水平及豎向地震下的鋼筋混凝土框架混合試驗(yàn)方法

郭玉榮，朱釗利

（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082；2.建筑安全與節(jié)能教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙 410082）

引言

已有的地震記錄表明，近場地震會(huì)出現(xiàn)較為顯著的豎向地面加速度，豎向地震對結(jié)構(gòu)的破壞不可忽視。早在20世紀(jì)70年代，錢培風(fēng)［1］就從近場地震震害現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)了豎向地震對結(jié)構(gòu)的破壞作用。周正華等［2］以國內(nèi)外數(shù)十次近場地震的地面加速度記錄為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，結(jié)果表明在近場區(qū)豎向地震效應(yīng)顯著。在水平和豎向地震的同時(shí)作用下，框架結(jié)構(gòu)中柱子軸力的大幅持續(xù)變化會(huì)對柱的承載力、剛度和滯回性能等產(chǎn)生顯著的影響，從而影響框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。混合試驗(yàn)方法為模擬結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)提供了一種新型有效的手段，但以往的建筑結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)方法大多只考慮水平地震作用或多維地震加載僅應(yīng)用于驗(yàn)證性的簡單結(jié)構(gòu)案例。研發(fā)多高層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)在水平及豎向雙向地震作用下的混合試驗(yàn)方法，可以進(jìn)一步拓展混合試驗(yàn)方法的應(yīng)用。

混合試驗(yàn)［3］源于擬動(dòng)力試驗(yàn)，其將完整的結(jié)構(gòu)分為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)兩部分，試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)是將地震作用下容易破壞的強(qiáng)非線性部分進(jìn)行加載試驗(yàn)，而數(shù)值子結(jié)構(gòu)是將其余部分進(jìn)行計(jì)算模擬。近年來，不少學(xué)者對混合試驗(yàn)方法進(jìn)行了研究并開發(fā)了相應(yīng)的試驗(yàn)平臺(tái)或軟件，如OpenFresco［4］、UI-SimCor［5］、Net‐SLab［6］、P2P 分布式混合試驗(yàn)平臺(tái)［7］、HyTest［8］、MTS-OpenFresco-MATLAB 混合試驗(yàn)系統(tǒng)［9］等。在使用這些平臺(tái)或軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)時(shí)，由于試驗(yàn)設(shè)備和加載條件的限制，往往只進(jìn)行結(jié)構(gòu)在水平地震激勵(lì)下的混合試驗(yàn)，如范云蕾等［10］采用2 個(gè)水平作動(dòng)器對一榀十層三跨鋼管混凝土組合框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了子結(jié)構(gòu)擬動(dòng)力試驗(yàn)，郭玉榮等［11］采用一個(gè)水平作動(dòng)器對一榀十層三跨BRB 組合框架進(jìn)行了混合試驗(yàn)，王貞等［12］采用4 個(gè)水平作動(dòng)器對6層預(yù)制鋼筋混凝土剪力墻盒子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了混合試驗(yàn)，蔡新江等［9］采用1個(gè)水平作動(dòng)器完成了一榀兩層單跨鋼框架的混合試驗(yàn)，張琦等［13］用4 個(gè)水平作動(dòng)器對一個(gè)局部單層的三層多跨偏心支撐組合鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了遠(yuǎn)程協(xié)同混合試驗(yàn)。此外，哈爾濱工業(yè)大學(xué)吳斌教授課題組［8，14］在進(jìn)行水平地震激勵(lì)下的單層單跨鋼框架混合試驗(yàn)中，采用3 個(gè)MTS 作動(dòng)器完成試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)柱頂邊界3 個(gè)自由度的協(xié)調(diào)控制位移加載，為多維加載控制的結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)提供了設(shè)備技術(shù)支持。在多向地震同時(shí)激勵(lì)的結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)研究方面，鐘樹生［15］利用桿系模型編制了水平及豎向地震聯(lián)合作用的混合試驗(yàn)程序，并進(jìn)行了兩層一跨鋼筋混凝土框架的混合試驗(yàn)；袁志仁［16］提出了基于修正的OS法的水平及豎向地震混合試驗(yàn)方法，同樣進(jìn)行了兩層一跨鋼筋混凝土框架的混合試驗(yàn)。但是總的來說，水平和豎向地震激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)方法研究還比較有限，存在數(shù)值子結(jié)構(gòu)模擬效果差、時(shí)程分析計(jì)算精度低等問題。

