線上線下混合教學(xué)模式在傅里葉級數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

◎張艷娟 馬德宜 柳福祥 （三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

一、引 言

從2012 年開始，MOOC 熱席卷全球，深刻影響和改變了傳統(tǒng)教育模式.尤其是近五年，超星、雨課堂、慕課堂和釘釘智能移動辦公平臺等教學(xué)軟件發(fā)展迅速，使學(xué)生打破原有固定而封閉的學(xué)習(xí)時空限制，能夠充分利用多樣化媒體終端，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還能夠讓學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)當(dāng)中，進而提升學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率.

傅里葉級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的一個基本且重要的知識點，具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì).學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而且傅里葉級數(shù)在物理學(xué)科、移動通信等工學(xué)學(xué)科具有非常廣泛的應(yīng)用.本文以傅里葉級數(shù)教學(xué)為例，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力為導(dǎo)向，注重教學(xué)由教師為主體的傳統(tǒng)型教學(xué)理念向以學(xué)生為中心的自主型教學(xué)理念轉(zhuǎn)變，針對三峽大學(xué)教學(xué)的實際情況和大學(xué)生自身的特點，借5G 技術(shù)帶來的發(fā)展契機，充分利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的優(yōu)勢，建構(gòu)最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)資源平臺，彌補網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源的不足，保證網(wǎng)絡(luò)教學(xué)質(zhì)量，探索如何將現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理念運用到線上線下混合式教學(xué)的改革與實踐中.

二、復(fù)數(shù)域傅里葉級數(shù)線上線下混合教學(xué)設(shè)計

首先，研究省內(nèi)外大學(xué)數(shù)學(xué)線上線下混合教學(xué)模式的形勢，了解其如何制訂培養(yǎng)目標(biāo)和計劃，對省內(nèi)外網(wǎng)絡(luò)信息平臺上的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)資源等內(nèi)容進行研究與整合，在嚴(yán)格遵守國家有關(guān)版權(quán)法律法規(guī)的前提下，研發(fā)適合于三峽大學(xué)學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的有效應(yīng)用形式與內(nèi)容.

其次，教學(xué)內(nèi)容是線上線下混合教學(xué)質(zhì)量的核心，主要包括教材、講義、課件、作業(yè)等.其中教材建設(shè)是首要任務(wù).本文針對三峽大學(xué)開設(shè)的學(xué)科專業(yè)課程模式和學(xué)生的特點，從通俗性、直觀性、趣味性和可讀性等角度，修訂傅里葉級數(shù)課堂講義和相關(guān)課程學(xué)習(xí)的各種輔導(dǎo)資料，進一步修訂三峽大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的高等數(shù)學(xué)系列教材，突顯教材的親和性和它的自學(xué)功能.三峽大學(xué)復(fù)數(shù)域傅里葉級數(shù)的授課對象是大學(xué)一年級下學(xué)期的學(xué)生.通過高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計等基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了微積分的計算能力、矩陣的運算能力、用矩陣方法解決實際問題的能力以及運用概率與統(tǒng)計方法分析和解決實際問題的能力，同時學(xué)生的抽象思維能力和數(shù)學(xué)建模能力也受到了一定的訓(xùn)練.但是，學(xué)生還沒有建立數(shù)學(xué)與他們的專業(yè)之間的關(guān)聯(lián)，因此在復(fù)數(shù)域傅里葉級數(shù)的線上線下混合教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)三峽大學(xué)各個學(xué)院開設(shè)的學(xué)科專業(yè)課程模式，建立學(xué)生的數(shù)學(xué)與專業(yè)應(yīng)用的認(rèn)知，通過增加相應(yīng)的實際問題應(yīng)用案例，加入相關(guān)的科普知識來拓寬學(xué)生的視野，增強學(xué)生的認(rèn)知能力，讓學(xué)生了解如何運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，以增強學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)課程的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為進一步學(xué)習(xí)專業(yè)課打下基礎(chǔ).

