立足教材 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)
——以“直線和圓的方程”為例

◎廖永鳳 崔澤建（通訊作者） （西華師范大學(xué)，四川 南充 637000）

一、引 言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版）》中新增加學(xué)科核心素養(yǎng)，它的培養(yǎng)不僅對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著深遠影響，而且對于促進學(xué)生思維和能力的發(fā)展有著重要作用.如何把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實到課堂，值得大家深入探討.數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源，是教學(xué)過程中一個至關(guān)重要的工具，是無數(shù)專家學(xué)者經(jīng)過反復(fù)推敲之后編撰的.本文以新人教A 版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章“直線與圓的方程”教學(xué)為例，談一談如何充分利用教材資源培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在實踐中體會數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.新授課培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

案例1 “斜率”概念的抽象

學(xué)生在教材中學(xué)習(xí)了傾斜角的概念，為了進一步研究刻畫直線傾斜程度的方法，并根據(jù)兩點確定一條直線，教材中以探究的形式給出：

在平面直角坐標系中，設(shè)直線的傾斜角為.

（1）已知直線經(jīng)過（0，0），（ 3，1），與，的坐標有什么關(guān)系？ （如圖1 左所示）

（2）類似地，如果直線經(jīng)過（-1，1），（ 2，0），與，的坐標又有什么關(guān)系？ （如圖1 右所示）

圖1

（3）一般地，如果直線經(jīng)過兩點（，），（，）（其中≠），那么與，的坐標有怎樣的關(guān)系？ （分情況討論，總共4 種情況，如圖2 和圖3 所示）

圖2

圖3

教材的用意是從特殊到一般，從具體到抽象，讓學(xué)生從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)律推出其他命題，并通過幾何直觀感知事物的形態(tài)與特點，通過對數(shù)據(jù)的分析和理解找出特征，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和直觀想象素養(yǎng).在教學(xué)中，讓學(xué)生理解直線的傾斜角與直線上任意兩點坐標間的關(guān)系，需要教師引導(dǎo)學(xué)生在具體的情景中通過自主探究或合作探究的形式找到兩者之間的關(guān)系.教材中的例子是經(jīng)過編寫專家的多次斟酌，從學(xué)生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)知識、方法技能出發(fā)的，具有典型性、示范性.對于斜率的學(xué)習(xí)，教材中的解題相關(guān)步驟如上，以特殊到一般、簡單到復(fù)雜的形式呈現(xiàn).

之后，教材中對于直線與圓的相關(guān)概念的呈現(xiàn)都是通過圖像讓學(xué)生直觀感受圖形的特性，利用平面直角坐標系將代數(shù)與幾何相聯(lián)系（坐標法），在學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生學(xué)會把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，以簡馭繁，更進一步運用邏輯推理、直觀想象的思維方式思考并解決問題.教材中“閱讀與思考”中提出的笛卡爾與解析幾何、坐標法與數(shù)學(xué)機械化有助于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣.

在教學(xué)過程中，教師需要注意：第一，要留足時間讓學(xué)生“想”.在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生學(xué)到相關(guān)知識技能才能達到教學(xué)的目的，因此要讓學(xué)生有足夠的時間去思考、體會，明白課程中講授的知識.也要在課堂中培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，讓學(xué)生能獨立思考、靈活運用知識.第二，要讓學(xué)生多“說”.有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的統(tǒng)一，在課堂中要讓學(xué)生參與進來，就需要有課堂活動的存在，其中數(shù)學(xué)問題是最常見的課堂活動.在教學(xué)過程中，最重要的是學(xué)生對問題的理解，當(dāng)理解有偏差時，需要教師引導(dǎo)學(xué)生；第三，點評要到位.在教學(xué)過程中，教師主要起著引導(dǎo)作用，而學(xué)生的思路、想法等都是需要教師的點評的，例如，斜率的計算與傾斜角的正切值有關(guān)，但是對于一些特殊情況，在講解的過程中就需要重點突出.

