復(fù)多一階邏輯的“本體論無(wú)辜”問(wèn)題辨析

朱敏 付敏

摘要：引入復(fù)多一階邏輯是為了形式化一階公理集合論，為斷定集合概念具有唯一普遍的外延提供支持。然而，其自身的純邏輯性仍是備受爭(zhēng)議的議題，爭(zhēng)議主要集中在復(fù)多一階邏輯的語(yǔ)義解釋是否的確具有“本體論無(wú)辜”這個(gè)結(jié)果。復(fù)多一階邏輯的支持者試圖論證該邏輯并不承諾超出經(jīng)典一階量化論域之外的對(duì)象，由此證立復(fù)多一階邏輯的“本體論無(wú)辜”。然而，這一論證在兩個(gè)方面需要辨析與澄清。一方面，如果采取不可歸約論證、模態(tài)論證或集合論公理的證立原則為復(fù)多一階邏輯的“本體論無(wú)辜”辯護(hù)，會(huì)面臨難以克服的困難;另一方面，通過(guò)訴諸復(fù)多概念在日常用法中的不可或缺性及其匯集式用法的不可還原性，一種更可行的證立成為可能。因此，應(yīng)當(dāng)為探求“本體論無(wú)辜”的實(shí)質(zhì)辯護(hù)繼續(xù)努力。

關(guān)鍵詞：復(fù)多一階邏輯;復(fù)多概念;本體論無(wú)辜;對(duì)象概念

中圖分類號(hào)：B81? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? 文章編號(hào)：1001-862X（2022）03-0119-006

集合概念的意義問(wèn)題是當(dāng)代邏輯哲學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要問(wèn)題之一。用經(jīng)典一階邏輯表述的策梅洛-弗蘭克爾公理集合論（簡(jiǎn)稱ZFC1）被視為闡明集合概念意義的最佳理論之一。然而，作為揭示集合概念內(nèi)容的一階分離公理模式，它的語(yǔ)義解釋沒(méi)有對(duì)集合概念本身的意義做出任何斷定。也就是說(shuō)，它既沒(méi)有斷定集合概念的外延是無(wú)限擴(kuò)展的，也沒(méi)有斷定集合概念具有唯一普遍的外延。為此，公理集合論的提出者策梅洛1930年提倡引入二階邏輯來(lái)表述公理集合論，由此闡明二階公理集合論（簡(jiǎn)稱ZFC2）解釋的集合概念具有唯一普遍的外延。然而，由于該方案對(duì)“所有集合的總體”這個(gè)類做出本體論承諾而飽受詬病。

20世紀(jì)80年代，布勒斯（G. Boolos）引進(jìn)復(fù)多一階邏輯（Plural First-Order Logic，以下簡(jiǎn)稱PFO），旨在替代二階邏輯為集合概念具有唯一普遍的外延提供辯護(hù)。布勒斯斷定，PFO和經(jīng)典一階邏輯一樣，不會(huì)承諾超出經(jīng)典一階量化論域之外的對(duì)象，因此，經(jīng)由PFO形式化的一階公理集合論ZFC1也不會(huì)承諾超出一階集合論域中所有集合之外的對(duì)象，從而保證一階集合論域構(gòu)成集合概念的唯一外延。[1][2]帕森斯（C. Parsons）等學(xué)者否認(rèn)布勒斯的上述斷定，他們認(rèn)為，經(jīng)由PFO形式化的ZFC1（簡(jiǎn)稱ZFCp1）要么導(dǎo)致它的語(yǔ)義解釋存在本體論的擴(kuò)張，要么導(dǎo)致集合外延的無(wú)限擴(kuò)展。由此，他們斷定，PFO必定會(huì)承認(rèn)超出經(jīng)典一階量化論域之外的對(duì)象。[3][4][5]

“PFO是否承認(rèn)超出經(jīng)典一階量化論域之外的對(duì)象”被稱為PFO的“本體論無(wú)辜”問(wèn)題，它是PFO哲學(xué)合理性的基礎(chǔ)問(wèn)題。本文意在討論和評(píng)斷學(xué)界對(duì)PFO“本體論無(wú)辜”的關(guān)鍵性論證，總結(jié)以往辯護(hù)的得失，揭示更加合理的辯護(hù)方向。

