基于助學(xué)案的融合課堂初探
——以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課皮克定理為例

◎張文珠 （無(wú)錫市新區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 無(wú)錫 214000）

本節(jié)課是為蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)而設(shè)計(jì)的一節(jié)數(shù)學(xué)專題課.在授課形式上，本節(jié)課屬于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.實(shí)驗(yàn)探究是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要方式，也為同伴互助式課堂提供了很好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái).在課時(shí)內(nèi)容上，本節(jié)課選擇的是格點(diǎn)問(wèn)題.格點(diǎn)問(wèn)題有助于學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)，并且能夠在提高學(xué)生基本技能的同時(shí)逐步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、空間想象能力、邏輯推理能力，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).課時(shí)內(nèi)容打破了學(xué)科界限，融入了地理、美術(shù)等學(xué)科內(nèi)容，達(dá)到了課程育人的目的.在學(xué)習(xí)形式上，采用的是基于助學(xué)案的同伴互助學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.這種學(xué)習(xí)方式可達(dá)到學(xué)習(xí)者個(gè)人和同伴的共同提高.下面，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課皮克定理為例，結(jié)合相關(guān)教學(xué)片段談?wù)勛髡咦约旱恼J(rèn)識(shí).

學(xué)情分析：學(xué)生在小學(xué)階段經(jīng)常會(huì)使用釘子圖或方格紙，進(jìn)入初中階段，在蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)《6.4 平行》《6.5 垂直》中也使用方格紙進(jìn)行了平行線和垂線唯一性的探索，已經(jīng)初步具有工具意識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想.對(duì)于多邊形面積的求法，無(wú)論是公式法還是割補(bǔ)法，學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備.這些，就是開(kāi)展本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的基礎(chǔ).

一、基于課型，“兩案”相融，合二為一

初中階段的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有兩類：實(shí)際操作型實(shí)驗(yàn)和邏輯推理型實(shí)驗(yàn).實(shí)際操作型實(shí)驗(yàn)就是學(xué)生利用一些紙片、木棒、測(cè)量工具、計(jì)算機(jī)等實(shí)物進(jìn)行量、折、拼等活動(dòng)，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和解決問(wèn)題的方法.邏輯推理型實(shí)驗(yàn)就是學(xué)生不借助于實(shí)物工具，而是運(yùn)用模擬、類比、聯(lián)想等方法進(jìn)行邏輯推理，以獲得正確實(shí)驗(yàn)結(jié)果.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既可以是教學(xué)片段，也可以設(shè)計(jì)成專題實(shí)驗(yàn)課.本課時(shí)屬于實(shí)際操作型專題數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.

課前設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)本課時(shí)內(nèi)容和課時(shí)類型，制定的是同伴互助型學(xué)習(xí)方式，并制作了“兩案”：助學(xué)案和實(shí)驗(yàn)報(bào)告.本課時(shí)助學(xué)案的設(shè)計(jì)理念是“基于理解的逆向設(shè)計(jì)”，就是教師在考慮如何開(kāi)展教與學(xué)活動(dòng)之前，先努力思考學(xué)習(xí)要達(dá)到的目的到底是什么，以及哪些證據(jù)表明學(xué)習(xí)達(dá)到了目的，也就是“以終為始”，從學(xué)習(xí)結(jié)果開(kāi)始逆向思考.助學(xué)案的這種設(shè)計(jì)理念，旨在促使學(xué)生參與探究活動(dòng)，提升學(xué)習(xí)遷移能力，為學(xué)生提供理解的框架，幫助他們理解一些零散的知識(shí)，并揭示與內(nèi)容相關(guān)的大概念.這種設(shè)計(jì)方式，對(duì)我們的教學(xué)研究從經(jīng)驗(yàn)型轉(zhuǎn)向?qū)嵶C型，對(duì)教學(xué)從知識(shí)為本轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)為本，都是具有實(shí)際操作性和借鑒意義的.基于皮克定理是一節(jié)專題數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，實(shí)驗(yàn)報(bào)告的設(shè)計(jì)與書(shū)寫(xiě)也是其重要組成部分.它不僅記錄了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，也是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的信息反饋.教師可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)報(bào)告的反饋，了解教與學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題，及時(shí)解決問(wèn)題.而實(shí)驗(yàn)報(bào)告的書(shū)寫(xiě)，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要掌握的一項(xiàng)重要的基本技能.它不僅僅是記錄實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，更重要的是它可以初步地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的邏輯歸納能力、綜合分析能力和文字表達(dá)能力.

在課時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)“兩案”有很多地方是相輔相成的，于是將“兩案”合一，將實(shí)驗(yàn)報(bào)告融入助學(xué)案，給學(xué)生提供一個(gè)完整的實(shí)驗(yàn)過(guò)程（見(jiàn)表1）.

