裂紋面分布加載裂尖SIFs分析的廣義參數(shù)Williams單元*

徐 華， 曹 政， 鄒云鵬， 楊綠峰

（1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004；2.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004；3.廣西桂能工程咨詢集團(tuán)有限公司，南寧 530015）

引 言

工程結(jié)構(gòu)通常是帶裂縫工作的，如水文環(huán)境中的混凝土壩、海洋工程、地下工程和壓力容器等，其結(jié)構(gòu)表面的裂縫易遭受流體侵入，有可能加速裂縫擴(kuò)展與連通，引起結(jié)構(gòu)的局部強(qiáng)度和整體承載力降低，甚至引發(fā)結(jié)構(gòu)失效破壞，這些重大工程一旦破壞將引起難以估量的損失.因此，對(duì)裂紋面受荷的工程結(jié)構(gòu)斷裂行為研究具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.

裂紋面受荷時(shí)，其裂尖附近應(yīng)力場和位移場較復(fù)雜，難以定量描述，通常仍以SIFs作為裂尖附近應(yīng)力-應(yīng)變場強(qiáng)弱程度的度量，并可據(jù)此進(jìn)一步判斷結(jié)構(gòu)的安全性.基于此，國內(nèi)外學(xué)者圍繞裂紋面加載的裂尖SIFs開展了大量研究工作.劉鈞玉等[1-2]、Zhong等[3]和陳白斌等[4]基于比例邊界有限元法，分別對(duì)裂紋面受拉伸荷載的單邊裂紋、多裂紋和界面裂紋的裂尖SIFs進(jìn)行了分析，該方法相較于普通有限單元法，需引入多個(gè)系數(shù)矩陣，增加了計(jì)算工作量.李亞等[5]采用線場分析方法，對(duì)無限大板中心裂紋面受均布荷載的應(yīng)力場進(jìn)行修正，進(jìn)而得到了有限寬板中心裂紋的裂尖SIFs，但不同的裂紋模型均需相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力函數(shù).Fett等[6]利用ABAQUS有限元軟件擬合半無限大板邊界斜裂紋面上受集中力的權(quán)函數(shù)，以此求解了裂尖復(fù)合型SIFs.文獻(xiàn)[5-6]針對(duì)不同的裂紋模型，均需找到相對(duì)應(yīng)的函數(shù)才能求解SIFs，不具有通用性.Li等[7]采用柔度法求解有限寬板邊界裂紋面受分布荷載的裂尖SIFs，需通過疊加法對(duì)原始模型進(jìn)行拆分處理，不能直接求解.Walters等[8]針對(duì)三維模型中裂紋面受荷的平面裂紋SIFs，基于相互作用積分法分離出獨(dú)立的裂紋面荷載積分項(xiàng)，提高了計(jì)算精度.Muthu等[9]提出了一種基于擴(kuò)展無網(wǎng)格Galerkin法的裂紋閉合積分理論，通過求解應(yīng)變能釋放率獲得裂尖SIFs的方法.在實(shí)際工程方面，賈金生等[10]基于斷裂力學(xué)理論估算了重力壩壩踵水平裂縫中含高壓水的裂尖SIFs，但基本假設(shè)較為粗略，與實(shí)際結(jié)果存在較大誤差.唐世斌等[11]建立了在土壓力、裂紋面和井筒內(nèi)水壓耦合作用下的射孔裂尖SIFs計(jì)算方程.綜上所述，當(dāng)前的裂紋面受荷問題仍以有限單元法為主，但該方法本身仍存在較大的改進(jìn)空間.廣義參數(shù)有限元法[12]是有限單元法的一個(gè)分支，該方法通過整體控制方程求解出與SIFs直接相關(guān)的廣義參數(shù)，避免了線性外推擬合等繁瑣的后處理過程引起的二次誤差，從而具有很高的精度.但該方法建立的W單元需滿足奇異區(qū)內(nèi)裂紋面自由的邊界條件，即 σφ=0，τρφ=0(φ=±π)，而裂紋面受荷時(shí)不滿足該邊界條件，仍需改進(jìn).

針對(duì)同樣不滿足邊界條件的曲線裂紋[13]，課題組在裂尖建立等效區(qū)，將等效區(qū)內(nèi)的曲線轉(zhuǎn)換為折線以滿足W單元的邊界條件，受此思想啟發(fā)，對(duì)裂紋面直接受荷模型，本文提出了一種基于SIFs互等的裂紋面裂尖奇異區(qū)荷載等效處理方法，即將奇異區(qū)內(nèi)的分布荷載等效為奇異區(qū)邊界的集中荷載，避免奇異區(qū)裂紋面受荷而無法使用W單元求解，充分發(fā)揮了W單元求解SIFs的高精高效優(yōu)勢(shì).同時(shí)，通過算例分析，給定荷載類型等效系數(shù)建議值，為裂紋面受荷求解裂尖SIFs提供了新的思路.