案例2 新授課中探究直線與圓的位置關(guān)系的例題

例1 已知直線：3＋-6 ＝0 和圓心為的圓＋-2-4＝0，判斷直線與圓的位置關(guān)系.如果相交，求直線被圓所截得的弦長.

通過平面直角坐標系將代數(shù)與幾何相聯(lián)系，即將點的坐標與點聯(lián)系起來，如圖4 所示.在利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時，書中用例題引入.在本節(jié)內(nèi)容之前，教材安排學(xué)習(xí)了怎樣利用代數(shù)法判斷兩條直線的位置關(guān)系及如何求直線交點.教材的用意是讓學(xué)生通過對以往知識的回顧，并通過類比推理的形式，以代數(shù)的形式聯(lián)立方程組，通過方程解的個數(shù)判斷直線與圓的交點個數(shù)，進而判斷直線與圓的位置關(guān)系.或者通過直觀想象，利用圖形對相關(guān)長度進行比較來判斷直線與圓的位置關(guān)系，并在此后通過圖像直觀感受弦長的計算方法.

圖4

在此過程中，主要是讓學(xué)生直觀感受直線與圓位置關(guān)系的圖像特征，并通過邏輯推理（類比“通過代數(shù)形式判斷直線與直線的位置關(guān)系”）、數(shù)學(xué)運算求得最終結(jié)論.圓的方程含有二次項，計算時較為復(fù)雜.運算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的猜想與驗證過程都需要通過計算來完成，因此，在探究直線與圓的位置關(guān)系時，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過類比的思想考慮問題、解決問題，并在解決問題的過程中，注重對學(xué)生計算能力的培養(yǎng)，有的計算問題可以通過特殊的技巧使計算簡單化.

例2 一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20 km 的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40 km 處，港口位于小島中心正北30 km 處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險

圖5

對于實際問題的解決常常選擇將數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生舍棄事物的非本質(zhì)屬性，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).以生活實例引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起.但是對于實際問題的解決，首先需要學(xué)生根據(jù)具體情況，將實際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題進行求解，在這個過程中，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力要求較高，需要學(xué)生通過自主探究等形式理解、分析題目.

綜上，教材對于教學(xué)中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了許多素材與方法.在教學(xué)過程中，教師要有意識地將相關(guān)素養(yǎng)的培養(yǎng)融入課堂中，應(yīng)該結(jié)合探究式教學(xué)法讓學(xué)生通過自主探究、合作探究等形式，以自身知識技能為基礎(chǔ)，并在教師的引導(dǎo)下，通過直觀感受、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、 數(shù)學(xué)運算等方法解決問題.而對于常見題型和開放性試題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)目標和題中的條件，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并進行解決.在實際問題和數(shù)學(xué)問題的解決過程中，以一題多解和一題多變等形式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神.

2.習(xí)題課、單元復(fù)習(xí)課培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

新授課后的習(xí)題課是對新授課的消化與鞏固，也是對一些問題的解決與拓展.例如，利用直線與圓的方程和相關(guān)性質(zhì)解決問題、判定點的軌跡方程、求最值等，這個過程主要采取講練結(jié)合的方式.

案例3 “直線和圓的方程”習(xí)題課中的例題

例3 （1）一條光線從點（6，4）射出，與軸相交于點（2，0），經(jīng)軸反射，求入射光線和反射光線的方程.

（2）已知等腰三角形的一個頂點為（4，2），底邊的一個端點為（3，5），求底邊的另一個端點的軌跡方程，并說明它是什么圖形.

（3）三條直線＋2＋8＝0，4＋3＝10 與2-＝10 相交與一點，求的值.

（4）求圓＋-4＝0 與圓＋-4＋4-12 ＝0 的公共弦的長.