表1 “兩案”合一的助學(xué)案設(shè)計(jì)

續(xù) 表

助學(xué)式實(shí)驗(yàn)報(bào)告由“預(yù)學(xué)、嘗試、互動(dòng)、反饋”四個(gè)助學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成，滲透“基于理解的逆向設(shè)計(jì)”理念，設(shè)計(jì)中“教、學(xué)、評(píng)”統(tǒng)一，讓學(xué)生循序漸進(jìn)展開(kāi)互助學(xué)習(xí).為了實(shí)驗(yàn)課能高效開(kāi)展，實(shí)驗(yàn)報(bào)告在“預(yù)學(xué)”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三個(gè)任務(wù)：一是計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)從“數(shù)格子”到“特殊多邊形的面積公式”再到“割補(bǔ)法”的運(yùn)用過(guò)程，從而達(dá)到知識(shí)喚醒的目的，為皮克定理提供探究基礎(chǔ).二是搜集太湖的相關(guān)資料，讓學(xué)生在搜集資料的過(guò)程中增加相關(guān)地理知識(shí)，感受祖國(guó)大好河山的壯麗.三是進(jìn)行小組分工，明確職責(zé)，設(shè)計(jì)隊(duì)徽.小組隊(duì)徽的設(shè)計(jì)也增加了小組的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和凝聚力，為實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展做好了充分的準(zhǔn)備工作.“嘗試”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)是介紹太湖，估算地圖上太湖的圖上面積，讓學(xué)生感受到已有知識(shí)和能力不足以解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，目的是讓學(xué)生遇挫，從而順利引入新知的探究.在“互動(dòng)”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)完整的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，探索和驗(yàn)證皮克定理的具體內(nèi)容.這一環(huán)節(jié)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，教師以一個(gè)組織者、引導(dǎo)者與合作者的身份參與探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“畫(huà)圖—列表—分析數(shù)據(jù)—尋找規(guī)律—猜想—驗(yàn)證”的過(guò)程，滲透“特殊到一般、變量控制、分類討論、符號(hào)意識(shí)”等數(shù)學(xué)方法和素養(yǎng).“反饋”環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了總結(jié)實(shí)驗(yàn)成果、新知應(yīng)用、多維評(píng)價(jià)三個(gè)內(nèi)容.小組在隊(duì)徽的設(shè)計(jì)、計(jì)算面積的拓展活動(dòng)中，充分發(fā)揮同伴互助的學(xué)習(xí)優(yōu)勢(shì)，最終解決問(wèn)題.在助學(xué)式實(shí)驗(yàn)報(bào)告中，不僅有完整的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，而且有一個(gè)完整的學(xué)習(xí)應(yīng)用過(guò)程，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中收獲的不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還有教師隱性的數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

二、基于學(xué)案，多維相融，實(shí)現(xiàn)課程育人

1.立足學(xué)科，以融合強(qiáng)學(xué)科

融合理念下的課程實(shí)施是以“學(xué)科知識(shí)＋”為基本形態(tài)的，這就是要打破學(xué)科局限，進(jìn)行多學(xué)科融合，通過(guò)不同學(xué)科之間的融合生成對(duì)本學(xué)科新的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科走向立體.無(wú)錫，位于太湖之濱，被稱為“太湖明珠”，自古就是魚(yú)米之鄉(xiāng)，是吳文化的發(fā)源地.在助學(xué)案“嘗試”板塊中以此架構(gòu)文化背景滲透愛(ài)國(guó)主義教育，在歷史、地理知識(shí)的融合下，設(shè)計(jì)“估算地圖上太湖的圖上面積”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，將問(wèn)題置于情境中.皮克定理是基于格點(diǎn)作圖展開(kāi)的探究，因此將生活中的圖形、創(chuàng)作的圖形設(shè)計(jì)成格點(diǎn)圖解決問(wèn)題是本節(jié)課的難點(diǎn).這一過(guò)程又融合了學(xué)生的審美、創(chuàng)作、繪畫(huà)能力，將美術(shù)課程的精髓融入了數(shù)學(xué)課堂.學(xué)科的融合，讓有價(jià)值的知識(shí)打破學(xué)科界限，創(chuàng)生出新的領(lǐng)域或者對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科走向豐盈，讓學(xué)生在整體上把握知識(shí)的來(lái)龍去脈.