一、復(fù)多一階邏輯及其“本體論無(wú)辜”問(wèn)題的提出

（一）關(guān)于復(fù)多的量化理論

布勒斯在1984年和1985年的論文中引進(jìn)關(guān)于復(fù)多的量化理論，認(rèn)為在自然語(yǔ)言中存在兩種量化理論。一種是關(guān)于個(gè)體的量化理論，即一階量化理論，量詞作用在個(gè)體變?cè)獂上。比如語(yǔ)句“至少有一粒麥片（M）在碗（W）里”可以形式化為經(jīng)典一階邏輯的公式：？堝x（Mx∧Wx）。如果用經(jīng)典一階邏輯形式化公理集合論ZFC，那么個(gè)體量詞就只作用在集合變?cè)獂上。另一種是關(guān)于復(fù)多的一階量化理論，除個(gè)體量詞作用在個(gè)體變?cè)獂上外，還有復(fù)多量詞作用在復(fù)多變?cè)獂x上。比如語(yǔ)句“一些麥片在碗里”可以形式化為PFO的公式：？堝xx？坌x（x？芻xx ？圮 （Mx∧Wx）），x？芻xx表示x在xx之中。

PFO是在經(jīng)典一階邏輯語(yǔ)言的基礎(chǔ)上引入復(fù)多變?cè)獂x以及它與個(gè)體變?cè)獂之間的邏輯關(guān)系“x？芻xx”，然后增加兩條關(guān)于復(fù)多xx的公理而得到的：

（1）？坌xx？堝x（x？芻xx）? 復(fù)多存在公理

（2）？堝xx？坌x（x？芻xx ？圮 φ（x）），xx不在φ（x）中出現(xiàn)? 復(fù)多概括模式

布勒斯斷定，雖然在經(jīng)典一階邏輯的基礎(chǔ)上引入上述兩條復(fù)多公理，但是PFO和經(jīng)典一階邏輯在本體論承諾上沒(méi)有什么不同，它們都不會(huì)承諾超出經(jīng)典一階邏輯量化論域之外的對(duì)象。這是由上述兩條公理保證的，特別是由復(fù)多概括模式保證的。通過(guò)復(fù)多變?cè)蛡€(gè)體變?cè)g的邏輯關(guān)系“x？芻xx”，它們的語(yǔ)義解釋只承認(rèn)一階變?cè)闹禐閷?duì)象，不會(huì)承認(rèn)復(fù)多變?cè)闹禐閷?duì)象。比如，復(fù)多一階語(yǔ)句“一些麥片在碗里”只承認(rèn) “麥片”和“碗”的存在，不會(huì)承認(rèn)作為復(fù)多的“麥片們”的存在，因?yàn)椤胞溒瑐儭钡挠梅ㄖ蝗Q于“一粒粒麥片”的存在。因此，該語(yǔ)句和一階語(yǔ)句“至少有一粒麥片在碗里”在本體論承諾上沒(méi)有什么不同。該例子說(shuō)明，PFO不會(huì)接受復(fù)多變?cè)闹底鳛閷?duì)象，經(jīng)典一階個(gè)體變?cè)恼撚驅(qū)Q定復(fù)多變?cè)恼撚颉?/p>

上述實(shí)例表明，“個(gè)體變?cè)恼撚驎?huì)決定復(fù)多變?cè)恼撚颉笔巧鲜鯬FO“本體論無(wú)辜”論證的關(guān)鍵。如果經(jīng)典一階個(gè)體變?cè)闹禌Q定復(fù)多變?cè)闹?，那么PFO就是以其本體論承諾不超出經(jīng)典一階邏輯的量化論域來(lái)發(fā)揮作用的。

（二）復(fù)多一階邏輯的語(yǔ)義功能

布勒斯引入復(fù)多一階邏輯，是為了解決如下疑難：有些二階集合論語(yǔ)句如“存在所有非自屬集構(gòu)成的匯集”在直覺上是真的，卻被詬病為引入新的本體論承諾，即斷定在一階集合論域中的集合之外還存在新的匯集。

“所有非自屬集是否構(gòu)成新的匯集”，這一問(wèn)題可從羅素悖論說(shuō)起。羅素悖論的出現(xiàn)源于素樸概括模式，推導(dǎo)過(guò)程如下：

（3）？堝y？坌x（x ∈ y ？圮 φ（x）），y不在φ（x）中出現(xiàn)？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖素樸概括模式

（4）？堝y？坌x（x∈y？圮x？埸x）？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖作為（3）的特例

（5）？坌x（x∈r？圮x？埸x）？搖？搖？搖？搖 ？搖 由（4）（？堝-）

（6）r∈r？圮r？埸r？搖？搖？搖？搖？搖? ?？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 由（5）（？坌-）

通常的觀點(diǎn)認(rèn)為，羅素悖論的出現(xiàn)源于素樸概括模式（3）為假，尤其它的特例（4）為假，即不存在所有非自屬集構(gòu)成的集合。布勒斯認(rèn)為，雖然所有非自屬集因?yàn)樘?，難以形成集合，卻仍可以斷定“存在所有且僅有非自屬集構(gòu)成的匯集”。但是，如果這樣的匯集不是集合，那么似乎就會(huì)斷定其他實(shí)體的存在，比如該斷定可以表示為如下二階集合論公式：