近年來，作者所在單位建設(shè)了大型多功能加載設(shè)備MUST，4 個(gè)豎向布置的作動(dòng)器合計(jì)可施加2 000 t的力，2個(gè)水平作動(dòng)器合計(jì)可施加400 t的力，為實(shí)現(xiàn)水平和豎向地震同時(shí)激勵(lì)下的混合試驗(yàn)提供了設(shè)備支持。結(jié)合該設(shè)備，文中研發(fā)一種多高層框架結(jié)構(gòu)在水平和豎向地震共同作用下的混合試驗(yàn)方法，采用Matlab 編寫整體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程求解模塊，并連接通用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件OpenSees求解數(shù)值子結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力來編制結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)程序。以一榀七層三跨框架為例，通過對比分析混合試驗(yàn)的誤差大小和誤差來源來驗(yàn)證文中方法的可行性和有效性。

1 水平和豎向地震下的混合試驗(yàn)基本流程

結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)主要包含3 個(gè)核心內(nèi)容：（1）試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)，該部分為真實(shí)構(gòu)件在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行加載試驗(yàn)；（2）數(shù)值子結(jié)構(gòu)，該部分利用計(jì)算機(jī)建模模擬；（3）整體結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的建立與求解。

在進(jìn)行框架結(jié)構(gòu)的混合試驗(yàn)時(shí)，一般取受力較為復(fù)雜的柱子為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)。水平地震作用下框架結(jié)構(gòu)的傾覆力矩變化會(huì)引起柱子的軸力變化，但是這種軸力變化幅度相對較小。在豎向地震作用下，柱子的軸力持續(xù)發(fā)生變化且變化幅度較大。高水平、大幅度的軸力變化會(huì)顯著影響柱子的抗彎承載力、剛度和滯回性能等特征，從而對框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)產(chǎn)生較大影響。因此，當(dāng)進(jìn)行水平和豎向地震同時(shí)激勵(lì)下的框架結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)時(shí)，從框架結(jié)構(gòu)中取出柱子為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)加載，需要試驗(yàn)設(shè)備具有變軸力的加載能力，如圖1所示。

對于圖1 中的數(shù)值子結(jié)構(gòu)，需要對柱子的非線性滯回性能進(jìn)行數(shù)值模擬。以往的混合試驗(yàn)常常采用經(jīng)驗(yàn)的恢復(fù)力模型來計(jì)算構(gòu)件的恢復(fù)力，當(dāng)考慮軸力變化對柱子的滯回性能產(chǎn)生影響時(shí)，則恢復(fù)力模型參數(shù)也需要相應(yīng)的修正，這種模擬方法編寫程序非常復(fù)雜。即使采用這樣的方法，依舊不能很好地模擬軸力變化下的柱子受力性能。為了更真實(shí)地獲取每一積分步下的柱子恢復(fù)力，利用OpenSees 構(gòu)建數(shù)值子結(jié)構(gòu)的纖維模型，纖維模型能對構(gòu)件的受力狀態(tài)進(jìn)行較好的模擬。利用位移加載的方式，在每一積分步數(shù)值子結(jié)構(gòu)加載水平和豎向預(yù)測位移，并返回預(yù)測位移下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

圖1 混合試驗(yàn)示意圖Fig.1 Schematic diagram of hybrid simulation

為了實(shí)現(xiàn)水平和豎向地震下的混合試驗(yàn)，需要建立框架結(jié)構(gòu)的整體運(yùn)動(dòng)方程。結(jié)合樓板平面內(nèi)無限剛性的假定建立水平運(yùn)動(dòng)方程，樓板平面外有限剛度假定建立豎向運(yùn)動(dòng)方程。采用Matlab 編寫程序建立運(yùn)動(dòng)方程，同時(shí)利用數(shù)值積分方法進(jìn)行時(shí)程分析，計(jì)算每一積分步上的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

水平和豎向雙向混合試驗(yàn)的基本流程如下：

步驟1：已知第i－1 步的位移、速度加速度。利用PC－Newmark 法分別計(jì)算第i步的水平預(yù)測位移和預(yù)測速度、豎向預(yù)測位移和預(yù)測速度。并將水平和豎向預(yù)測位移發(fā)送給數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)。

步驟2：OpenSees 中的數(shù)值子結(jié)構(gòu)利用預(yù)測位移進(jìn)行各節(jié)點(diǎn)的加載，并獲得相應(yīng)的內(nèi)力以及對應(yīng)的恢復(fù)力。

