基于新的參考光滑性指示子的改進的三階WENO格式*

王亞輝

（鄭州師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，鄭州 450044）

引 言

可壓縮流的數(shù)值求解是計算流體力學的主要研究內(nèi)容之一.求解可壓縮流Euler方程往往就是求解非線性雙曲守恒律方程，其解往往會伴隨一些比較復雜的流動，比如包含間斷和光滑小尺度結(jié)構(gòu).在不產(chǎn)生虛假振蕩的情況下捕捉間斷，并盡可能多地求解小尺度結(jié)構(gòu)，是數(shù)值格式的必要條件.在模擬復雜流動問題時，高精度階方法往往比低精度階方法的計算效率和效果要優(yōu)越得多.在眾多求解雙曲守恒律的高精度數(shù)值格式中，加權(quán)本質(zhì)無振蕩(WENO)格式已成為最受歡迎的方法之一.WENO格式通過一組動態(tài)候選模板的低階多項式的非線性組合來達到抑制虛假數(shù)值振蕩的目的.其中加權(quán)過程是根據(jù)每個候選模板的光滑度評估其局部通量的貢獻來執(zhí)行的，具體地說，WENO格式中的光滑度指示子可以使格式向最優(yōu)方向發(fā)展，并通過分配間斷模板的基本零權(quán)重來避免跨間斷的插值.

Liu等首先提出了WENO格式[1]，其主要構(gòu)造思想是給出所有候選子模板的非線性權(quán)來凸組合ENO格式[2-5]來提高解在光滑區(qū)域的精度，而且在間斷附近不會發(fā)生明顯的振蕩，即保持ENO格式的特性.該過程根據(jù)候選模板上解的光滑性指示子對局部數(shù)值通量的貢獻進行加權(quán)來執(zhí)行，使得包含間斷的局部數(shù)值通量的模板權(quán)重基本上為零.然而，Liu等所提出的WENO格式有明顯的缺點，即數(shù)值格式無法得到最優(yōu)收斂精度階.Jiang和Shu[6]解決了這一問題，并設(shè)計了一個新的光滑性指標子的計算方法，即所有低階多項式的各階導數(shù)的L2范數(shù)的歸一化平方和，從而提出了經(jīng)典的有限差分WENO(WENO-JS)格式.Henrick等[7]通過數(shù)值分析WENO-JS格式的各候選模板光滑性指示子發(fā)現(xiàn)，WENO-JS格式在具有一階臨界點的光滑區(qū)域無法保持最優(yōu)的收斂精度階，進而提出了WENO-M格式，用映射函數(shù)修改了非線性權(quán)，給出了使之滿足格式最優(yōu)收斂精度階的充要條件.Borges等[8]發(fā)展了WENO-Z格式，該方法將全局模板高階光滑性指示子納入非線性權(quán)重的構(gòu)造中.WENO-Z格式可以達到與WENO-M格式相同的收斂精度.由于該格式賦予間斷模板較大的權(quán)重，所以該格式具有高分辨率與低耗散特性.文獻[9]將WENO-Z格式推廣到十一階WENO格式，發(fā)展了七階到十一階WENO-Z格式.近幾年來，許多學者又發(fā)展了具有高分辨率高精度的改進的WENO格式[10-11].