（7）？堝X？坌x（Xx？圮x？埸x） ，X不在x？埸x中出現(xiàn)

由于X是類變?cè)剑?）就斷定存在一個(gè)所有且僅有非自屬集構(gòu)成的類。但布勒斯不這么認(rèn)為，在他看來(lái)，公式（7）中的類變?cè)猉本質(zhì)上是一個(gè)復(fù)多變?cè)獂x。也就是說(shuō)，公式（7）應(yīng)該改寫成如下形式：

（7*）？堝xx？坌x（x？芻xx？圮x？埸x） ，xx不在x？埸x中出現(xiàn) ？搖？搖由（7）的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換

由公式（7*）可知，它是復(fù)多概括模式（2）的特例。復(fù)多概括模式的語(yǔ)義解釋表明，它在本體論上只承諾經(jīng)典一階變?cè)獂的值為對(duì)象，不會(huì)承諾復(fù)多變?cè)獂x的值為對(duì)象。而且，“所有非自屬集”構(gòu)成的復(fù)多只能被復(fù)多量詞量化，不會(huì)被經(jīng)典一階量詞量化而成為集合，從而可以避免羅素悖論。由此可以斷定，盡管“存在所有且僅有非自屬集構(gòu)成的復(fù)多”這個(gè)語(yǔ)句為真，但該語(yǔ)句并沒(méi)有引入新的本體論承諾，即沒(méi)有將復(fù)多承諾為實(shí)體。

布勒斯的論證斷定，PFO的語(yǔ)義解釋不會(huì)承諾超出經(jīng)典一階邏輯量化論域之外的對(duì)象（即PFO是本體論無(wú)辜的），所以由PFO形式化的一階公理集合論ZFCp1的語(yǔ)義解釋也不會(huì)承諾超出一階集合論量化論域之外的對(duì)象（即復(fù)多一階集合論是本體論無(wú)辜的）。然而，PFO形式化的一階公理集合論ZFCp1的任何語(yǔ)義解釋中，是否所有復(fù)多上的量化都不能還原為集合上的量化？進(jìn)而，對(duì)這個(gè)問(wèn)題所有可能的回答會(huì)不會(huì)動(dòng)搖布勒斯關(guān)于PFO“本體論無(wú)辜”的斷定？

二、不可歸約論證及其缺陷

布萊克（M. Black）主張，集合論中只有個(gè)體和復(fù)多上的量化，沒(méi)有所謂集合上的量化。這個(gè)主張可以理解為“所有復(fù)多上的量化都不能還原為集合上的量化”的一種表述。根據(jù)布萊克的觀點(diǎn)，元素并不先于集合而存在，即一旦集合中的元素被確認(rèn)，集合就被確認(rèn)。因此，沒(méi)有所謂由元素生成集合這樣的情形。而且，他認(rèn)為，空集和單元集不是一個(gè)復(fù)多，它們的存在僅僅是為了集合論構(gòu)造的方便。比如，談?wù)搯卧瘜?shí)質(zhì)上就是在談?wù)撛乇旧怼Ｒ虼?，在他看?lái)，集合不是一個(gè)可個(gè)體化的對(duì)象，而是一個(gè)“復(fù)多”[6]621，633。根據(jù)這種理解，復(fù)多一階公理集合論ZFCp1的一階量化論域中唯有元素構(gòu)成的復(fù)多，沒(méi)有集合這樣的對(duì)象;復(fù)多量化論域又只取決于一階個(gè)體量化論域，這就可以斷定ZFCp1的語(yǔ)義解釋不會(huì)承諾超出一階集合論量化論域之外的對(duì)象，從而證實(shí)PFO是本體論無(wú)辜的。

布萊克又認(rèn)為，總是存在“復(fù)多的復(fù)多”這樣的情形，即復(fù)多具有迭代特征。[6]632-633，633這被證明會(huì)使得復(fù)多的累積迭代分層與（被布萊克否認(rèn)的）集合的累積迭代分層一樣多[7]313-315;[8]227-228，如果在ZFCp1中集合應(yīng)該被復(fù)多替代，那么布萊克的主張仍需訴諸集合概念之外的其他概念來(lái)闡明為何復(fù)多概念具有迭代特征。這不僅使得ZFCp1的一階個(gè)體量化論域決定復(fù)多量化論域，由它解釋復(fù)多量化論域的構(gòu)成;而且需要引入其他概念的量化論域來(lái)確定復(fù)多量化論域，由它解釋復(fù)多量化論域?yàn)楹尉哂欣鄯e迭代分層結(jié)構(gòu)。由此，為了說(shuō)明復(fù)多只取決于一階個(gè)體量化論域，布萊克必須說(shuō)明，其他概念的量化論域如何可能不被視作對(duì)象論域。