步驟3：試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)柱利用對應(yīng)的預(yù)測位移進(jìn)行加載，并獲得剪力和軸力。

步驟4：Matlab 中整合獲得的恢復(fù)力形成水平恢復(fù)力列向量和豎向恢復(fù)力列向量。利用恢復(fù)力列向量計(jì)算水平、豎向加速度，同時(shí)修正水平、豎向位移和速度。

步驟5：重復(fù)1～4 的過程，直至試驗(yàn)結(jié)束。

具體的混合試驗(yàn)流程如圖2所示。

圖2 水平和豎向地震下混合試驗(yàn)流程圖Fig.2 Flow chart of hybrid simulation under horizontal and vertical earthquakes

2 水平和豎向地震下混合試驗(yàn)的關(guān)鍵問題

2.1 邊界條件的處理

混合試驗(yàn)的關(guān)鍵問題之一是邊界條件的控制，數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)之間邊界條件的協(xié)調(diào)會(huì)影響混合試驗(yàn)的精度和效果。對于二維平面框架，梁柱節(jié)點(diǎn)一共有3個(gè)自由度，也就意味著物理子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)之間的邊界條件需要保持3 個(gè)自由度的協(xié)調(diào)。試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的邊界條件一般由作動(dòng)器實(shí)現(xiàn)，但是大多數(shù)的實(shí)驗(yàn)室因設(shè)備條件限制無法做到同時(shí)控制柱頂?shù)?個(gè)自由度，往往忽略轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，只控制水平和豎向自由度的位移。因此，結(jié)合MUST設(shè)備加載能力，文中的混合試驗(yàn)方法也只控制柱頂?shù)乃胶拓Q向自由度。對于水平和豎向自由度，采用位移控制的方法，在混合試驗(yàn)的過程中保證數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)邊界的水平和豎向位移一致。

2.2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型

確定時(shí)程分析的結(jié)構(gòu)振動(dòng)模型是混合試驗(yàn)的關(guān)鍵步驟，實(shí)際中通常會(huì)將平面框架的質(zhì)量集中在各個(gè)梁柱節(jié)點(diǎn)，同時(shí)考慮各個(gè)節(jié)點(diǎn)的水平、豎向和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的計(jì)算存在一定困難，同時(shí)由于試驗(yàn)設(shè)備的限制，選擇忽略結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。當(dāng)選取的框架結(jié)構(gòu)的梁柱線剛度比足夠大時(shí)，節(jié)點(diǎn)近似不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)自由度所帶來的誤差可以忽略不計(jì)。忽略節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度時(shí)，可以縮減結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度。根據(jù)劉季［17］的推導(dǎo)，當(dāng)水平和豎向地震同時(shí)作用時(shí)，豎向振動(dòng)是獨(dú)立的，豎向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程如式（1）：

式中：M為質(zhì)量矩陣；CV為結(jié)構(gòu)豎向阻尼矩陣；KV為結(jié)構(gòu)豎向剛度矩陣；Y為豎向位移列向量；I為單位列向量。

水平和豎向地震同時(shí)作用時(shí)，結(jié)構(gòu)的水平振動(dòng)和豎向振動(dòng)耦合，其水平振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程如式（2）：

式中：CH為結(jié)構(gòu)水平阻尼矩陣；KH為結(jié)構(gòu)水平剛度矩陣；KG為幾何剛度矩陣；X為水平位移列向量。

當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性時(shí)，方程（2）中的KG= 0，則水平與豎向振動(dòng)不耦合。因此，不考慮水平和豎向運(yùn)動(dòng)的耦合性，即水平和豎向運(yùn)動(dòng)分別獨(dú)立計(jì)算。

通常假定樓板平面內(nèi)的剛度無窮大，在水平地震作用下，同一層的水平位移是相等的。因此可以將同一層的質(zhì)量集中在一起，形成串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系模型，即層剪模型。而在豎向地震下，樓板的平面外剛度很小，并且梁的剛度也是有限的，同一層樓的豎向位移不能近似相等。因此，在豎向地震作用下的結(jié)構(gòu)豎向運(yùn)動(dòng)計(jì)算不能采用串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系模型，需要采用串并聯(lián)多質(zhì)點(diǎn)系模型［18］，水平和豎向振動(dòng)模型如圖3所示。