1 裂尖局部分布荷載的等效處理

以一含邊界裂紋的矩形板為例，其板高為2H，板寬為W，裂紋長度為a，在裂紋張口處建立整體坐標(biāo)系XOY，取裂尖局部等效區(qū)邊長為2c，裂紋面受到分布?jí)毫?σ(X)=σ0|1-X/a|λ， σ0為O點(diǎn)處壓力值，如圖1所示.

圖1 裂尖局部面荷載等效Fig.1 Crack tip local surface load equivalence

筆者嘗試推導(dǎo)整個(gè)裂紋面加載時(shí)裂尖應(yīng)力場和位移場的Williams級(jí)數(shù)表達(dá)式，即裂紋面為非自由面，此時(shí)，因邊界條件較難處理，其表達(dá)式異常復(fù)雜.根據(jù)《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》[14]，裂尖局部加載和裂紋面上作用集中力情況均有高精度的參考解.基于此，現(xiàn)提出利用SIFs互等，即將裂尖局部分布力等效為裂紋面上一對(duì)集中力Q，如圖1所示.以λ=0為例，裂尖局部均布荷載σ0和裂紋面集中荷載Q作用時(shí)，其裂尖Ⅰ型SIFs表達(dá)式為

式中，KI，分別表示僅裂尖局部受分布?jí)毫土鸭y面受一對(duì)集中壓力的Ⅰ型SIFs；p，p′分別表示裂尖局部加載和裂紋面作用集中力時(shí)的荷載系數(shù)，詳見文獻(xiàn)[14].

假定KI=則集中力Q與裂尖局部荷載σ0有如下關(guān)系：

由此，可得到裂紋面局部受均布荷載的等效公式.同理，可以推導(dǎo)裂紋面裂尖局部長度c上受分布荷載σ (X)的等效公式，即

式中，P表示等效荷載系數(shù)，

2 基于W單元確定裂紋面受荷的SIFs

2.1 裂紋面奇異區(qū)受荷的W單元模型

如圖1所示，綠色正方形區(qū)域?yàn)榱鸭馄娈悈^(qū)，其外圍為常規(guī)區(qū)，因W單元對(duì)奇異區(qū)尺寸不敏感，假定本文選取的奇異區(qū)尺寸等于上節(jié)中的裂尖局部尺寸.奇異區(qū)內(nèi)采用W單元，外圍常規(guī)區(qū)選用四邊形8節(jié)點(diǎn)等參單元；常規(guī)區(qū)網(wǎng)格可通過ANSYS有限元軟件進(jìn)行自由離散，奇異區(qū)的網(wǎng)格劃分規(guī)則如下：將奇異區(qū)均分為8個(gè)三角形條元，各條元離散為n個(gè)基于徑向離散比例因子α自相似的梯形子單元和一個(gè)裂尖三角形微單元，因裂尖三角形微單元極小，可忽略其剛度貢獻(xiàn)，則將內(nèi)部n個(gè)位移場由Williams級(jí)數(shù)控制的子單元集成的梯形條元定義為W單元.W單元最外層子單元因其一條邊（圖2中的綠色邊界）為奇異區(qū)與常規(guī)區(qū)的交界，保留邊界上3個(gè)實(shí)節(jié)點(diǎn)，內(nèi)部5個(gè)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為虛節(jié)點(diǎn)，稱該單元為過渡單元.奇異區(qū)內(nèi)分布荷載σ (X)可通過等效處理為奇異區(qū)邊界一對(duì)集中力Q，如圖2所示.

圖2 裂尖奇異區(qū)網(wǎng)格劃分及分布荷載等效Fig.2 Discretization and distributed load equivalence in the crack tip singular region

以裂尖為局部坐標(biāo)原點(diǎn)o，建立局部直角坐標(biāo)系xoy，如圖2所示.以Williams級(jí)數(shù)表示裂尖奇異區(qū)位移場，并取級(jí)數(shù)的前m+ 1項(xiàng)：

式中，u，v分別表示裂尖局部直角坐標(biāo)系下x，y軸對(duì)應(yīng)的位移分量；ρ，φ分別表示裂尖局部極坐標(biāo)系下的極徑和極角分量，fl,11(φ)，fl,12(φ)，fl,21(φ)，fl,22(φ)為三角函數(shù)，具體取值可參考文獻(xiàn)[12].