林納伯（？覫. Linnebo）和瑞歐（A. Rayo）提供了一個(gè)解決方案。他們首先證明類型論的迭代分層與集合的迭代分層是等價(jià)的，由此表明類型論的迭代特征可以代替集合的迭代分層來(lái)解釋復(fù)多的累積迭代分層。他們主張，類型論對(duì)類型只作思想上的承諾而非本體論的承諾。[9]由此，雖然復(fù)多的量化論域?qū)⑷Q于類型論的量化論域，但是仍只有一階個(gè)體量化論域被視作對(duì)象論域。

但是，林納伯和瑞歐關(guān)于類型概念只在思想上得到承諾的斷定是可疑的，因?yàn)樗麄冊(cè)谧C明類型論與集合的迭代分層理論等價(jià)時(shí)使用的類型論需要引入無(wú)窮階類型，這要求引進(jìn)序數(shù)理論。為此，他們必須首先斷定，序數(shù)理論對(duì)序數(shù)只作出了思想上的承諾而非本體論的承諾。但是，在序數(shù)理論的語(yǔ)義解釋中，很難想象序數(shù)量化論域不被視作對(duì)象論域。

總之，一旦承認(rèn)在ZFCp1的語(yǔ)義解釋中復(fù)多概念被理解為具有迭代特征并且引入其他概念來(lái)闡明它的迭代特征，那么將不得不對(duì)引入的那些概念做出本體論的承諾，這與 “ZFCp1的語(yǔ)義解釋不會(huì)承諾超出一階量化論域之外的對(duì)象”這個(gè)斷定相背離。由此可知，不可歸約性論證使得PFO“本體論無(wú)辜”的斷定不能真正令人信服。

三、模態(tài)論證及其反駁

林納伯主張，所有復(fù)多上的量化總可以還原為集合上的量化。他希望通過(guò)這個(gè)斷定支持PFO的本體論無(wú)辜。[10]“所有復(fù)多上的量化總可以還原為集合上的量化”意指“復(fù)多總可以形成集合”，該斷定可形式化為如下公式：

（8）？坌xx？堝y？坌x（x∈y？圮x？芻xx）

但這仍會(huì)產(chǎn)生羅素悖論，推導(dǎo)過(guò)程如下：

（9）？堝xx？坌x（x？芻xx？圮x？埸x），xx不在x？埸x中出現(xiàn)作為（2）的特例

（10）？坌x（x？芻rr？圮x？埸x），rr不在x？埸x中出現(xiàn)

（9）（？堝-）

（11）？堝r？坌x（x∈r？圮x？芻rr）？搖？搖？搖？搖？搖？搖對(duì)（8）（？坌-）

（12）？坌x（x∈r？圮x？埸x）？搖對(duì)（11）（？堝-）且（10）

（13）r∈r？圮r？埸r？搖？搖？搖？搖 （12）（？坌-）

林納伯認(rèn)為，仍產(chǎn)生羅素悖論的根源在于公式（8）沒(méi)有表達(dá)出“集合相對(duì)于元素是一種潛在存在”的關(guān)系。因此，他提議將（8）修改為含模態(tài)算子的公式（8*）來(lái)表達(dá)這層涵義[11]206-208，219：

（8*）□？坌xx◇？堝r？坌x（x∈r？圮x？芻xx）

（8）的模態(tài)化

為了進(jìn)一步闡明“集合潛在地相對(duì)于元素而存在”，林納伯主張對(duì)其底層邏輯PFO用模態(tài)邏輯S4.2系統(tǒng)（即經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)+必然化規(guī)則+K公理+T公理+4公理+G公理）徹底模態(tài)化，即把其中復(fù)多概括模式中的量詞？坌和？堝分別替換為模態(tài)量詞□？坌和◇？堝，使其成為模態(tài)PFO（以下簡(jiǎn)稱MPFO）[10]155-158;[11]211-213：