圖3 水平和豎向振動(dòng)模型Fig.3 Horizontal and vertical vibration models

2.3 水平和豎向運(yùn)動(dòng)方程

在地震作用下結(jié)構(gòu)會(huì)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)方程中的恢復(fù)力項(xiàng)無法用恒定的剛度表示。同時(shí)，由于結(jié)構(gòu)在豎向受到初始靜力作用，在運(yùn)動(dòng)方程中必須考慮這部分靜力作用的影響。

由于水平和豎向運(yùn)動(dòng)分別獨(dú)立計(jì)算，在水平和豎向地震作用下結(jié)構(gòu)的豎向運(yùn)動(dòng)方程和水平運(yùn)動(dòng)方程如式（3）和式（4）所示：

式中：fV為結(jié)構(gòu)的豎向恢復(fù)力列向量；fH為結(jié)構(gòu)的水平恢復(fù)力列向量；Pg結(jié)構(gòu)初始豎向荷載列向量。

建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，需要獲取結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，文中方法采用Rayleigh阻尼。Rayleigh阻尼的構(gòu)造如式（5）所示：

對于豎向和水平的阻尼矩陣，分別采用對應(yīng)的質(zhì)量和剛度矩陣。

2.4 混合試驗(yàn)時(shí)程分析的數(shù)值積分方法

混合試驗(yàn)的核心是對結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震作用下的時(shí)程分析，時(shí)程分析常常采用數(shù)值積分方法。文中采用PC-Newmark 法進(jìn)行時(shí)程分析。PC-Newmark 法又被稱作預(yù)測－校正Newmark 法，其擁有較好的穩(wěn)定性和較高的計(jì)算精度，預(yù)測及校正的過程適用于混合試驗(yàn)。

PC-Newmark法把一個(gè)數(shù)值積分步的計(jì)算分為預(yù)測和校正2部分。預(yù)測部分公式如（6）和（7）所示：

式中：為第i+1 步的預(yù)測位移和預(yù)測速度列向量；di、vi和ai為第i步的位移、速度和加速度列向量；β、γ為數(shù)值積分算法參數(shù)，可取β=0.25，γ=0.5。

校正部分公式如式（8）～式（10）所示：

式中：ai+1為i+1 步的加速度列向量；為預(yù)測位移作用在結(jié)構(gòu)上獲得恢復(fù)力列向量；ag,i+1為第i+1 步的地面加速度；di+1為結(jié)構(gòu)校正位移列向量；vi+1為結(jié)構(gòu)校正速度列向量。

3 混合試驗(yàn)數(shù)值模擬

以一榀七層三跨的鋼筋混凝土框架為例，通過對比虛擬混合試驗(yàn)和單獨(dú)用OpenSees進(jìn)行時(shí)程分析來驗(yàn)證文中所提出方法的可行性和有效性。

3.1 數(shù)值模擬模型概況

所選取的一榀七層三跨框架如圖4 所示。該框架底層層高為3.7 m，其余層層高為3.0 m，跨度6.0 m，柱和梁截面分別為600 mm×600 mm 和600 mm×1 400 mm?？蚣芙Y(jié)構(gòu)梁上的分布荷載為39 kN/m，邊節(jié)點(diǎn)集中荷載為198.75 kN，中節(jié)點(diǎn)集中荷載為240 kN?？蚣苓吂?jié)點(diǎn)質(zhì)量為32.22 t，中節(jié)點(diǎn)質(zhì)量為48.37 t。地震波選取El Centro 波的水平和豎直分量，水平向的峰值加速度調(diào)整為0.9 g，豎向的峰值加速度調(diào)整為水平向的2/3。整體時(shí)程分析的持時(shí)為15 s。

圖4 框架結(jié)構(gòu)分析模型Fig.4 Analysis model of frame structure

取底層中柱作為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)，為了使混合試驗(yàn)中數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)之間的邊界條件相近，將試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的柱頂轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行約束。

本節(jié)算例選取框架結(jié)構(gòu)的梁柱線剛度比較大，其主要有以下2 點(diǎn)考慮：（1）文中混合試驗(yàn)方法忽略節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)約束，為了減小其帶來的誤差，本節(jié)選取梁柱線剛度比較大的框架；（2）混合試驗(yàn)的一個(gè)重要誤差來源為子結(jié)構(gòu)之間邊界條件的不一致。為了減小這部分誤差，選取梁柱線剛度較大的框架，同時(shí)對試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)柱頂?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行約束。

3.2 彈性框架虛擬混合試驗(yàn)