對于三階WENO格式來說，雖然沒有高階WENO格式那么好的分辨率，但其仍然具有許多優(yōu)點.比如，求解帶有激波問題時具有很好的魯棒性，并且使用網(wǎng)格點的規(guī)模較小，從而降低了邊界處理和求解的難度，易于推廣到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上.盡管三階WENO格式具有以上的優(yōu)點，但是很多學者仍不會采用它，主要的原因是經(jīng)典的三階WENO格式在光滑區(qū)域的精度在二到三階之間，而在有臨界點的區(qū)域退化為一階精度.另外，由于三階WENO格式計算成本較低，是比較理想的數(shù)值格式.恢復經(jīng)典的三階WENO格式的最優(yōu)收斂精度階和提高其分辨率成為了許多學者研究的方向，大多情況下利用WENO-Z格式的加權(quán)過程，可以解決提高分辨率和恢復最優(yōu)收斂階的問題.采用這種途徑，Wu和Zhao[12]給出了一個改進的三階WENO格式(WENO-N3).通過對候選模板的光滑度指示子與全局模板的光滑度指示子進行線性組合，設(shè)計了一個具有四階精度的參考性光滑度指示子 τ4N.然而 τ4N不能使格式在臨界點附近達到最優(yōu)三階收斂精度.為彌補這個缺陷，Wu等[13]用τ4Np的p冪形式改進了參考光滑度指示子，得到了WENO-Np3格式.最近，Xu和Wu[14]提出了另一個四階參考光滑度指示子τ4P，這樣得到的WENO-P3格式的耗散性更小.然而，該算法也只能在沒有臨界點的光滑區(qū)域?qū)崿F(xiàn)三階精度，在有臨界點的光滑區(qū)域降到一階準確度.在文獻[15]中，筆者給出了三階WENO格式的參考光滑度指示子 τ4Rp，理論分析表明，所得到的WENO-Rp3格式(p=1．5)在光滑區(qū)域(包括臨界點)能達到三階精度，并且WENO-R3格式(p=1)保持了ENO性質(zhì).在文獻[16]中，筆者提出了一種修正模板的三階WENO格式，通過改進經(jīng)典WENO-JS3格式中各候選模板上數(shù)值通量的一階多項式逼近，并加入二次項使模板逼近達到三階精度，并且計算了新的數(shù)值通量，使新發(fā)展的格式(WENO-MS)在光滑區(qū)域(包括一階臨界點)具有三階收斂精度，并且還通過引入一個可調(diào)函數(shù) φ0使WENO-MS格式具有ENO特性.關(guān)于三階WENO格式的其他改進格式可參考文獻[17-18].

為了提高經(jīng)典三階WENO格式的計算分辨率和數(shù)值收斂精度，本文提出了一種新的全局參考光滑度指示子的計算方法.這里所采取的主要策略與文獻[8]不同，它是通過候選子模板上重構(gòu)多項式的導數(shù)的線性組合與整個全局模板上重構(gòu)多項式的導數(shù)的L2范數(shù)逼近來計算得到的.其中會引入一個介于0和1之間的自由參數(shù)φ，通過調(diào)節(jié)該自由參數(shù)的值，可以獲得不同的參考光滑性指示子，并且所獲得的參考光滑性指示子的階數(shù)比WENO-Z格式的更高.當自由參數(shù)取某些特定的值時，我們可以得到之前發(fā)展的三階WENO格式[12-13].最后本文給出了一系列一維和二維數(shù)值算例驗證新格式(WENO-Re3) 的性能.數(shù)值結(jié)果表明，與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式對精細光滑結(jié)構(gòu)具有相當或更高的分辨率.

本文主要安排如下：第1節(jié)通過一維標量守恒律方程簡要的回顧了三階WENO格式；第2節(jié)提出了新的參考光滑度指示子的計算方法，并給出了WENO-Re3格式；第3節(jié)通過一系列一維和二維數(shù)值算例來說明了新格式的性能；第4節(jié)對全文進行了總結(jié).

1 三階WENO格式綜述

在本節(jié)中，首先通過一維標量守恒律簡要介紹一下三階WENO有限差分格式：

1.1 三階WENO格式

它們結(jié)合起來定義了格式的數(shù)值通量

這里的非線性權(quán)重ωk定義為

其中，常系數(shù)dk被稱為理想權(quán)重，因為它們與的 線性組合保持最優(yōu)三階收斂到h(xj+1/2)，即

dk的具體值如下所示：

式(9)中的 0 ＜?≤1是 為防止被零除而引入的小正參數(shù)， βk是第k個模板的光滑度指示子.Jiang和Shu[6]提出的光滑度指示子為

其具體形式為

Borges等[8]提出了一個WENO-Z權(quán)：

其中 ? =10-40，τ3=|β1-β0|是 一個三階參考光滑探測子，它驅(qū)使非線性權(quán)重ωk(13)向最優(yōu)權(quán)重dk靠近，并且比JS權(quán)重(9)快.當冪q=2時，WENO-Z格式在一階臨界點處可以達到最優(yōu)的三階，但在間斷附近具有更多的耗散，一個不那么耗散的方法是設(shè)計一個足夠的高階參考光滑探測子，并且總是使用冪q=1.

為了為WENO-Z權(quán)設(shè)計一個合適的參考光滑探測子(13)，需要一個充分條件來恢復三階WENO格式的最優(yōu)階精度.在文獻[14]中，給出了三階WENO格式達到三階精度的一個充分條件：

方程(14)僅僅是一個充分條件，但不是必要條件.然而，這一條件為設(shè)計高階參考光滑性指示子提供了有用的信息.

