振鏡伺服系統(tǒng)帶寬提升方法研究

高宇杰，張承瑞，丁信忠，李虎修，陳攀

（1.山東大學機械工程學院，山東 濟南 250061；2.山東大學高效與潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東 濟南 250061；3.上海新時達電氣股份有限公司，上海 201800）

激光振鏡系統(tǒng)中振鏡電機控制有小慣量、低幅值、高頻率的特點，從而提升電流環(huán)帶寬，解決諧波、延遲等問題成為重點。在id≡0 的解耦矢量控制下[1]，除利用可編程邏輯門陣列（field programmable gate array，F(xiàn)PGA）并行計算能力提升計算速度外，減小電流環(huán)延遲目前有兩大類方法：改變一個周期內(nèi)的電流采樣以及脈寬調制（pulse width modulation，PWM）占空比更新方式；使用其他控制策略代替PI 控制實現(xiàn)電流環(huán)帶寬的擴展。當控制周期一定，降低延時、減小信號噪聲和損失，將有助于提高電流環(huán)帶寬，從而實現(xiàn)高頻位置環(huán)給定信號跟蹤。

文獻[2-3]分析了多種單次采樣單次更新（single sample single update，SSSU）策略，在DSP中實現(xiàn)載波周期內(nèi)兩次電流采樣兩次占空比更新方法，電流環(huán)帶寬有本質性提升；文獻[4]基于雙采雙更，提出在PWM 更新前某一確定時刻電流采樣并計算，由k時刻前計算出的占空比在k時刻輸出，其本質上同單周期內(nèi)雙采雙更無太大區(qū)別；文獻[5]總結了單次采樣單次更新、雙次采樣雙次更新（double sample double update，DSDU）、即時更新等電流環(huán)更新方式，具有延遲大、三相輸出電壓為零時間長、母線電壓利用率低、處理器性能要求高等缺點，另提出的增量式更新方式計算量較大；文獻[6]提出一種無差拍電流預測控制，相比于電流環(huán)PID 控制獲得了更高的動態(tài)響應性能和更少的諧波分量，實現(xiàn)對電流指令無超調快速跟蹤；文獻[7]根據(jù)逆變器7 種基本電壓矢量合成虛擬電壓矢量，并預測下一周期電流，通過帶有誤差校正的評價函數(shù)再確定基本電壓矢量作用時間，輸出電壓矢量，較大程度上減小了電流紋波；文獻[8]根據(jù)不同矢量與其作用時間在每個扇區(qū)合成不同虛擬電壓矢量并計算最優(yōu)作用時間，但計算量和復雜度隨控制集的拓展而增加；文獻[9-10]基于電流預測方程提出一種考慮預測誤差的預測控制策略，結合雙矢量模型或前一周期的電壓預測誤差校正當前周期預測結果，實現(xiàn)良好的電流動態(tài)特性和較小的電流紋波；文獻[11]總結了多采樣的優(yōu)缺點，說明其縮短控制延遲，突破了原有控制方式下的帶寬限制，逐漸成為現(xiàn)代控制方法中重要組成部分。

根據(jù)永磁同步電機數(shù)學模型，得出其微分方程離散通解。由于電流環(huán)周期極短，將電流給定值作為下一周期電流預測值，結合電流反饋值計算出下一周期的d，q軸電壓給定，以此作為電流環(huán)預測控制器。為減小由于開關器件的死區(qū)時間引起的誤差及電流諧波，基于多采樣和觀測器進行死區(qū)補償。同時，對比電流環(huán)雙次采樣雙次更新，應用多采樣更新策略模擬連續(xù)系統(tǒng)在載波周期內(nèi)多次更新電壓。結合前饋控制，實現(xiàn)了振鏡電機的高頻響應。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1 永磁同步電機控制模型