首先假設(shè)該框架為彈性框架，所有梁柱采用彈性單元，彈性模量E取為3 × 104MPa。利用OpenSees 模擬試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)，同時(shí)結(jié)合混合試驗(yàn)程序進(jìn)行虛擬混合試驗(yàn)。單獨(dú)采用OpenSees 對完整框架結(jié)構(gòu)建模并進(jìn)行時(shí)程分析，其時(shí)程分析結(jié)果作為參考解與虛擬混合試驗(yàn)進(jìn)行對比驗(yàn)證。

虛擬混合試驗(yàn)和純OpenSees 時(shí)程分析的結(jié)構(gòu)底層中柱位移、內(nèi)力響應(yīng)如圖5 所示。為了定量分析兩者差異，計(jì)算虛擬混合試驗(yàn)與純OpenSees 時(shí)程分析的誤差列于表1，誤差參考標(biāo)準(zhǔn)取為底層中柱柱頂內(nèi)力和位移的平均絕對誤差（MAE）和相關(guān)系數(shù)（r）。MAE值和r值的計(jì)算公式如式（11）和式（12）所示：

表1 柱頂位移、內(nèi)力時(shí)程對比的MAE值和r值Table 1 MAE and r value of comparison of displacement and internal force at top of column

圖5 柱頂位移、內(nèi)力時(shí)程曲線Fig.5 Time history curve of displacement and internal force at top of column

式中：xi,ref、xi分別為真實(shí)值和對比值；Xref、X分別為真實(shí)值和對比值的向量；Cov(X,Xref)為真實(shí)值和對比值的協(xié)方差；Var|Xref|、Var|X|分別為真實(shí)值和對比值的方差，n為數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目。

從圖5可以看出，虛擬混合試驗(yàn)和純OpenSees時(shí)程分析的底層中柱內(nèi)力和位移時(shí)程曲線比較吻合，表1中的MAE值和r值表明二者差異較小。分析其中誤差的主要來源為：

（1）數(shù)值積分方法的不同。文中混合試驗(yàn)方法采用PC-Newmark法，而OpenSees時(shí)程分析采用Newmark-β法，Newmark-β法難以用于混合試驗(yàn)。雖然2 種數(shù)值積分方法類似，但仍存在不同，并導(dǎo)致時(shí)程分析結(jié)果存在差異。

（2）節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的忽略。文中混合試驗(yàn)方法忽略了節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，該簡化會(huì)對時(shí)程分析結(jié)果造成誤差。本節(jié)模擬采用梁柱線剛度比較大的框架，若梁柱線剛度比增大，則誤差會(huì)相應(yīng)地減小。

（3）子結(jié)構(gòu)邊界條件的不一致。文中混合試驗(yàn)方法采用不完整邊界條件，其無需控制試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)邊界條件。這樣的方法滿足大多數(shù)實(shí)驗(yàn)室的試驗(yàn)設(shè)備條件，同時(shí)也產(chǎn)生了誤差。本節(jié)模擬采用梁柱線剛度比較大的框架，同時(shí)對試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)柱頂?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行約束，這樣的處理能保證子結(jié)構(gòu)之間的邊界條件相近并減小誤差。

從彈性框架混合試驗(yàn)較小的誤差可見，當(dāng)梁柱線剛度比較大時(shí)，數(shù)值積分方法、節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和子結(jié)構(gòu)邊界條件這些誤差來源并不會(huì)造成較大的誤差。

3.3 鋼筋混凝土框架虛擬混合試驗(yàn)

將彈性框架改為鋼筋混凝土框架，所有梁柱采用基于力插值函數(shù)的非線性梁柱單元，每個(gè)單元選取5個(gè)高斯積分點(diǎn)。梁柱截面為纖維截面，混凝土纖維的本構(gòu)模型為Concrete01 模型，即改進(jìn)的Kent-Scott-Park 模型。鋼筋纖維的本構(gòu)模型為Steel01 模型，即單軸雙折線模型。柱截面配筋圖如圖6 所示，鋼筋和混凝土本構(gòu)模型參數(shù)見表2。

圖6 柱截面配筋圖Fig.6 Reinforcement diagram of column section

表2 Concrete01、Steel01材料本構(gòu)模型參數(shù)Table 2 Material constitutive model parameters of Concrete01 and Steel01

同樣利用OpenSees模擬試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)以進(jìn)行虛擬混合試驗(yàn)，將純OpenSees時(shí)程分析作為參考解與虛擬混合試驗(yàn)進(jìn)行對比。