2.立足經(jīng)驗(yàn)，以融合促經(jīng)驗(yàn)

在學(xué)生參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生解決由生活走向課堂的、由學(xué)生結(jié)合自己經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更加深刻，更有意義，融合度更高.以本課時(shí)為例，在助學(xué)案“反饋”板塊中，要求學(xué)習(xí)小組將自主設(shè)計(jì)的隊(duì)徽轉(zhuǎn)換為格點(diǎn)圖，并用所學(xué)皮克定理的知識(shí)計(jì)算隊(duì)徽面積，是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題.學(xué)生設(shè)計(jì)的隊(duì)徽涉及體育、動(dòng)物、工具、英文字母等.學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，他們會(huì)綜合課內(nèi)課外、自身所學(xué)的知識(shí)，這樣融合的不僅涵蓋學(xué)科知識(shí)、生活常識(shí)，還有同學(xué)之間不同的技能（畫(huà)畫(huà)、創(chuàng)作、審美）等.除了這些顯性的技能，一些隱性的經(jīng)驗(yàn)也不可忽略.這節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，教師立足學(xué)生主體活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)完整的解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生積累了解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，清晰地表達(dá)自己的想法，發(fā)展了合情推理和演繹推理的能力.

3.立足育人，以融合鑄素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)不僅承載著傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重任，還肩負(fù)著數(shù)學(xué)育人的重任.這需要通過(guò)學(xué)科間、校內(nèi)外、個(gè)體與社會(huì)之間的廣泛融合，促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)，達(dá)到育人的最終目的.育人的最終指向要求學(xué)生關(guān)注生活現(xiàn)實(shí)，通過(guò)教師采取的真實(shí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生素養(yǎng)的提升，這是融合理念下的融合課堂典型的共性特征.本課時(shí)中，太湖圖上面積的估算以及小組隊(duì)徽的設(shè)計(jì)和計(jì)算，都是源于現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)問(wèn)題、真實(shí)需求，基于學(xué)科知識(shí)的融合，基于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的融合，基于社會(huì)需求的融合.“數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、符號(hào)意識(shí)”等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，為學(xué)生解決問(wèn)題提供了專業(yè)的知識(shí)、技能和方法，在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中其素養(yǎng)也得到了提升.這是基于社會(huì)需求的融合，是立足社會(huì)發(fā)展的需求.

三、基于課堂，同伴學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)能力提升

融合課堂，不僅是學(xué)科與學(xué)科、經(jīng)驗(yàn)與技能、方法和素養(yǎng)、學(xué)習(xí)與生活的融合，還是一個(gè)學(xué)生共學(xué)、共促、共享、共創(chuàng)、共贏的主陣地.在課堂上，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生學(xué)會(huì)了尊重、合作與分享.本課時(shí)從課前的小組分工、資料搜集開(kāi)始，學(xué)生就進(jìn)入了一個(gè)團(tuán)隊(duì)角色扮演，這個(gè)團(tuán)隊(duì)有組織、有任務(wù).在小組探究過(guò)程中，成員能力的參差不齊也給同伴互助學(xué)習(xí)創(chuàng)造了契機(jī)，從而取長(zhǎng)補(bǔ)短，共克難關(guān).皮克定理的探究過(guò)程有兩個(gè)難點(diǎn)：一是學(xué)生在設(shè)計(jì)圖形時(shí)，畫(huà)出的圖形不能滿足內(nèi)部點(diǎn)數(shù)的要求，得出數(shù)據(jù)直接影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果.通過(guò)小組同伴互助學(xué)習(xí)，總結(jié)出的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是先確定圖形內(nèi)部的點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的位置來(lái)設(shè)計(jì)格點(diǎn)圖形更方便.二是尋找，，之間的關(guān)系，小組內(nèi)同學(xué)會(huì)有不同的結(jié)論，此時(shí)同伴之間可根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)互相糾錯(cuò)，討論并訂正，直至找到正確的數(shù)量關(guān)系.這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的得出、問(wèn)題的解決就是同伴互助學(xué)習(xí)的成果.

融合課堂重點(diǎn)關(guān)注的是綜合所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生自主探究等超越學(xué)科的綜合能力與品格.這樣設(shè)計(jì)，學(xué)生由于親自動(dòng)手操作，從一個(gè)旁觀者和聽(tīng)眾變成了一個(gè)參與者，因此更容易對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果、產(chǎn)生結(jié)果的原因、新的知識(shí)以及新的方法等產(chǎn)生強(qiáng)烈的好奇心.在這種內(nèi)驅(qū)力的推動(dòng)下，他們會(huì)主動(dòng)尋求同伴的幫助，并將自己的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和同伴分享，在分享過(guò)程中不斷完善實(shí)驗(yàn)過(guò)程和結(jié)論，達(dá)到一個(gè)共同進(jìn)步的雙贏狀態(tài).而這些，就是作為引導(dǎo)者的教師最期望看見(jiàn)的.