在電機的三相電壓方程下，經(jīng)坐標轉換永磁同步電機在d-q坐標系下的電壓方程[12]為

式中：p 為微分算子；Ψd,Ψq為d，q軸磁鏈；Ψλ為永磁體磁鏈，常數(shù)；R，ωe分別為定子電阻、電角速度；Ld，Lq分別為d，q軸電抗。

將式（1）轉化為被控對象電機輸入輸出相關微分方程：

1.2 電流環(huán)帶寬影響因素

永磁同步電機三相電流經(jīng)坐標變換到同步旋轉d-q坐標系中，建立永磁同步電機d，q軸PI控制器的電流環(huán)控制系統(tǒng)，如圖1所示，以分析影響電流環(huán)帶寬的因素。分析采用了PID控制器下的電流環(huán)控制模型，包括PID 控制器傳遞函數(shù)和具有電流采樣、計算、PWM更新延時的慣性環(huán)節(jié)，以及簡化的電機本體模型。

圖1 電流環(huán)控制系統(tǒng)Fig.1 Current loop control system

根據(jù)傳遞函數(shù)框圖，電流環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中：Kp，Ki分別為電流環(huán)控制器比例增益和積分系數(shù)；Td為包括死區(qū)時間影響、逆變器更新、電流環(huán)計算、實際電流調節(jié)、采樣等延遲時間；Ti為積分時間常數(shù)；Te為電機電氣時間常數(shù)。

電機本體傳遞函數(shù)由q軸電路微分方程忽略動態(tài)項、耦合項簡化而來。由相關控制原理，使系統(tǒng)超調量最小，選取系統(tǒng)阻尼比ξ= 0.707，Ti=Te，Kp=TeR/(2Td)，得電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)：

取傳遞函數(shù)幅頻特性-3 dB 對應頻率或相頻特性中相位滯后45°對應頻率較小的為閉環(huán)系統(tǒng)截止頻率，則電流環(huán)閉環(huán)帶寬ω=( 3 -1)/(2Td)。因此，電流環(huán)帶寬同系統(tǒng)總延遲時間成反比，即降低系統(tǒng)各類延遲時間，有助于提高電流環(huán)帶寬。

2 電流環(huán)帶寬提升策略

2.1 電流多采樣更新策略

相比于鋸齒形載波PWM 調制器，對稱導通時間PWM調制器有更優(yōu)的控制性能[11]，因此采用對稱導通時間PWM調制（簡稱為三角載波）。

在雙次采樣雙次更新策略中，設計三角載波周期100 μs，電流環(huán)采樣周期50 μs，更新時序如圖2 所示。圖中，T為三角載波周期；Tpwm為PWM輸出更新延遲，包括功率器件的開關延遲和電壓零矢量作用時間，在雙次采樣雙次更新中，一般為零矢量作用時間的1/2；Tsmpl為電流采樣和電流環(huán)計算延遲，因在FPGA 中完成計算功能，計算延遲時間極短，可忽略。相比于單次采樣單次更新（采樣至PWM 更新延時Td=T+Tpwm），雙次采樣雙次更新中延時Td=0.5T+Tpwm，延時大大減小，有效提高了電流環(huán)帶寬。

圖2 電流環(huán)同步雙次采樣雙次更新時序Fig.2 Current loop synchronous double sampling double update sequence

電流采樣控制周期為Tc，定義過采樣比

可見，po=1為傳統(tǒng)單次更新策略；po=2為雙次更新策略。但由于系統(tǒng)中采用電流預測控制，只有當預測控制器計算輸出控制電壓等于逆變器在控制周期內(nèi)輸出的平均電壓時，才能保證所求電壓是最優(yōu)值[13]。由于電流、轉速采樣誤差及計算誤差等各種因素影響，雙次采樣雙次更新僅能最多保證載波周期的1/2 為最優(yōu)值。因此，po＞2 的多采樣更新策略提供了解決該問題的思路。隨著po的增加，整個控制越接近于連續(xù)系統(tǒng)的模擬控制，實際平均值越接近于計算值。當po在[8，16]范圍內(nèi)時，有較好控制效果，使得控制性能在頻域內(nèi)基本趨近于連續(xù)系統(tǒng)控制效果，并有效提升了電流環(huán)帶寬，提升倍數(shù)約為單次采樣單次更新的po倍[14]。其中po=4控制時序如圖3所示。

