RP型剛?cè)釞C械臂螺栓結(jié)合部等效建模及結(jié)構(gòu)特性分析

張文輝，聞 志，游張平，沈金淼，3，葉曉平

（1.南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院，江蘇南京 211167；2.浙江理工大學(xué)機械與自動控制學(xué)院，浙江杭州 310000；3.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水 323000；4.浙江省航空航天金屬導(dǎo)管塑性成形技術(shù)與裝備重點實驗室，浙江麗水 323000；5.浙江省文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計與智能制造重點實驗室，浙江麗水 323000）

柔性操作臂相比剛性操作臂具有輕質(zhì)、高速、能耗低等優(yōu)點，近年來越來越受到產(chǎn)業(yè)界和學(xué)術(shù)界的關(guān)注［1-2］。目前，以Rotation-Parallel（RP）型為代表的剛?cè)釞C械臂正逐漸應(yīng)用于醫(yī)療器械領(lǐng)域。該機械臂主要由一個旋轉(zhuǎn)剛性臂通過移動基座連接一個末端柔性臂，具有較大的工作空間，能夠?qū)崿F(xiàn)平面內(nèi)大范圍快速移動和精確定位，因此對其進行深入研究具有重要意義［3］。但由于RP 型剛?cè)岵僮鞅墼谶\動過程中存在著大范圍的剛體運動與小位移的彈性振動［4-5］，這種彈性振動會通過螺栓結(jié)合部影響機器人剛性臂桿的動態(tài)特性，并導(dǎo)致末端執(zhí)行器的定位精度變差和工作效率的降低［6］。螺栓結(jié)合部是由多種復(fù)雜結(jié)合面之間相互耦合組成，從而使得螺栓結(jié)合部表現(xiàn)出一種不相容性、非線性等特性［7］，作為構(gòu)件之間固定連接的主要形式之一，表現(xiàn)出的復(fù)雜動態(tài)特性對整個機械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性產(chǎn)生較大的影響［8］。

螺栓聯(lián)接因其具有可靠性強、拆卸方便等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于結(jié)合部聯(lián)接［9］。在整個機械系統(tǒng)中60%～80%的結(jié)構(gòu)剛度和大約90%以上的結(jié)構(gòu)阻尼均來自于結(jié)合部［10］，成為整個機械系統(tǒng)誤差的主要來源，但由于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特性，無法采用傳統(tǒng)的有限元方法對其直接進行建模和分析。因此，研究一種能夠精確反映結(jié)合部特性的建模方法具有重要意義。

由于結(jié)合部相互接觸的結(jié)合面構(gòu)成一個封閉結(jié)構(gòu)體，而結(jié)合面之間是由無數(shù)非連續(xù)接觸的微凸體構(gòu)成的，因此國內(nèi)外學(xué)者試圖從微觀產(chǎn)生機理方面去揭示螺栓結(jié)合部的結(jié)構(gòu)特性［11］。1966 年，Greenwood 等［12］根據(jù)粗糙表面之間的接觸形態(tài)，率先提出GW 模型，為此類問題的解決開辟了新思路。Li 等［13］建立了粗糙表面與剛性平面之間的塑性變形模型。尤晉閩等［14］進一步考慮了微凸體在彈性、彈塑性以及完全塑性變形之間相互連續(xù)轉(zhuǎn)化，提出了適用于粗糙接觸表征的統(tǒng)計模型。Yoshimura 等［15］提出等效結(jié)合部的彈簧阻尼單元模型。李院生等［16］根據(jù)剛度等效原則，建立了單螺栓結(jié)合部的彈簧阻尼單元模型，并實驗驗證了模型的合理性。Hui 等［17］基于虛擬材料層法對螺栓結(jié)合部進行等效建模，并且通過基礎(chǔ)特性參數(shù)計算出虛擬材料的彈性模量及泊松比。張學(xué)良等［18］用一層各向同性虛擬材料作為結(jié)合部的等效模型，研究結(jié)合部在法向、切向上的不同特性。Williams 等［19］利用彈簧單元模型，分析外載荷作用下結(jié)合部的變形與螺栓預(yù)緊力大小之間的關(guān)系。