2 新的全局參考光滑性指示子

在本節(jié)中，我們?yōu)槿AWENO格式提出了一個新的參考光滑性度指標子 τ4Re.此參考光滑度指標子的構(gòu)造策略是每個候選模板的重構(gòu)多項式的一階導數(shù)的線性凸組合與全局模板的重構(gòu)多項式的一階導數(shù)的L2范數(shù)逼近的平方和，與參考光滑性指標子 τ4P[14-15]相比，在數(shù)量上具有較少值，并且在光滑區(qū)域同樣具有四階精度.

首先，我們給出圖1中候選子模板和全局模板的重構(gòu)多項式，其重構(gòu)多項式具體形式如下：

圖1 三階WENO數(shù)值通量的模板Fig.1 The stencils for the 3rd-order WENO numerical flux

注1對式(16)進行簡單地積分消參運算，可以得到全局參考光滑性指示子的表達式為

根據(jù)和的取值不同，可以分為如下兩種形式：

通過式(19)與充分條件(14)相比，當p=1時，能夠得出WENO-Re3在沒有一階臨界點的光滑區(qū)域能實現(xiàn)最優(yōu)精度階，卻在一階臨界點處只有一階精度.然而當p=1．5時，WENO-Re3格式在一階臨界點的光滑區(qū)域也能實現(xiàn)最優(yōu)精度階.

注2若SC和SD分 別是包含在圖1中全局模板S3的一個光滑子模板和一個間斷子模板，則相應(yīng)的光滑性指示子和非線性權(quán)重為

注意到τ4Re=Θ(1)，所以

那么

容易得到如下結(jié)論：當網(wǎng)格細化時，分配給間斷模板SD的權(quán)重時，其權(quán)重ωD趨于零，因此WENO-Re3格式定義的非線性權(quán)重滿足ENO性質(zhì).由于當p=1．5時的WENO-Re3格式在間斷附近會產(chǎn)生明顯的數(shù)值振蕩[15]，所以在接下來的所有數(shù)值計算中取p=1， 自由參數(shù)

3 數(shù)值測試

在本節(jié)中，我們將通過一些經(jīng)典數(shù)值例子來驗證WENO-Re3格式的性能，并與其他WENO格式的分辨率進行比較.數(shù)值算例從簡單的一維標量對流方程求解開始，然后是一維和二維Euler方程的數(shù)值求解.本文所有的格式和算例均采用局部Lax-Friedrichs通量分裂.時間推進采用三階TVD-Runge-Kutta方法[5]：

其中L(u)是對的近似.

除非另有規(guī)定，否則對于一維情形和二維情形的時間步長Δt分別為

其中σ 是CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)條件數(shù).在接下來的計算中取CFL數(shù)為0.6.

3.1 標量測試問題

在這一小節(jié)中，我們用具有周期邊界條件的標量對流方程在不同初始值下的數(shù)值例子來驗證新的WENO-Re3格式的良好性能.

例1（線性方程）考慮以下線性對流方程：

初值條件為

u(x,0)=u0(x).

首先在兩組初始數(shù)據(jù)的線性方程(20)上檢驗WENO-Re3格式的數(shù)值收斂率：

時間步長設(shè)置為Δt=CCFL×Δx， 確保與空間精度兼容.誤差的L1,L∞范 數(shù)是通過與t=2的精確解比較得出的，根據(jù)以下式子計算：

這里uexact,j表示精確值.表1和表2分別顯示t=2時 初值(21a)的L1,L∞誤差和收斂階，表3和表4顯示初值(21b)的結(jié)果.我們發(fā)現(xiàn)誤差隨著WENO-JS3、WENO-Z3、WENO-P3和WENO-Re3的順序而減小，新的WENO-Re3格式能實現(xiàn)較好的收斂精度.相比之下，新的WENO-Re3格式的性能優(yōu)于其他WENO格式.

表1 線性對流方程(20)在初值(21a)下，不同格式在t =2的L1誤差和收斂階Table 1 L1 errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21a)

表2 線性對流方程(20)在初值(21a)下，不同格式在t =2的L∞誤差和收斂階Table 2 L∞ errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21a)

表3 線性對流方程(20)在初值(21b)下，不同格式在t =2的L1誤差和收斂階Table 3 L1 errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21b)

表4 線性對流方程(20)在初值(21b)下，不同格式在t =2的L∞誤差和收斂階Table 4 L∞ errors and convergence rates at t =2 of different schemes for linear advection eq.(20) with initial data (21b)

然后我們討論WENO-Re3格式在長時間計算中的性能.具體來說，在式(20)上考慮如下初始條件：

在計算域 - 1≤x≤1中 ，求解到時間為t=41， 其中 Δx=0．005.數(shù)值結(jié)果如圖2所示，通過與其他WENO格式比較，可以清晰地知道在間斷附近WENO-Re3的分辨率最好，并且耗散性最小.圖3分別比較了WENO-Re3格式在不同參數(shù) φ的數(shù)值結(jié)果，并且與WENO-R3格式[15]的數(shù)值結(jié)果相比較，可以清楚地知道，當參數(shù)時，WENO-Re3格式的分辨率最好，并且與WENO-R3格式[15]的分辨率大致相當.