2.2 奇異區(qū)剛度方程集成

以任一W單元為例，根據(jù)四邊形8節(jié)點(diǎn)等參單元理論，該條元內(nèi)任意第k層子單元的剛度方程可表示為

結(jié)合式(4)，將任意第k層子單元位移列陣表示為矩陣形式：

式中，T(k)表示第k層子單元轉(zhuǎn)換矩陣；?表示廣義參數(shù)列陣.

將式(5)等號(hào)兩邊同時(shí)左乘T(k)T得

并可改寫為

式中，K(k)，p(k)分 別為第k層子單元的廣義剛度矩陣和廣義荷載列陣，且當(dāng)k=2 ～n時(shí)，p(k)=0.

根據(jù)式(11)可知，各層子單元?jiǎng)偠染仃嚧笮∠嗤?，且存在相同乘?shù)?，故可將條元內(nèi)第2 ～n層子單元?jiǎng)偠确匠踢M(jìn)行疊加：

即Kss?=0，Kss表示第2～n層子單元廣義剛度矩陣之和.

奇異區(qū)最外層的過渡單元，即W單元中第1層子單元，有3個(gè)實(shí)節(jié)點(diǎn)位于常規(guī)區(qū)與奇異區(qū)交界處，5個(gè)虛節(jié)點(diǎn)位于奇異區(qū)內(nèi)部.根據(jù)節(jié)點(diǎn)所在區(qū)域不同，將過渡單元的位移向量分塊表示為

將過渡單元的廣義剛度方程按照虛、實(shí)節(jié)點(diǎn)分塊表示，并與第2～n層子單元的剛度方程進(jìn)行疊加，因此可得一個(gè)W單元的剛度方程：

根據(jù)式(14)，將8個(gè)W單元?jiǎng)偠确匠踢M(jìn)行集成，并將奇異區(qū)邊界的裂紋面等效荷載Q疊加至相應(yīng)節(jié)點(diǎn)可得到奇異區(qū)的整體剛度方程：

2.3 整體剛度方程的集成

將常規(guī)區(qū)所有單元的剛度方程進(jìn)行集成，并以奇異區(qū)外圍節(jié)點(diǎn)為界，分塊表示為

計(jì)算模型分為常規(guī)區(qū)和奇異區(qū)兩個(gè)部分，即將式(15)和(16)的剛度方程進(jìn)行集成，得到整個(gè)模型的剛度方程：

2.4 SIFs求解

通過引入模型的應(yīng)力、位移邊界條件，對(duì)整體剛度方程式（17）進(jìn)行求解，即可獲得裂尖奇異區(qū)的廣義參數(shù)列陣?.將列陣中的廣義參數(shù)a1，b1分別代入式(18)，計(jì)算獲得裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子：

3 算例分析

3.1 裂紋面受均布?jí)毫?/h3>

例1如圖1所示的邊界裂紋矩形板，其板高為2H，寬為W，且有 W=2H=100cm，裂紋長度為a，板厚t取單位厚度，奇異區(qū)范圍取邊長為2c的正方形.裂紋面施加均布?jí)毫Γ?λ=0）， σ0=1kN/cm2， 彈性模量E=3×104MPa ，Poisson比ν =0.3.因篇幅所限，本文先研究此方法在Ⅰ型裂紋中的適用性，Ⅱ型裂紋另做研究.

取 a /W=0.3的 模型為例，根據(jù)前期研究成果建議奇異區(qū)尺寸取 c =a/20，使用ANSYS有限元軟件對(duì)模型常規(guī)區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格自由離散，此時(shí)離散為146個(gè)單元，501個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖3所示.將常規(guī)區(qū)的單元、節(jié)點(diǎn)信息以及約束等導(dǎo)入自編程的FORTRAN程序，通過求解模型整體剛度方程以獲得裂尖SIFs.P=1.94+0.57(a/W)-1.51(a/W)2.本模型參數(shù)的具體取值如表1所示.

表1 模型參數(shù)（λ=0）Table 1 Model parameters (λ=0)

圖3 常規(guī)區(qū)網(wǎng)格離散Fig.3 Discretization in the regular region

根據(jù)《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》（P303、P304）的裂尖局部面荷載作用下荷載系數(shù)p，p′隨a/W變化曲線圖[14]，通過GetData軟件提取荷載系數(shù)p，p′代表性點(diǎn)的坐標(biāo)，利用Excel軟件擬合即可獲得P與a/W的關(guān)系式：

由表1可以看出，隨著a/W的變化，等效荷載系數(shù)P在1.60～2.00范圍取值.鑒于此，本算例適當(dāng)放大P的取值范圍，研究在P取不同值時(shí)，a/W的變化對(duì)SIFs的影響.