綜上，研究螺栓結(jié)合部受力狀態(tài)，確立結(jié)合面接觸面壓與螺栓預(yù)緊力的關(guān)系表達式，建立螺栓結(jié)合部等效模型，推導(dǎo)螺栓結(jié)合部切向剛度方程和法向剛度方程，探究螺栓預(yù)緊力、螺栓直徑、數(shù)目以及排列方式等對結(jié)合部動態(tài)特性的影響規(guī)律具有重要意義。

1 螺栓結(jié)合部等效建模

1.1 螺栓結(jié)合部受力分析

螺栓結(jié)合部在工作中受到預(yù)緊力F以及預(yù)緊力矩T的作用，具體如圖1所示［20-21］。

圖1 螺栓結(jié)構(gòu)受力Fig.1 Stress diagram of bolt structure

螺栓預(yù)緊力矩T由螺母與構(gòu)件表面之間的摩擦力矩T1、螺旋副之間的摩擦阻力矩T2組成：

式中：μ為螺母摩擦系數(shù)；F為螺栓預(yù)緊力；r為螺母當(dāng)量摩擦半徑；D為螺母外徑；d0為螺栓孔直徑；d1為螺紋中徑（d1=0.9d，d為螺紋的公稱直徑）；θ為螺紋升角；α為螺旋副的當(dāng)量摩擦角。

將式（1）～式（4）聯(lián)立，可得螺栓預(yù)緊力與預(yù)緊力矩之間的關(guān)系為

結(jié)合面接觸面壓Pn與螺栓預(yù)緊力F的關(guān)系可表示為

式中：S為結(jié)合面面積。

1.2 螺栓結(jié)合部等效建模

基于有限元法得到螺栓結(jié)合部的應(yīng)力分布云圖如圖2 所示。當(dāng)連接構(gòu)件的螺栓受到預(yù)緊力作用時，在螺栓孔周圍的一定區(qū)域內(nèi)分布著不均勻的接觸面壓，并隨著遠(yuǎn)離中心而越來越小，說明螺栓結(jié)合部的接觸面壓力影響具有局部性。

圖2 螺栓結(jié)合部的應(yīng)力分布云圖Fig.2 Stress distribution nephogram of bolt joint

考慮到螺栓影響區(qū)域的區(qū)域局部性，給出螺栓影響區(qū)域的模型如圖3所示。

圖3 螺栓影響區(qū)域模型Fig.3 Bolt influence area model

圖3 中，上、下構(gòu)件通過一個直徑為d0，螺栓頭部直徑為Dw的螺栓固定連接。從圖中可以看出，螺栓的接觸面壓影響區(qū)域Dc整體上呈現(xiàn)截頭圓錐體分布，進而影響著區(qū)域內(nèi)的壓應(yīng)力呈現(xiàn)非線性分布。

根據(jù)Yoshimura 等［15］提出的彈簧等效理論，設(shè)計螺栓結(jié)合部等效模型如圖4所示。

圖4 中螺栓孔的周圍均勻分布4 組彈簧單元，每組彈簧單元包括1 個法向單元和2 個切向單元。對每個彈簧單元采用由彈簧-阻尼器組成單元模塊進行等效，如圖5所示。

圖4 彈簧單元模型Fig.4 Spring element model

圖5 彈簧-阻尼器等效單元結(jié)構(gòu)Fig.5 Spring damper equivalent element structure

2 螺栓結(jié)合部剛度特性函數(shù)方程

2.1 結(jié)合部法向剛度方程

為方便分析結(jié)合部法向載荷與法向剛度之間的關(guān)系，進行如下假設(shè)：①結(jié)合面之間為剛性光滑表面與粗糙表面之間的接觸；②法向載荷對結(jié)合面上各部分載荷均相同。