圖2 線性對流方程(20)在初值(22)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =41，N=400Fig.2 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions to linear advection eq.(20) with an initial value (22) at t=41, N =400

圖3 線性對流方程(20)在初值(22)下，WENO-Re3格式在不同參數(shù)φ下的數(shù)值解比較，t =41，N=400Fig.3 Comparison of the numerical solutions of the WENO-Re3 scheme with different parameter φ values of linear advection eq.(20) with an initial value (22) at t =41,N=400

最后，我們求解線性對流方程(20)，初始條件包括Gauss波、方波、三角波和半橢圓波，如下所示：

其中G(x,β,z)=e-β(x-z)2，F(xiàn)(x,α,a)=a=0．5,z=-0．7， δ =0．005， α =10， β =ln2/(36δ2).這種情況的解包括接觸間斷、角點奇異和光滑區(qū)域.我們用時間步長 Δt=CCFL×Δx， 計算到最終時間為t=8.數(shù)值結(jié)果如圖4和圖5所示.數(shù)值結(jié)果表明，WENO-Re3格式的性能優(yōu)于WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式，并且與精確值之間的誤差最小.所以基于新的光滑性指示子的三階WENO-Re3格式比其他WENO格式具有更好的分辨率，并且WENO-Re3格式的耗散最小.

圖4 線性對流方程(20)在初值(23)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =6，N=400Fig.4 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions of linear advection eq.(20) with an initial value (23) at t=6, N=400

圖5 線性對流方程(20)在初值(23)下，不同格式的數(shù)值解與解析解的比較，t =6，N =400（局部放大圖）Fig.5 Comparison of the analytical solution with the numerical solutions to linear advection eq.(20) with initial value (23) at t=6, N=400(local encargement)

3.2 一維Euler系統(tǒng)

在這一節(jié)中，我們考慮一維Euler方程組：

其中

U=(ρ,ρu,E)T,F(U)=(ρu,ρu2+p,u(E+p))T.

狀態(tài)方程為

ρ,u,p和E分別是密度、速度、壓強和總能，γ 是比容比.相應(yīng)的Jacobi矩陣A(U)=?F/?U的特征值為

λ1=u-c,λ2=u,λ3=u+c,

這里c=(γp/ρ)1/2為聲速.

例2 (一維Riemann問題)我們考慮具有如下形式的三個經(jīng)典初值問題：

(ⅰ) Lax激波管[19-20]

其中 γ =1．4 ， 網(wǎng)格尺度為 Δx=0．005， 計算時間為t=0．13.密度場的數(shù)值結(jié)果與精確的Riemann解進行了比較，如圖6所示.明顯地，WENO-Re3格式更高效，能更好地捕捉激波，并且耗散最小.

圖6 Lax激波管問題[20]的數(shù)值結(jié)果，t =0．13，N=200Fig.6 Numerical results of the Lax problem[20], t =0．13,N=200

(ⅱ) 沖擊波相互作用[19-20]

其中γ =1．4 .我們用網(wǎng)格尺度為Δx=0．0025 計 算到t=0．038.密度場的數(shù)值結(jié)果如圖7所示.由于精確解是未知的，參考解是通過使用五階WENO-JS格式[6]在3 201個網(wǎng)格點上獲得的.明顯可以得到，WENO-Re3格式更高效，并且在接觸間斷處的耗散的順序是WENO-Re3 ＜ WENO-P3 ＜ WENO-Z3 ＜ WENO-JS3.圖8分別比較了WENO-Re3在不同參數(shù)φ 的數(shù)值結(jié)果，可以清楚得到，當參數(shù)φ =1/2時，WENO-Re3格式的分辨率最好.