虛擬混合試驗(yàn)和純OpenSees時(shí)程分析的結(jié)構(gòu)底層中柱位移、內(nèi)力時(shí)程曲線如圖7所示，平均絕對誤差MAE值和相關(guān)系數(shù)r值如表3所示，時(shí)程曲線峰值對比如表4。試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的水平滯回曲線與參考解的對比見圖8。

表3 柱頂位移、內(nèi)力時(shí)程對比的MAE值和r值Table 3 MAE and r of comparison of displacement and internal force at top of column

從圖7 以及表3 的數(shù)據(jù)中可以看出試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的時(shí)程曲線與參考解存在一定差異，但時(shí)程曲線趨勢較為吻合，數(shù)值相差不大。從表3 和表4 可以發(fā)現(xiàn)，整體的平均絕對誤差MAE值較小，相關(guān)系數(shù)r值較為接近1，時(shí)程曲線峰值相差不大。從圖8可以看出，2種情況下柱子的滯回曲線較為接近。

圖8 子結(jié)構(gòu)柱滯回曲線與參考解的對比Fig.8 Comparison of hysteresis curve of substructure column and reference solution

表4 柱頂位移、內(nèi)力時(shí)程的峰值對比Table 4 The comparison of peak displacement and internal force at top of column

圖7 柱頂位移、內(nèi)力時(shí)程曲線Fig.7 Time history curve of displacement and internal force at top of column

圖7 （續(xù)）Fig.7 （Continued）

對于鋼筋混凝土框架而言，虛擬混合試驗(yàn)結(jié)果與參考解的誤差來源同彈性框架基本類似，即數(shù)值積分方法、節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和子結(jié)構(gòu)邊界條件。除此之外，鋼筋混凝土框架的第4點(diǎn)誤差來源為阻尼的不同。雖然OpenSees時(shí)程分析和文中混合試驗(yàn)方法同樣采用Rayleigh阻尼，但2種模擬所構(gòu)造的Rayleigh阻尼矩陣有一定差別。Rayleigh 阻尼矩陣的構(gòu)造需要結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣的構(gòu)造需要各個(gè)構(gòu)件的剛度。在構(gòu)造阻尼矩陣時(shí)，文中方法采用混凝土構(gòu)件的經(jīng)驗(yàn)剛度以構(gòu)造結(jié)構(gòu)剛度矩陣，而OpenSees 時(shí)程分析對構(gòu)件的纖維截面進(jìn)行分析從而獲得結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，兩者的差別導(dǎo)致了阻尼矩陣的差異。

進(jìn)一步分析得出，鋼筋混凝土框架混合試驗(yàn)相對較大的誤差主要來源為阻尼矩陣的不同。雖然鋼筋混凝土框架混合試驗(yàn)與真實(shí)解相比存在一定誤差，但其時(shí)程曲線趨勢與真實(shí)解較為吻合，同時(shí)誤差指標(biāo)MAE相對于峰值較小。因此，文中的混合試驗(yàn)方法可以用于真實(shí)的混合試驗(yàn)。

4 結(jié)論

文中研究了水平及豎向地震激勵(lì)下的鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)混合試驗(yàn)方法，并結(jié)合大型多功能加載設(shè)備MUST編制了混合試驗(yàn)程序，主要結(jié)論如下：

（1）分別采用串聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系和串并聯(lián)質(zhì)點(diǎn)系模型模擬框架結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)，縮減了結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，同時(shí)能體現(xiàn)框架結(jié)構(gòu)的主要振動(dòng)特征。

（2）混合試驗(yàn)程序采用Matlab 編寫整體結(jié)構(gòu)水平和豎向運(yùn)動(dòng)方程求解模塊，通過連接通用的結(jié)構(gòu)有限元分析程序OpenSees 進(jìn)行數(shù)值子結(jié)構(gòu)的非線性模擬，減少了試驗(yàn)程序的開發(fā)工作量，并具有較強(qiáng)的數(shù)值模擬能力。

（3）通過一榀七層三跨鋼筋混凝土框架的虛擬混合試驗(yàn)和OpenSees 時(shí)程分析結(jié)果對比及誤差源分析，驗(yàn)證了文中方法的有效性和可行性。

文中方法在阻尼矩陣的構(gòu)造上存在著不足，后續(xù)研究可以圍繞著如何構(gòu)造更為精確的阻尼矩陣以提高計(jì)算精度。