（1）教學(xué)設(shè)計的思路

線上線下混合式教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的主要區(qū)別在于線上線下混合式教學(xué)更加強調(diào)線上優(yōu)質(zhì)的、開放的、共享的教學(xué)資源對教師“教”的支撐及對學(xué)習(xí)者“學(xué)”的助力，通過利用信息技術(shù)開展啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式教學(xué).按照傳統(tǒng)的授課方式教學(xué)完傅里葉級數(shù)及收斂定理后，通常學(xué)生的反應(yīng)是：摸不著頭緒，無從入手，很難理解.研究三峽大學(xué)傅里葉級數(shù)教學(xué)過程中存在的問題，有助于嚴(yán)格傅里葉級數(shù)教學(xué)質(zhì)量控制的制度化管理.教學(xué)質(zhì)量控制的各個環(huán)節(jié)一旦經(jīng)過教學(xué)團隊確立后，將作為制度進行嚴(yán)格執(zhí)行，各部分內(nèi)容會做成標(biāo)準(zhǔn)化的模塊逐漸展開，以確保教學(xué)質(zhì)量的穩(wěn)定性和持續(xù)性.隨形勢變化需要調(diào)整內(nèi)容時，需在制度執(zhí)行周期結(jié)束后，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)團隊協(xié)商修訂.標(biāo)準(zhǔn)化和制度化的教學(xué)流程是解決因個體差異而導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量不穩(wěn)定的重要保證.因此，設(shè)計適合線上課程與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的混合式教學(xué)模式，引領(lǐng)學(xué)生逐步理解傅里葉級數(shù)的內(nèi)涵，才是解決教學(xué)難題的關(guān)鍵所在.

（2）教學(xué)目標(biāo)

首先要保證傅里葉級數(shù)教學(xué)的質(zhì)量.這也是線上線下教學(xué)的核心問題.設(shè)計教學(xué)思路以及教學(xué)過程，提出大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量控制的命題的目的是明確大學(xué)數(shù)學(xué)線上線下教學(xué)主要環(huán)節(jié)的主要工作，并選擇與其相適應(yīng)的多樣化、互補的教學(xué)模式，實現(xiàn)對教學(xué)過程的全程管理.同時，通過對線上線下教學(xué)過程的分析，提煉影響網(wǎng)絡(luò)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵點，可以更好地完成線上線下教學(xué)任務(wù)，保證線上線下教學(xué)的質(zhì)量.其次要引導(dǎo)學(xué)生在通過微視頻和課件從具體問題情境分析抽象出傅里葉級數(shù)概念，并且在預(yù)習(xí)的過程中學(xué)會數(shù)學(xué)語言的表述，進行積極有效地學(xué)習(xí).構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)教學(xué)中基于大數(shù)據(jù)背景下教學(xué)實時反饋和學(xué)生反饋評價機制，促使教師關(guān)心網(wǎng)絡(luò)教學(xué)過程中自身行為的效用以及在線上線下教學(xué)的過程中要注意因材施教，有針對性地調(diào)整教學(xué)重點與教學(xué)方式，保證線上線下教學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

（3）教學(xué)過程設(shè)計

基于教學(xué)要求、線上學(xué)習(xí)資源、線上互動、線上測試等活動綜合考慮，我們對傅里葉級數(shù)的線上線下混合教學(xué)內(nèi)容進行了設(shè)計.首先教師提前在長江雨課堂中發(fā)布傅里葉級數(shù)教學(xué)內(nèi)容的PPT 課件以及重點難點，為學(xué)生的課前準(zhǔn)備提供指引.學(xué)生的課前工作主要是根據(jù)教師發(fā)布的課件、布置的任務(wù)和相關(guān)資料自主地進行理論學(xué)習(xí)，然后在班級群中向教師反饋學(xué)習(xí)疑點和難點.授課教師需要在課前對學(xué)生提出的疑點問題進行收集整理.其次是在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，授課教師針對課前學(xué)生集中反饋的難懂、不會的知識點進行講解.與此同時，教師作為引導(dǎo)者，通過提問鼓勵學(xué)生積極參與課堂的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進行更深層次討論，以便能夠準(zhǔn)確地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時地調(diào)整上課進度.課堂最后10 min 左右，進行教學(xué)效果的檢測，以達到對所學(xué)內(nèi)容的鞏固和深化，保證教學(xué)質(zhì)量.每章結(jié)束后進行傅里葉級數(shù)教學(xué)內(nèi)容的測試.考試結(jié)果是學(xué)情的一種直觀展示.考試既可以及時發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足，提高學(xué)生的聽課效率，又可以在后繼的教學(xué)中有針對性地查缺補漏.考試是提高教學(xué)質(zhì)量的有效途徑.