圖3 po=4多采樣更新時序Fig.3 Multisampling update sequence when po=4

在應用多采樣更新策略及三角載波時，電流環(huán)的延遲時間進一步縮短，其等效延時Td為3T/(2po)[15]。因此，對比雙次采樣雙次更新，多采樣更新策略進一步減小Td，有效提高了電流環(huán)帶寬。

2.2 電流預測控制

在電流采樣周期極短的情況下，認為在兩個連續(xù)的周期內(nèi)系統(tǒng)輸入變量u和反電勢E恒定，前向差分得同步旋轉坐標系下的電機數(shù)學模型（式（1））的離散化通解如下：

從原理上可以得出，相比于PID 控制器中利用誤差計算比例、積分結果等環(huán)節(jié)，電流預測控制依據(jù)電機模型建立觀測器，在預測過程中由于采用給定電流，控制器輸出給定電壓，控制電流使誤差盡量收斂到零，實現(xiàn)在電流有較好跟蹤效果的基礎上，減小了電流調節(jié)時間，使Td減小，進一步提高了系統(tǒng)動態(tài)響應性能和帶寬。

2.3 基于多采樣的死區(qū)補償

死區(qū)導致理論計算的輸出電壓值同實際電壓值之間產(chǎn)生誤差，而使實際電流值無法達到預期給定值，并由于電壓的不穩(wěn)定，產(chǎn)生較多電流諧波，增多電流環(huán)的不穩(wěn)定因素。另外，多采樣更新策略于較大可能性上增加了功率器件的開關次數(shù)，加長了死區(qū)時間，使電壓不穩(wěn)定因素增加。因此，利用在極短的周期內(nèi)，具有電感效應的電機內(nèi)部定子電流、電壓不會突變的特點，認為在相鄰兩個電流采樣周期，電機的給定電壓和輸出電壓誤差值不變，并設計觀測器基于多采樣對電壓進行死區(qū)補償計算，同時可增加電壓利用率，降低多采樣中不穩(wěn)定因素的影響。

根據(jù)式（2）同步旋轉坐標系中相關電流電壓方程，后向差分得離散條件下通解如下：

對擾動電壓觀測后消除高次諧波，設計低通濾波器，則控制系統(tǒng)結構如圖4所示。

圖4 電流環(huán)控制系統(tǒng)結構Fig.4 Structure of current loop control system

通過補償由于死區(qū)時間引起的電壓波動，改善瞬時電壓給定值，縮短電壓調節(jié)的時間，減小Td，提升了電流環(huán)的動態(tài)響應性能。

3 Simulink系統(tǒng)仿真分析

根據(jù)圖4 建立關于永磁同步電機的Simulink仿真模型，其中振鏡電機參數(shù)為：額定電壓Un=131 V，額定電流In=2.1 A，d，q軸電感Ld=Lq=8.02×10-3H，線電阻R=4.4 Ω，電機轉動慣量J=0.416×10-4kg·m2，模擬振鏡的慣量盤Jt=0.144×10-4kg·m2，永磁體磁鏈Ψλ=0.070 7 Wb，電機極對數(shù)pn=5。作為驗證，以電流環(huán)采用雙次采樣雙次更新、PID 控制器為基礎，對比多采樣更新策略、電流預測控制算法、基于多采樣的死區(qū)補償算法等改進后控制效果，給定電流環(huán)高頻正弦信號。在PID 控制方式下，根據(jù)前面分析取電流環(huán)Kp=TeR/(2Td)，并整定至相對最優(yōu)值后，給定電流信號iq= 2.1sin(4 000 πt)，兩種控制方式電流響應情況如圖5 所示。分析圖中相關信息，在PID 控制模式下，幅值衰減至2 A，已達-3 dB 以下；在算法改進后的控制模式下，電流幅值基本實現(xiàn)無衰減跟隨，相位滯后小于45°，優(yōu)于PID 控制方式，有良好的控制效果。

圖5 不同控制方式下電流環(huán)響應對比Fig.5 Comparison of different current loop control methods

在電流環(huán)頻率達到2 kHz 的情況下，仿真中加入速度環(huán)和位置環(huán)。為保證對比驗證中各參數(shù)等變量的一致性，采用PID 控制器和電流預測等控制器的位置環(huán)比例增益由實際工程經(jīng)驗并經(jīng)手動調試給定[16]。根據(jù)電流iq、電磁轉矩、電機與負載轉動慣量的關系，速度環(huán)Kpv計算方法如下：

