵌型的非對稱躍遷的周期有緊密聯(lián)系.當(dāng)κ為奇數(shù)時，系統(tǒng)中的非對稱躍遷在不同格點處會發(fā)生正負(fù)交替變化，使得整個系統(tǒng)中的非對稱躍遷被抵消，因而系統(tǒng)中不會出現(xiàn)非厄米趨膚效應(yīng).但如果κ是偶數(shù)，那么系統(tǒng)中的非對稱躍遷的符號不會隨格點位置發(fā)生變化，因此系統(tǒng)中會出現(xiàn)趨膚效應(yīng)，且其能譜結(jié)構(gòu)也會在不同邊界條件下表現(xiàn)出不同的特征.圖2 和3 中給出了κ=1，2，3，4 時的系統(tǒng)能譜.為表明這一特性的普遍性，本文進一步計算了該系統(tǒng)在κ=5，6，7，8 時在開邊界條件下的能譜，如圖8所示.從本征態(tài)的dIPR 可以看出，非厄米趨膚效應(yīng)存在與否和κ是偶數(shù)還是奇數(shù)有關(guān).此外，本文還計算了非厄米鑲嵌型二聚化晶格在不同尺度下的能譜，如圖9 所示.可以發(fā)現(xiàn)，前述的研究結(jié)論不隨系統(tǒng)尺度的變化而發(fā)生改變.

圖8 具有不同 κ 值的一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在開邊界條件下的能譜，圖中的顏色代表本征態(tài)的dIPR 值Fig.8.The eigenenergy spectra of the one-dimensional non-Hermitian mosaic dimerized lattices with different κ values under open boundary conditions.The color bar indicates the of the dIPR values eigenstates.

圖9 具有不同尺度的一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格在開邊界條件下的能譜 (a1)—(a4)和(b1)—(b4)分別對應(yīng) κ=2 和3 的系統(tǒng)Fig.9.The energy spectra of the one-dimensional non-Hermitian mosaic dimerized lattices with different sizes under open boundary conditions，(a1)—(a4) and (b1)—(b4) correspond to the systems with κ=2 and 3，respectively.

此外，由于系統(tǒng)在動量空間的布洛赫哈密頓量H(k) 是一個q×q維矩陣，而q=lcm(2，κ)，所以q始終為偶數(shù).可以證明:

其中，S=diag(1，-1，1，-1，···，1，-1) 是一個q×q維的對角矩陣.因此，系統(tǒng)中存在子晶格對稱性(sublattice symmetry).盡管如此，由前述的數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，只有在κ為偶數(shù)的系統(tǒng)中存在拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)，而當(dāng)κ為奇數(shù)時，系統(tǒng)中不存在拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài).綜上，將一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格的性質(zhì)總結(jié)見表1.

表1 具有不同 κ 值的一維非厄米鑲嵌型二聚化晶格的性質(zhì)Table 1.The eigenenergy spectra of the one-dimensional non-Hermitian mosaic dimerized lattices with different κ values.

5 結(jié)論

本文引入了一類具有鑲嵌型非對稱躍遷的一維晶格模型.通過分析系統(tǒng)的本征能譜和本征態(tài)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)鑲嵌型非對稱躍遷的周期對系統(tǒng)的性質(zhì)具有顯著的影響.當(dāng)鑲嵌型調(diào)制周期為奇數(shù)時，系統(tǒng)中沒有非厄米趨膚效應(yīng)，其本征能譜在開邊界和周期邊界條件下是相同的(除拓?fù)溥吔鐟B(tài)外).如果鑲嵌型調(diào)制周期為偶數(shù)，那么系統(tǒng)中存在非厄米趨膚效應(yīng)，且本征能譜在不同的邊界條件下具有完全不同的結(jié)構(gòu).本文還分析了這類系統(tǒng)中的拓?fù)鋺B(tài)，討論了系統(tǒng)中的拓?fù)淞隳苓吔鐟B(tài)及其表征.本研究的結(jié)果表明，通過改變一維格點系統(tǒng)中的非對稱躍遷的施加方式和周期，可以改變系統(tǒng)中的非厄米趨膚效應(yīng)以及系統(tǒng)中的拓?fù)溥吔鐟B(tài)，從而進一步揭示了非厄米系統(tǒng)特別是具有非對稱躍遷的非厄米系統(tǒng)的新奇特性.