（2*）◇？堝xx□？坌x（x？芻xx？圮φ（x）），xx不在φ（x）中出現(xiàn) ？搖模態(tài)復(fù)多概括模式

（14）x？芻xx→□x？芻xx 必然化規(guī)則

（15）x≮xx →□x≮xx 必然化規(guī)則

（16）？坌x（x？芻xx→□φ（x））→□？坌x（x？芻xx→φ（x））？搖復(fù)多的外延固定規(guī)則

上述公式（16）是林納伯新增的公理。它斷定復(fù)多是不可擴(kuò)展的，即復(fù)多量化論域擴(kuò)充時(shí)，任一復(fù)多都不會(huì)增加新的元素。后來(lái)他發(fā)現(xiàn)，如果集合論公理（8*）為真，MPFO中的公理（2*）就會(huì)與公理（14）和（15）矛盾。因?yàn)?，基于集合論公理?*），（2*）會(huì)斷定：給定任意公式，可能存在xx 使得無(wú)論它繼續(xù)形成什么集合，xx 是所有且僅有的 φ?，F(xiàn)給出（2*）的特例：

（17）◇？堝xx□？坌x（x？芻xx？圮x=x） （2*）的特例

基于集合論公理（8*），這個(gè)特例會(huì)斷定，可能存在xx 使得無(wú)論它繼續(xù)形成什么集合，xx 是所有且僅有的自我同一對(duì)象 x 構(gòu)成的復(fù)多。特別地，（8*）可以解釋“集合潛在地相對(duì)于元素而存在”這層關(guān)系，林納伯尤其主張MPFO中的模態(tài)算子應(yīng)該從元素和集合如何成為自我同一的明確對(duì)象這個(gè)過(guò)程來(lái)理解[10]158-160 。這使得（17）與公式（14）和（15）相矛盾，因?yàn)橐环矫?，由于形成自我同一的明確對(duì)象這個(gè)過(guò)程是逐步完成的，即首先有自我同一的元素構(gòu)成復(fù)多，然后才有自我同一的集合，它恰好由這些元素構(gòu)成。這樣的話，根據(jù)公式（17），就可能存在這樣的復(fù)多：它隨著元素和集合的對(duì)象化過(guò)程可以不斷容納新的對(duì)象。而另一方面，公式（14）和（15）表明，任一復(fù)多在任何情形下都有明確相同的外延。一個(gè)要求復(fù)多的外延可以無(wú)限擴(kuò)充，另一個(gè)要求復(fù)多的外延是固定的，矛盾出現(xiàn)。為了避免矛盾，林納伯只好將公式（2*）弱化為如下形式[11]212：

（2**） ？堝xx□？坌x（x？芻xx？圮φ（x）），xx不在φ（x）中出現(xiàn) 弱化的模態(tài)復(fù)多概括模式

該模式的語(yǔ)義表明，給定任意公式φ（x），在世界w中xx是φ（x），恰好在與w可及的任意世界w′中xx仍是φ（x）。經(jīng)由上述修正，就得到弱化的模態(tài)PFO（以下簡(jiǎn)稱MPFO*），其中的公理（2**）保證復(fù)多在任何情形中都具有明確且相同的外延，從而與公式（14）和（15）相容。

回到“本體論無(wú)辜”問(wèn)題：林納伯將PFO修訂為MPFO*后，MPFO*是否仍是本體論無(wú)辜的？答案是否定的。因?yàn)?，盡管集合論公理（8*）的語(yǔ)義解釋斷定“復(fù)多總是可以形成集合”，從而可以避免該公理對(duì)復(fù)多概念作出本體論承諾，但不能由此斷言其底層的邏輯MPFO*是本體論無(wú)辜的。實(shí)際上，情形正好相反：在給出集合論公理（8*）的語(yǔ)義之前，林納伯在MPFO的公理（2**）中已經(jīng)默認(rèn)“復(fù)多”是類似“集合”那樣的對(duì)象了。

出現(xiàn)這樣的情形是因?yàn)?，林納伯對(duì)弱化的模態(tài)復(fù)多概括模式（2**）中模態(tài)算子所做的語(yǔ)義解釋涉及xx中的對(duì)象x形成自我同一的明確對(duì)象這個(gè)過(guò)程，由此才能斷定集合論公理（8*）成立，進(jìn)而斷定存在自我同一的集合。但是，理解（2**）中的模態(tài)算子必須借助xx中的x形成自我同一的明確對(duì)象這一過(guò)程，這使得復(fù)多xx隨著“x成為明確對(duì)象這個(gè)過(guò)程”而具備迭代特征。

因此，林納伯的模態(tài)論證不是通過(guò)MPFO*形式化的集合論來(lái)解釋復(fù)多具有迭代特征（由于它總是可以形成集合），而是在構(gòu)造MPFO*時(shí)就斷定復(fù)多概念具有迭代特征。這表明，他在構(gòu)造MPFO*時(shí)就把復(fù)多視作自我同一的明確對(duì)象，就像集合一樣。可見，林納伯的MPFO*很難說(shuō)在本體論上真正是無(wú)辜的。