傅里葉級數(shù)教學(xué)模式：“教師—網(wǎng)絡(luò)教學(xué)—學(xué)生”三位一體，“課前—課中—課后”三個環(huán)節(jié)緊密銜接、相輔相成.教學(xué)流程圖如圖所示：

傅里葉級數(shù)的教學(xué)設(shè)計：

①借助長江雨課堂發(fā)布預(yù)習(xí)課件，并提出預(yù)設(shè)問題：

問題1 什么是三角級數(shù)？ 如何理解三角函數(shù)系的正交性？

問題2 為什么傅里葉級數(shù)收斂定理又可理解為展開定理？

問題3 周期為2π 的周期函數(shù)（）展開為傅里葉級數(shù)有哪些步驟？

②概念引入：首先回顧線性代數(shù)中正交基的概念，思考函數(shù)空間正交基的表示，再向?qū)W生展示波是怎樣疊加的，將教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的經(jīng)驗聯(lián)系起來.設(shè)置提問：如何將一個周期函數(shù)展開成三角函數(shù)？ 利用三角函數(shù)的正交性傅里葉系數(shù)，讓學(xué)生猜想三角函數(shù)中系數(shù)的計算公式.開展互動教學(xué)，進一步舉例，讓學(xué)生明白本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點與難點.

函數(shù)（）的傅里葉級數(shù)的前4 階的圖形如下圖所示：

④課堂檢測：學(xué)生在課堂上根據(jù)授課教師布置的習(xí)題進行練習(xí)，能夠更好地掌握和鞏固傅里葉級數(shù)的知識，保證教學(xué)質(zhì)量.

三、教學(xué)反饋

通過線上線下混合式教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，課堂上學(xué)生能夠認(rèn)真聽講，并且與授課教師展開積極互動.從課堂檢測以及課后布置的作業(yè)來看，學(xué)生對于所講的重點內(nèi)容大部分都能夠掌握.為了了解和改進線上線下混合式教學(xué)改革實踐的效果，教學(xué)團隊圍繞傅里葉級數(shù)教學(xué)的效果以及評價展開問卷調(diào)查.調(diào)查在授課班級的學(xué)生中隨機選擇121 人.調(diào)查開展的時間為2021 年3 月1 日至2021 年6 月18 日.問卷調(diào)查的每種選項對教學(xué)效果的評價以及影響設(shè)置為不同意、中立、同意三個等級.被調(diào)查的學(xué)生匿名地對問卷選項做出選擇，收回問卷121 份.其中，同意選項占89.72%，中立選項占10.28%，不同意選項占0%.通過問卷調(diào)查反饋的結(jié)果可以看出，80%以上的學(xué)生對線上線下混合式教學(xué)和混合式學(xué)習(xí)持肯定態(tài)度，認(rèn)為這種教學(xué)方式能夠彌補傳統(tǒng)課堂教學(xué)的不足.

運用學(xué)生對教師教學(xué)情況的反饋評價，以及學(xué)院教學(xué)督導(dǎo)團對大學(xué)數(shù)學(xué)線上線下教學(xué)課程的隨聽隨查和教學(xué)效果及時有效反饋，使授課教師意識到在教學(xué)過程中兼顧傳統(tǒng)教學(xué)與線上教學(xué)的差異性，有針對性地調(diào)整教學(xué)重點與教學(xué)方式，不斷在自我總結(jié)與改進中提升教學(xué)質(zhì)量，不僅能促進師生之間和學(xué)生之間信息溝通的廣度和深度，而且有利于學(xué)生對知識的掌握和理解，有效地提高了課堂教學(xué)質(zhì)量.大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)線上線下混合教學(xué)模式有效開展與實施，將會有效地提高學(xué)生自身的自學(xué)能力、存在問題與老師及時交流溝通的能力、自主解決問題的能力以及對自我客觀評價的能力，從而為學(xué)生的大學(xué)生活與未來職業(yè)生涯奠定良好的數(shù)理基礎(chǔ).