單個彈性微凸體與一個剛性平面之間發(fā)生接觸變形的模型如圖6所示。

圖6 微凸體法向變形模型Fig.6 Normal deformation model of micro convex body

將粗糙表面等效為多個微凸體，令單個微凸體的等效曲率半徑為r，頂部的變形量為ξ，接觸半徑為a，法向載荷為Fn，根據(jù)赫茲接觸理論可知，單個微凸體法向載荷Fn與頂部變形量ξ之間的關(guān)系為

式中：E為微凸體之間的等效彈性模量，且E=，其中E1、E2為兩粗糙表面的彈性模量，μ1、μ2為兩粗糙表面的泊松比。

根據(jù)法向剛度定義，對式（6）中的頂部變形量ξ求導(dǎo)，可得單個微凸體的法向剛度為

將式（9）帶入式（8）整理可得微凸體法向剛度與法向載荷之間的關(guān)系為

將式（10）經(jīng)過赫茲理論變換可得到法向剛度kn與接觸面壓pn之間的關(guān)系為

式中：αn、βn為單位面積上結(jié)合面的法向基礎(chǔ)特性系數(shù)。

2.2 結(jié)合部切向剛度方程

在實際工況中，結(jié)合部不僅受到法向載荷Fn作用，同時也會受到切向載荷Fτ作用。當(dāng)接觸微凸體受到切向載荷作用時，微凸體會發(fā)生切向變形，具體如圖7所示。

圖7 微凸體切向變形模型Fig.7 Tangential deformation model of micro convex body

結(jié)合面切向變形量：

式中：μ為靜態(tài)摩擦系數(shù)；K為粗糙表面等效切向模量；K1、K2為兩粗糙表面切向模量；μ1、μ2為兩粗糙表面的泊松比。

根據(jù)切向剛度定義，兩微凸體接觸時切向剛度為

將式（15）經(jīng)過赫茲理論變換，可得切向剛度kτ與接觸面壓pn之間的關(guān)系表達式為

由于微凸體面積遠(yuǎn)小于接觸面面積，將單個微凸體切向剛度kτ等效為單位面積上接觸體切向剛度，可得切向剛度kτ與接觸面壓pn之間關(guān)系的函數(shù)方程為

式中：ατ、βτ為單位面積上結(jié)合面的切向基礎(chǔ)特性系數(shù)。

則結(jié)合面總的法向剛度Kn和切向剛度Kτ為

式中：S為結(jié)合面的接觸面積，m2。

3 基于ANSYS螺栓結(jié)合部結(jié)構(gòu)特性分析

選用螺栓結(jié)合面材料參數(shù)如下［8］：45#鋼，表面粗糙度為0.8 μm?；腿嵝员弁ㄟ^螺栓連接，其中柔性臂薄板尺寸為300 mm×100 mm×6 mm，剛性滑塊基座尺寸為150 mm×150 mm×100 mm。單位面積上結(jié)合面的基礎(chǔ)特性系數(shù)分別為αn=3.26，βn=0.60，ατ=0.27，βτ=0.48。

3.1 螺栓結(jié)合部力學(xué)特性分析

3.1.1 不同預(yù)緊力下螺栓結(jié)合部力學(xué)特性

對螺栓分別施加20、30、40、50 N·m 的載荷，并根據(jù)所建立的彈簧單元模型進行自由模態(tài)分析。

聯(lián)立式（4）、式（5）帶入式（12）和式（17），可得到不同預(yù)緊力矩下結(jié)合面的法向剛度和切向剛度值，具體見表1。

表1 不同預(yù)緊力矩下結(jié)合部剛度Tab.1 Joint stiffness under different pre tightening torques