四、基于集合論證立原則的辯護(hù)及其不足

還有一種可能的回答是：一些復(fù)多上的量化可以還原為集合上的量化，而另一些則不可以。這似乎符合布勒斯的主張，因?yàn)橛闪_素悖論、最大序數(shù)悖論和最大基數(shù)悖論可知，所有非自屬集、所有序數(shù)和所有基數(shù)作為復(fù)多在集合論中不應(yīng)視作集合;但直觀上，至少包括單元集在內(nèi)的其他一些集合可以被視為集合。如果集合論公理的內(nèi)在證立和外在證立原則可以為這一斷定提供辯護(hù)[12]，將表明對(duì)復(fù)多概念做出本體論承諾的是集合論自身的語(yǔ)義，而非PFO的語(yǔ)義。這看起來(lái)可以為PFO的“本體論無(wú)辜”提供一種間接的支持，然而，仍存在著不容忽視的理論困難。

集合論最重要的內(nèi)在證立原則是哥德爾（K.G■del）等人提出的迭代概念。[13]206-207由迭代概念的含義可知，只有出現(xiàn)在集宇宙V的某初始段Vα中的復(fù)多xx才可以形成集合。也就是說(shuō)，任意xx形成一集合，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)序數(shù)α使得xx出現(xiàn)在集宇宙V的某初始段Vα中。而所有非自屬集等構(gòu)成的復(fù)多不會(huì)出現(xiàn)在集宇宙Vα的任何初始段中，因此它們不會(huì)形成集合。由此似乎可以斷定，是集合論的語(yǔ)義要求而非PFO的語(yǔ)義要求對(duì)復(fù)多概念做出了本體論的承諾。

然而，迭代概念的內(nèi)在特征將使該論斷遭到破壞，因?yàn)榈拍畹谋拘允沟脤?duì)迭代概念的任何精確表述都可以被超越。[13]217-218這意味著，即便“所有非自屬集等構(gòu)成的復(fù)多”沒(méi)有出現(xiàn)在迭代概念已精確表述的任意初始段Vα中，它仍會(huì)在迭代概念新表述的某初始段Vβ中出現(xiàn)。因此，根據(jù)迭代概念的上述含義，它會(huì)斷定“所有復(fù)多上的量化總可以還原為集合上的量化”。這使得該證立原則提供的論證立刻退回到林納伯的模態(tài)論證立場(chǎng)，從而面臨與該立場(chǎng)同樣的困難。

集合論另一個(gè)主要的內(nèi)在證立原則是弗蘭克爾（A. Fraenkel）等人提出的限制大小原則。[14]203-207根據(jù)該原則的規(guī)定，任意復(fù)多只要不大于所有序數(shù)構(gòu)成的復(fù)多就可以形成集合。由此可知，它支持“一些復(fù)多上的量化可以還原為集合上的量化”這一斷定。但是，該原則無(wú)法支持“一些復(fù)多上的量化不可以還原為集合上的量化”的斷定，因?yàn)樗鼪](méi)有明確斷定“所有非自屬集、所有序數(shù)和所有基數(shù)作為復(fù)多不可能形成一個(gè)集合”。特別地，如果用本元替代空集，由于序數(shù)是本元的特征數(shù)，那么序數(shù)便提供了本元的高度。[15]405-411假設(shè)存在和所有集合一樣多的本元，那么所有本元是否可以形成集合？限制大小原則無(wú)法、也不打算對(duì)這個(gè)問(wèn)題做出回答。由此，很難說(shuō)它可以為PFO的“本體論無(wú)辜”提供真正的辯護(hù)。

集合論最重要的外在證立原則是麥蒂（P.Maddy）的自然主義原則。[16]該原則要求在公認(rèn)的集合論的理論內(nèi)部來(lái)確證這樣的斷定：一些復(fù)多上的量化可以還原為集合上的量化，另一些則不行。換言之，自然主義原則試圖表明，無(wú)論采取集合論的何種證立原則來(lái)支持該觀點(diǎn)，都只取決于集合論實(shí)踐中數(shù)學(xué)家們的一系列數(shù)學(xué)思考。它也試圖表明，該觀點(diǎn)能否被保留，取決于它能否展現(xiàn)不同于其他觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)優(yōu)點(diǎn)以及實(shí)現(xiàn)它的數(shù)學(xué)目標(biāo)，即挖掘數(shù)學(xué)的深度事實(shí)。[16]65，74，82-83，100因此，麥蒂的自然主義觀點(diǎn)或多或少把目前公認(rèn)合理的集合論以及它的證立原則視作某種公認(rèn)的認(rèn)識(shí)論立場(chǎng)，并以此作為論證的依據(jù)。