W單元的3個(gè)重要參數(shù)的建議值[12]為 α =0.9， m =20， n =300.將W單元計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的解對(duì)比，為直觀體現(xiàn)各計(jì)算結(jié)果的區(qū)別，將SIFs無量綱化如圖4所示.

圖4 邊界裂紋面受均布?jí)毫τ?jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results for uniformly distributed pressure on the crack surface

均布?jí)毫ψ饔糜谶吔缌鸭y面時(shí)，若忽略奇異區(qū)裂紋面的荷載（P=0），計(jì)算誤差為4%～17%，且隨著a/W的增大而減小，表明隨著裂紋長度的增加，裂尖局部荷載對(duì)SIFs的影響逐漸變小.對(duì)奇異區(qū)裂紋面荷載等效處理后，現(xiàn)選取1%為誤差限，根據(jù)疊加法可知，當(dāng)P的取值范圍為[2.0，2.1]時(shí)，任意a/W均滿足該誤差限.整體上，隨著a/W的增加，無量綱SIFs呈增大的趨勢(shì)，且增大的趨勢(shì)愈加顯著.

例2當(dāng)均布?jí)毫ψ饔糜谥行牧鸭y上，如圖5所示，其板高為2H，寬為2W，且有W=H=100cm，矩形板厚度t為單位厚度，裂紋長度為2a，奇異區(qū)邊長2c，材料參數(shù)同本算例的邊界裂紋板.

圖5 中心裂紋面受均布荷載Fig.5 The uniformly distributed load on the central

根據(jù)對(duì)稱性，取半模型進(jìn)行分析，以a/W=0.3的 模型為例，根據(jù)前期研究成果建議奇異區(qū)尺寸取c=a/20，使用ANSYS有限元軟件對(duì)模型常規(guī)區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格自由離散，此時(shí)離散為181個(gè)單元，602個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖6所示.將常規(guī)區(qū)的單元、節(jié)點(diǎn)信息以及約束等導(dǎo)入自編程的FORTRAN程序，通過求解模型整體剛度方程以獲得裂尖SIFs.

圖6 常規(guī)區(qū)網(wǎng)格離散Fig.6 Discretization in the regular region

根據(jù)《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》[14]擬合出中心裂紋的等效荷載公式P=2.03+0.11(a/W)+0.11(a/W)2.當(dāng)a/W取值在[0.01，0.8]區(qū)間時(shí)，P的取值范圍為[2.03，2.18].適當(dāng)放大P的取值范圍，研究P取不同值的情況下，a/W的變化對(duì)SIFs的影響.

W單元的3個(gè)重要參數(shù)的建議值[12]為 α =0.9，m=20，n=300.將W單元計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的解對(duì)比，如圖7所示.

圖7 中心裂紋面受均布?jí)毫τ?jì)算結(jié)果Fig.7 Calculation results for uniformly distributed pressure on the central crack surface

均布?jí)毫ψ饔糜谥行牧鸭y面時(shí)，若忽略奇異區(qū)裂紋面的荷載（P=0），計(jì)算誤差均在11%以上，最大達(dá)到20.2%，且該誤差隨著a/W的增大而逐漸減小.同樣以1%為誤差限，根據(jù)疊加原理可以推斷出，對(duì)任意a/W，均滿足該誤差限要求的P取值范圍為[1.95, 2.05].隨著中心裂紋板的裂紋長度增加，無量綱SIFs呈遞增的趨勢(shì)，且遞增幅度逐漸變大.

綜上，對(duì)奇異區(qū)荷載進(jìn)行等效處理是有必要的，在1%的誤差限下，現(xiàn)給出P建議取值為2.0，不僅對(duì)裂紋面受均布?jí)毫Φ倪吔缌鸭y和中心裂紋都有良好的適用性，且保證了計(jì)算精度.均布荷載和線性荷載是工程中常見的荷載類型，故下文將以裂紋面受線性壓力為例，驗(yàn)證P建議取值的通用性.

3.2 裂紋面受線性壓力

算例各參數(shù)具體取值與模型網(wǎng)格劃分同本文的例1和例2，僅荷載形式不一樣，此時(shí)施加于裂紋面的分布?jí)毫棣?(X)=σ0|1-X/a|λ，σ0=1kN/cm2，λ =1.結(jié)合本文的荷載等效處理方法和W單元求解算例中的SIFs.