位置環(huán)給定輸入θ=2°×(π/180°)sin(400 πt)，則有圖6 所示仿真波形?？梢娫诙嗖蓸痈虏呗?、電流預測控制算法及基于多采樣的死區(qū)補償算法的加持下，位置反饋實現(xiàn)良好的跟蹤，幅值和相位均無明顯衰減和滯后，而PID 控制下幅值衰減及相位滯后嚴重，已無法正常實現(xiàn)功能。

圖6 不同控制方式下200 Hz位置環(huán)響應對比Fig.6 Comparison of 200 Hz position vibration under different control methods

4 實驗驗證

為驗證上述算法的有效性，實驗硬件平臺采用Altera 的FPGA 和STM32F407 控制芯片以及永磁同步式的振鏡電機，額定功率400 W，實驗平臺如圖7所示，包括交流直流電源、控制器、驅動器、定制電機，電機編碼器位數(shù)23 位，其中控制器對驅動器發(fā)送脈沖信號，使電機動作，10 000 個脈沖轉動1圈。對改進后控制算法進行驗證。

圖7 實驗平臺Fig.7 Experimental platform

電流環(huán)計算周期為50 μs 的條件下，在FPGA中加入多采樣更新策略、電流預測控制算法及基于多采樣的死區(qū)補償算法，結合前饋控制，在位置環(huán)給定為較高頻200 Hz的情況下，給定位置信號θ=2°×(π/180°)sin(400πt)，測量了電機實際位置、電流的反饋情況，上位機使用示波器軟件。速度環(huán)、位置環(huán)控制方式均為PID控制，電流環(huán)所用算法改進前及改進后的波形分別如圖8、圖9所示。

圖8 中，電流環(huán)僅采用PI 控制、雙次采樣雙次更新策略，位置反饋相對于給定，幅值有大幅衰減，根據(jù)圖中游標測量縱坐標脈沖數(shù)的計算值，正、負幅值的編碼器絕對值差值為36 363 個編碼脈沖數(shù)，則振動角度為360°×36 363/223，約1.56°，實際幅值已低于給定值的50%，且由于延時Td較大，相位滯后嚴重，超過180°，PID 控制下已無法滿足正?？刂菩枨螅粓D9中，在采用算法改進的控制方式下，幅值情況明顯改善，基本與給定值相同，根據(jù)軟件中游標測量縱坐標編碼器數(shù)值計算差值，正、負振動幅值差為90 610 個編碼脈沖數(shù)，電機編碼器為23位，依據(jù)反饋數(shù)據(jù)，計算電機位置正弦振動范圍為360°×90 610/223，約3.889°，較于4°振幅給定，誤差2.78%，相位滯后較于圖8也有明顯改善，滯后角度小于180°，由于慣性環(huán)節(jié)約為135°，可滿足實際使用要求。因此，相比于PID控制器，在應用多種算法改進的電流環(huán)控制中，控制效果有明顯改善。

5 結論

激光振鏡伺服系統(tǒng)需滿足小慣量、低幅值、高頻響等要求，現(xiàn)有傳統(tǒng)PID 及前饋控制難以滿足高頻響應要求。因此，文章分析了多種控制方式：采用三角載波周期內(nèi)多采樣更新策略減小電流環(huán)延遲，提高帶寬；根據(jù)電流預測控制算法實現(xiàn)電流在同一周期的跟蹤響應，提高了響應速度；基于多采樣的死區(qū)補償算法，提高了電壓利用率，減小了電流諧波。多種算法研究的融合最終實現(xiàn)了200 Hz的位置環(huán)良好跟蹤響應，且其中預測控制和基于多采樣的死區(qū)補償算法在前后向差分計算過程中有重合，在數(shù)字系統(tǒng)中極大減小了計算量，取得成效。仿真驗證了理論的正確性、可行性，實驗證明其具有一定的工程意義和價值，在小慣量、低振幅、高頻率的電機控制方面具有重要借鑒意義。