利用有限元分析方法，基于ANSYS 得到不同預(yù)緊力下結(jié)合面壓力云圖如圖8所示。

由圖8 可知，螺栓結(jié)合部接觸表面在不同的預(yù)緊力矩下，越靠近孔邊緣的地方接觸壓力越大，遠(yuǎn)離孔邊緣的接觸壓力逐漸減小。且當(dāng)螺栓預(yù)緊力矩從20 N·m逐漸增大到50 N·m時，其接觸壓力最大值從971.12 MPa 增加到1 087.4 MPa，說明增大預(yù)緊力矩會增強接觸面的壓力強度。

圖8 不同預(yù)緊力矩的壓力云圖Fig.8 Pressure nephogram of different pre tightening torques

3.1.2 不同型號螺栓結(jié)合部力學(xué)特性

選取常用的M6、M8、M10、M12 幾種型號的螺栓，研究螺栓型號對結(jié)合面接觸面壓的影響規(guī)律。設(shè)定螺栓的預(yù)緊力矩40 N·m。利用ANSYS 有限元法得到接觸表面的壓力分布云圖如圖9所示。

圖9 不同螺栓型號接觸表面壓力云圖Fig.9 Pressure nephogram of contact surface of different bolt models

由圖9 可知，在預(yù)緊力矩相同的情況下，當(dāng)螺栓直徑從M6 增加到M12 的過程中，其最大壓力值分別為980.51、721.02、455.37、377.88 MPa，說明增大螺栓直徑會減弱接觸面的壓力強度。

3.2 螺栓結(jié)合部模態(tài)頻率特性分析

不同的螺栓數(shù)量對結(jié)合面的接觸壓力強度也不同，需要探究螺栓數(shù)量對結(jié)合部動態(tài)特性的影響機理。

基于Pro/E 建立不同螺栓數(shù)量下結(jié)合部模型如圖8 所示，為保證結(jié)合面接觸面壓相同，設(shè)定每種方式總的預(yù)緊力矩均為40 N·m。

聯(lián)立式（4）～式（17）解算，可得結(jié)合面的法向剛度為kn=2.38×1010N/m，切向剛度為kτ=1.59×109N/m。將PRO/E 模型導(dǎo)入ANSYS 進行聯(lián)合仿真，可得前6階固有頻率，如圖11所示。

圖11 螺栓數(shù)量與固有頻率關(guān)系Fig.11 Relationship between bolt quantity and natural frequency

由圖11 可知，螺栓預(yù)緊力矩相同的情況下，隨著螺栓連接數(shù)目的增加，結(jié)合部固有頻率逐漸增大。因為在相同的螺栓預(yù)緊力矩作用下，結(jié)合部之間相互接觸的微凸體數(shù)目逐漸增多，結(jié)構(gòu)抵抗變形的能力增強，結(jié)合部剛度也隨之增大，其固有頻率也相應(yīng)增大。因此，綜合考慮圖10（d）的排列方式更優(yōu)。

圖10 單一排列的不同數(shù)量螺栓模型Fig.10 Different number of bolt models with single arrangement

4 結(jié)語

螺栓結(jié)合部是剛?cè)釞C械臂的關(guān)鍵連接部件，本文基于等效模型分析其結(jié)構(gòu)特性，研究了螺栓結(jié)合部受力狀態(tài)，確立了結(jié)合面接觸面壓與螺栓預(yù)緊力的關(guān)系表達式，基于彈簧等效原理，建立了螺栓結(jié)合部等效模型；基于微凸體變形模型和赫茲接觸理論，分別推導(dǎo)了螺栓結(jié)合部切向剛度方程和法向剛度方程；通過PRO/E 建立了螺栓結(jié)合部三維模型，采用ANSYS 進行了聯(lián)合仿真，分析了螺栓預(yù)緊力和直徑對結(jié)合部力學(xué)特性的影響規(guī)律和螺栓數(shù)目對結(jié)合部模態(tài)頻率特性影響機理。