然而，自然主義原則的主要問(wèn)題在于，若目前公認(rèn)合理的集合論及其證立原則支持“有一些復(fù)多不可以還原為集合”這一斷定，那么它將如何為這些復(fù)多提供本體論的承諾，從而支持PFO始終是本體論無(wú)辜的。自然主義原則的回答只可能是：對(duì)PFO“本體論無(wú)辜”的支持不會(huì)超出目前最好的集合論所能提供的最佳答案。顯然，依據(jù)這樣的回答，無(wú)法確定PFO是否總是本體論無(wú)辜的，將來(lái)完全可能出現(xiàn)大家公認(rèn)更好的集合論，其認(rèn)識(shí)論立場(chǎng)剛好相反。

總之，集合論公理的內(nèi)在和外在證立原則并不足以表明，是集合論本身的語(yǔ)義要求而非PFO的語(yǔ)義要求對(duì)復(fù)多概念作出了本體論承諾。尤其對(duì)那些“無(wú)法還原為集合的復(fù)多”而言，它們的本體論承諾是由集合論還是由PFO作出的，尚需新的核證。

五、評(píng)論與展望

回到布勒斯原有的論證：PFO是本體論無(wú)辜的，所以由PFO表述的復(fù)多一階集合論也是本體論無(wú)辜的。上述分析表明，雖然以上三種觀點(diǎn)窮盡了“是否所有（由元素構(gòu)成的）復(fù)多上的量化都不能還原為集合上的量化”的所有答案，但是它們對(duì)PFO所做的“本體論無(wú)辜”的所有可能辯護(hù)均面臨難以克服的困難。因此，即便布勒斯的這個(gè)論證成立，PFO“本體論無(wú)辜”的斷定要么被反駁，要么是不確定的。

然而，這并不意味著無(wú)法為PFO的“本體論無(wú)辜”找到可行的證立路徑。要論證復(fù)多一階邏輯PFO的“本體論無(wú)辜”，不僅要說(shuō)明其本體論承諾不會(huì)超出經(jīng)典一階邏輯的量化論域，更要闡明為何“不超出經(jīng)典一階邏輯的量化論域”對(duì)核證PFO的“本體論無(wú)辜”是實(shí)質(zhì)性的，這涉及對(duì)“何謂‘對(duì)象’概念以及如何闡明它的含義”這個(gè)基本問(wèn)題的解答。為了更準(zhǔn)確地把握PFO“本體論無(wú)辜”問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和意義，以下三個(gè)方面的澄清是必要的。

首先，對(duì)PFO“本體論無(wú)辜”的辯護(hù)或反駁都預(yù)設(shè)了某種“對(duì)象”概念。一些學(xué)者堅(jiān)稱只有經(jīng)典一階邏輯的量化論域才是唯一可理解的，因?yàn)樗麄儓?jiān)信“對(duì)象”概念是某種單稱詞項(xiàng)的指派以及經(jīng)典一階量詞遍歷的東西[17]10-22;[18]1-25，因此，一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋倔w論承諾只能通過(guò)經(jīng)典一階邏輯的量詞才能說(shuō)明。這正如蒯因所主張的，確定一個(gè)量化語(yǔ)句是否為真，取決于它是否被經(jīng)典一階邏輯形式化的、最好的科學(xué)理論所蘊(yùn)涵，取決于該語(yǔ)句中的變?cè)欠裰恢概稍摽茖W(xué)理論中的（經(jīng)典）一階對(duì)象。[18]91-113;[19]12-13由此，只存在經(jīng)典一階量詞可斷定的對(duì)象，不存在復(fù)多量詞遍歷的對(duì)象。[5]326但截至目前，這種主張更像是一種觀念上的堅(jiān)持，而非實(shí)質(zhì)性的辯護(hù)。因此，判別“復(fù)多”究竟是不是“對(duì)象”，人們需要為其堅(jiān)持的“對(duì)象”概念提供更多理由。

其次，“復(fù)多”在日常用法中的不可或缺性和不可還原性，或許能夠?yàn)槠渥鳛椤皩?duì)象”提供支持，但需要更多辯護(hù)。瑞歐和易（B. U. Yi）等學(xué)者發(fā)現(xiàn)，復(fù)多概念在日常語(yǔ)言的用法中是不可或缺的，并且它有分布式和匯集式這兩種用法。[20]469-472;[21]分布式用法的“復(fù)多”可以還原為個(gè)體化的“對(duì)象”，如集合;匯集式用法的“復(fù)多”則不可還原為個(gè)體化的“對(duì)象”，比如由所有集合構(gòu)成的迭代分層是匯集式的復(fù)多，它不同于構(gòu)成它的部分。依照這種觀點(diǎn)，似乎應(yīng)該承認(rèn)匯集式的復(fù)多具有本體論地位，因而PFO應(yīng)當(dāng)接受“復(fù)多”是一個(gè)“對(duì)象”。