將常規(guī)區(qū)的單元、節(jié)點(diǎn)信息以及約束等導(dǎo)入自編程的FORTRAN程序，通過求解模型整體剛度方程以獲得裂尖SIFs.本算例中，W單元重要參數(shù)建議值為α =0.9，m=20，n=300.

① 裂紋面受到線性壓力時(shí)，由于文獻(xiàn)[14]無荷載系數(shù)p，p′的具體取值，故無法擬合出等效荷載系數(shù)P的關(guān)系式.現(xiàn)嘗試P=2.0的建議取值時(shí)，研究不同a/W模型下的邊界裂紋和中心裂紋SIFs，并與文獻(xiàn)[14]的參考解進(jìn)行比較.無量綱SIFs的計(jì)算結(jié)果如圖8所示.

由圖8可知，當(dāng)P=2.0時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差均滿足1%的誤差限，證明在分析裂紋面受線性壓力的中心裂紋或邊界裂紋問題時(shí)，荷載等效的處理方法均有很好的通用性和高精性.當(dāng)裂紋長度較小時(shí)，邊界裂紋與中心裂紋的無量綱SIFs接近，而隨著a/W的增大，無量綱SIFs呈增大的趨勢(shì)，且邊界裂紋的增長幅度大于中心裂紋.

圖8 裂紋面受線性壓力計(jì)算結(jié)果Fig.8 Calculation results for linear pressure on the crack surface

② 當(dāng)P=2.0 時(shí) ，現(xiàn)取邊界裂紋和中心裂紋的矩形板寬為W=100cm，研究不同的H/W情況下，a/W的變化對(duì)SIFs的影響，并與文獻(xiàn)[14]的參考解進(jìn)行比較.無量綱SIFs結(jié)果如圖9所示.

由圖9可看出，H/W和a/W取不同值時(shí)，W單元計(jì)算結(jié)果均滿足1%的誤差限，這說明在奇異區(qū)尺寸取建議值的情況下，等效荷載系數(shù)P對(duì)裂紋位置或模型尺寸都不敏感，且適用于常見的裂紋面分布荷載類型，證明了本文的荷載等效處理方法具有很強(qiáng)的適用性，但由于篇幅所限，算例中只對(duì)均布荷載與線性荷載進(jìn)行了論證.當(dāng)H/W增大時(shí)，無量綱SIFs呈減小的趨勢(shì)；當(dāng)a/W增大時(shí)，無量綱SIFs呈增大的趨勢(shì)，這表明裂紋模型是存在尺寸效應(yīng)的.

圖9 無量綱SIFs隨尺寸變化的計(jì)算結(jié)果Fig.9 Calculation results for dimensionless SIFs varying with sizes

4 結(jié) 論

本文對(duì)裂紋面奇異區(qū)荷載進(jìn)行等效處理，使得等效奇異區(qū)內(nèi)裂紋面滿足W單元裂紋面自由的邊界條件，通過裂紋面受不同荷載的邊界裂紋和中心裂紋奇異區(qū)荷載等效算例分析，驗(yàn)證了本文等效處理的正確性與通用性，得到了以下結(jié)論：

1) 確定等效奇異區(qū)尺寸后，結(jié)合算例簡化了等效荷載系數(shù)P的關(guān)系式，并建議取值為2.0.算例結(jié)果表明，本文方法與《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》對(duì)比，其SIFs誤差均小于1%；而且《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》所采用的權(quán)函數(shù)法，當(dāng)模型、荷載變化時(shí)，均需重新確定權(quán)函數(shù)，相較于W單元缺乏靈活性.

2) 等效荷載系數(shù)P的取值不再是由模型尺寸、裂紋長度決定的關(guān)系式，無需通過《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》擬合，且適用于裂紋面受均布或線性壓力的邊界裂紋和中心裂紋，證明了本文對(duì)奇異區(qū)荷載進(jìn)行等效處理方法具有很強(qiáng)的簡便性與通用性.

3) 含裂紋的矩形板，裂紋面受荷時(shí)，隨著a/W的增大，Ⅰ型無量綱SIFs均呈增大的趨勢(shì)，且增大幅度愈加明顯；隨著H/W的增大，無量綱SIFs呈減小的趨勢(shì)，這些都表明結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷的增多會(huì)加速其破壞進(jìn)程.相同模型尺寸下，邊界裂紋的無量綱SIFs整體大于中心裂紋，說明了裂紋的約束條件對(duì)SIFs的影響較大.

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