評析 這一組例題主要考查的是直線與圓的概念及其方程的應(yīng)用.解決這些問題，第一，要明晰算理，掌握求直線與圓交點的基本方法，通過數(shù)形結(jié)合，找出已知與所求之間的關(guān)系，結(jié)合所學(xué)的相關(guān)性質(zhì)定理進行求解.第（1）（2）小題考查的是直線與圓的定義，第（3）（4）小題是求交點坐標.第二，無論使用什么方法解決問題，都需要經(jīng)過相應(yīng)的計算才能給出最終結(jié)果.因此，在運算過程中要注意利用好相應(yīng)算理，細心求解，確保正確率.第三，解決問題之后要注重評價，檢驗教學(xué)是否達到教學(xué)目標.最后，要總結(jié)在解決問題的過程中使用的數(shù)學(xué)思想及方法，強調(diào)如果能運用好方程思想、明確目標和有整體意識，則能優(yōu)化解題過程.

案例4 “直線和圓的方程”單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于“直線和圓的方程”單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計一般分為3 個課時.第1 課時，通過對基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的回顧，使直線和圓的有關(guān)知識與相關(guān)技巧、方法加以整合、提煉，形成知識體系，積累常見問題中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型等.第2 課時，重點是運用相應(yīng)數(shù)學(xué)方法、技能解決直線、圓及其整合的綜合性問題，在培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力的同時，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).第3 課時，復(fù)習(xí)直線與圓的簡單應(yīng)用，側(cè)重于轉(zhuǎn)化思想.現(xiàn)抽取代表性較強的幾個例題進行分析.

例4 已知圓：（-1）＋（-2）＝25，直線：（2＋1）＋（＋1）-7-4＝0.

（1）求證：直線恒過定點.

（2）直線被圓截得的弦何時最長、何時最短并求弦長最短時的值以及最短弦長.

先讓學(xué)生思考，然后隨機抽取幾名同學(xué)，讓他們分享一下各自的想法.

圖6

圖7

之后引導(dǎo)學(xué)生進行小結(jié).在解決平面幾何中直線與圓的相關(guān)問題時，一般都是通過直觀想象、利用圖形理解問題，根據(jù)相關(guān)定義和算理，經(jīng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等解決問題.注意在實際問題中所求解的答案是否滿足現(xiàn)實情景.

評析 （1）在單元復(fù)習(xí)課中要引導(dǎo)學(xué)生反思小結(jié)，形成解決本單元相關(guān)問題的通性、通法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.（2） 在選編題目時，要有意識地設(shè)計一些含邏輯推理、兼顧數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)建模的問題，既兼顧知識的覆蓋面，又注重一定的思維訓(xùn)練，在整合中出新.還要選擇合理的運算路徑和解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).（3）對于具體問題的解決和分析，方法也是多種多樣的，本章內(nèi)容涉及的坐標法、向量法和綜合法應(yīng)用廣泛，鼓勵學(xué)生一題多解，發(fā)展其思維能力，積累解決問題的方法與技巧.

在幾種常見課型中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，只是側(cè)重，并非絕對.事實上，“在直線和圓的方程”新授課中，也常體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，例如，在實際生活中判斷是否人們會受到噪聲影響，通過較多數(shù)據(jù)特征分析得出結(jié)論等.而在習(xí)題課和單元復(fù)習(xí)課中，欲解決一些實際問題，需要經(jīng)歷抽象、建模、演繹等過程，在問題解決的過程中可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)感，同時也要注重學(xué)生演繹推理和數(shù)學(xué)運算的能力.

結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)勢在必行、刻不容緩，但是它的培養(yǎng)過程是長期的、緩慢的，需要在學(xué)習(xí)中不斷積累.在教學(xué)中，主體是學(xué)生，對于學(xué)生相關(guān)素養(yǎng)的培養(yǎng)，主要是通過學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中自主探究、不斷鉆研、主動積累、積極總結(jié)而逐步形成的.在“直線和圓的方程”這一章節(jié)為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)提供了豐富的資源，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他知識奠定了基礎(chǔ).教材中編寫的內(nèi)容對于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是較好的素材，而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)需要教師在不同階段進行引導(dǎo).因此，無論是教師，還是學(xué)生，都應(yīng)該認真領(lǐng)會核心素養(yǎng)的實質(zhì)，提高靈活運用相關(guān)核心素養(yǎng)解決問題的能力.讓我們和學(xué)生一起，在教學(xué)實踐中一同探索、總結(jié)，以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).