但一些學(xué)者不這么認(rèn)為。在他們看來(lái)，一個(gè)理論的本體論承諾僅僅與“如無(wú)必要、勿增實(shí)體”的理論選擇標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)，與日常語(yǔ)言的使用無(wú)關(guān)，涉及復(fù)多概念的理論也不例外[22]137-138;尤其是日常語(yǔ)言更強(qiáng)調(diào)語(yǔ)言的可操作性，而非探究復(fù)雜的研究對(duì)象。[23]86-87但是，持有這種觀點(diǎn)或許僅僅出于對(duì)“唯有經(jīng)典一階邏輯才是形式化一個(gè)科學(xué)理論的最好語(yǔ)言”這一信念的執(zhí)著。

最后，在PFO的“本體論無(wú)辜”問(wèn)題上的爭(zhēng)論，最終落腳在更基本問(wèn)題的分歧上：“對(duì)象”概念的界定是否僅在經(jīng)典一階邏輯形式化的理論中才能給出。要消解分歧就需要為匯集式的“復(fù)多”能否作為“對(duì)象”提供更為實(shí)質(zhì)的分析。這就需要為如下思考做出努力：最好的理論是否應(yīng)該回歸自然語(yǔ)言的邏輯框架，從而允許給經(jīng)典一階理論增加一個(gè)復(fù)多量化層級(jí)？

參考文獻(xiàn)：

[1]G.Boolos.To Be is to Be a Value of a Variable （or to Be Some Values of Some Variables [J].The Journal of Philosophy， 1984， 81（8）：430-439.

[2]G.Boolos.Nominalist Platonism[J].Philosophical Review， 1985， 94（3）：327-344.

[3]R.Cartwright.Speaking of Everything[J].No？觠s， 1994， 28（1）：1-20;

[4]C.Parsons.Sets and Classes[J].No？觠s， 1974， 28（1）：1-12.

[5]C.Parsons.The Structuralist View of Mathematical Objects[J].Synthese， 1990， 84（3）：303-346.

[6]M.Black.The Elusiveness of Sets [J].The Review of Metaphysics， 1971， 24（4）：614-636.

[7]S.Hewitt.When Do Some Things Form a Set[J].Philosophia Mathematica， 2015， 23（3）：311-337;

[8]A.Rayo.Beyond Plurals[C]// A.Rayo， G.Uzquiano （eds.）， Absolute Generality， Oxford：Clarendon Press， 2006：220-254.

[9]？覫.Linnebo & A.Rayo.Hierarchies Ontological and Ideological[J]. Mind， 2012， 121（482）：269-308.

[10]？覫.Linnebo.Pluralities and Sets[J].The Journal of Philosophy， 2010， 107（3）：144-164.

[11]？覫.Linnebo.The Potential Hierarchy of Sets[J].The Review of Symbolic Logic， 2013， 6（2）：205-228.

[12]朱敏.集合論新公理探究的哲學(xué)思考[J].世界哲學(xué)， 2013， （2）：151-159。

[13]P.Koellner.On Reflection Principles[J].Annals of Pure and Applied Logic，2009，157（2-3）：206-219.

[14]M.Hallett.Cantorian Set Theory and Limitation of Size[M].Oxford：Clarendon Press， 1984.

[15]E.Zermelo.On Boundary Numbers and Domains of Sets：New Investigations in the Foundations of Set Theory [C]// Ebbinghaus， H.D.，Kanamori，A.，& Fraser，C.G （Eds.），Ernst Zermelo Collected Works，Volume I.Berlin：Springer，2010：401-431.

[16]P.Maddy.Defending the Axioms on the Philosophical Foundations of Set Theory[M].New York：Oxford University Press， 2011.

[17]C.Parsons.Mathematical Thought and Its Objects[M].Cambridge：Cambridge University Press， 2007.

[18]W.V.O.Quine.Ontological Relativity and Other Essays[M].New York：Columbia University Press， 1969.

[19]W.V.O.Quine.From A Logical Point of View[M].New York：Harper and Row， 1953.

[20]B.U.Yi.The Logic and Meaning of Plurals.Part I[J].Journal of Philosophical Logic，vol.34， no.5， 2005， 34（5）：459-506.

[21]A.Rayo.Word and Objects[J].No？觠s， 2002， 36（2）：436-464.

[22]A.P.Hazen.Against Pluralism[J].Australasian Journal of Philosophy， 1993， 71（2）：132-144.

[23]？覫.Linnebo.Plural Quantification Exposed[J].No？觠s， 2003， 37（1）：71-92.

（責(zé)任編輯 吳 勇）