圖7 沖擊波相互作用的數(shù)值結(jié)果，t =0．038，N=400Fig.7 Numerical results of interacting blast waves, t =0．038,N=400

圖8 不同參數(shù)φ 下，沖擊波相互作用的數(shù)值結(jié)果，t =0．038，N=400Fig.8 Numerical results of interacting blast waves with different parameter φ values, t =0．038,N=400

(ⅲ) 一維激波等熵波作用(Titarev-Toro問題)[21]

我們計算[ -5,5]區(qū)域上的近似解，這里采用周期邊界條件.初始條件為

其中γ =1．4.對于Titarev-Toro的沖擊熵波測試問題，該流動包含明顯的物理振蕩，精確解無法得到，必須用數(shù)值方法來求解，參考解是用新的WENO-Re3格式在20 000個網(wǎng)格點下獲得的.如圖9所示，采用不同的WENO格式計算密度場的數(shù)值結(jié)果.通過與WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式效率較好，分辨率高，并且耗散更少，特別是在捕捉高頻波方面.

圖9 激波等熵波相互作用(Titarev-Toro)[21]的密度分布，t=5，N=4001Fig.9 Density profiles of the shock entropy interaction (Titarev-Toro)[21],t=5, N=4 001

3.3 二維Euler系統(tǒng)

在本小節(jié)中，考慮二維可壓縮Euler系統(tǒng)：

其中

這里 ρ，u，v，p和E分別是密度，x和y坐標方向上的速度分量，壓力和總能量.另外，U是守恒變量的向量，F(xiàn)(U)是x方向的通量分量，G(U)是y方向的通量分量.對二維可壓縮Euler方程進行了逐維求解.

例3 (二維Riemann問題)[22]計算域為[ 0,1]×[0,1]，初始條件設(shè)置為

這里邊界條件為Dirichlet邊界條件，比熱比γ =1．4 .計算的最終時間為t=0．8.圖10顯示不同格式的數(shù)值結(jié)果，易得WENO-Re3格式比WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式結(jié)構(gòu)更為豐富，分辨率更高，并且耗散更小.

圖10 不同格式關(guān)于二維Riemann問題[22]的密度等值線，Δ x=Δy=1/800，t=0．8Fig.10 Density contours of the 2D Riemann problem[22], Δx =Δy=1/800,t=0．8

例4 (雙Mach反射問題)[23]激波在斜面上的二維雙Mach反射描述了平面Mach激波在空氣中撞擊楔形物的反射現(xiàn)象.這種試驗被廣泛用于驗證數(shù)值方法的性能.我們在 [ 0,4]×[0,1]上計算這個測試問題，輸出在[0,3]×[0,1]上 的數(shù)值結(jié)果.起始在x=1/6處 施加一個右移Mach數(shù)為10的激波，激波前緣與x軸成 6 0°角.在沿底部邊界x=0至x=1/6的區(qū)域內(nèi)，為初始激波后流動賦值，其余區(qū)域采用反射邊界條件.左邊界為初始激波后流動賦值.對于x=4處的右側(cè)邊界都設(shè)置為零.上邊界是用來描述Mach數(shù)為10的激波的精確運動.網(wǎng)格尺度Δx=Δy=1/480， 比熱比 γ=1．4 ， 計算時間t=0．2.圖11比較了WENO-Re3格式與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式的數(shù)值結(jié)果.可見WENO-Re3格式的分辨率比其他WENO格式要高，WENO-Re3較好地解決了Mach桿附近的不穩(wěn)定性問題.

圖11 雙Mach反射問題在t =0．2 時 的密度等值線，網(wǎng)格點為1920×480Fig.11 Density contours of the double Mach reflection problem for t =0．2 on the 1 920×480 grid points

4 結(jié) 論

本文針對計算流體力學對高精度高分辨率的需求，基于降低經(jīng)典的三階WENO格式的數(shù)值耗散特性，提出了一種新的參考光滑性指示子的構(gòu)造方法.其構(gòu)造方法與經(jīng)典的WENO-Z格式略有不同，具體實現(xiàn)途徑是通過候選子模板的重構(gòu)多項式導數(shù)的線性組合與整個全局模板上的重構(gòu)多項式導數(shù)的L2范數(shù)逼近來獲得的.其中引入一個介于0和1之間自由參數(shù)φ，并且通過調(diào)節(jié)該自由參數(shù)可以獲得不同的參考光滑性指示子，并且獲得的參考光滑性指示子的階數(shù)比WENO-Z格式更高.本文通過一系列一維和二維數(shù)值算例驗證了新格式的有效性.數(shù)值結(jié)果表明，與WENO-JS3、WENO-Z3和WENO-P3格式相比，WENO-Re3格式對精細光滑結(jié)構(gòu)具有相當或更高的分辨率.

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