淺談Taylor公式教學(xué)

路群 劉莉芳

【摘要】微積分是高等院校開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)課程，它主要研究函數(shù)的一些性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性、可積性等.Taylor公式告訴我們，一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)如果滿足一定條件便可以用多項(xiàng)式去近似替代，這樣做能增進(jìn)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解.本文結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從問題引入、公式中系數(shù)的幾何意義、Taylor公式的求法以及針對(duì)具體的函數(shù)Taylor公式的特征幾方面入手探討這一內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生知道這一公式的由來，加深對(duì)這部分內(nèi)容的理解.

【關(guān)鍵詞】微分;微分中值定理;Taylor公式

【基金項(xiàng)目】本文系2021.07—2023.06 廣州大學(xué)—大學(xué)數(shù)學(xué)黃大年式教師培育團(tuán)隊(duì)-廣大【2021】95號(hào).

Taylor公式是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，有的學(xué)生會(huì)對(duì)它龐大的形式望而生畏，用它分析解決問題時(shí)也是敬而遠(yuǎn)之.本文將對(duì)如何讓學(xué)生對(duì)這一內(nèi)容做到容易接受并更好地理解試做探討.

一、問題引入

對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù)，如何知道它在一點(diǎn)處的取值及其各階導(dǎo)數(shù)值？如何對(duì)它在其他點(diǎn)處的值進(jìn)行估計(jì)？如何用一個(gè)更為簡(jiǎn)單的函數(shù)去逼近它？

在微分的部分我們已經(jīng)知道可以用簡(jiǎn)單的直線（一階多項(xiàng)式）即切線來逼近函數(shù)，也就是

f（x）≈L（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0），

這一近似做法就在于“以直代曲”，用來做替代的函數(shù)要形式簡(jiǎn)單.但它的缺點(diǎn)也很明顯：第一，估計(jì)的范圍“太窄”，要求變量x要充分接近x0，否則效果就不理想，這一點(diǎn)從一些熟悉的函數(shù)圖像便可以直觀體會(huì)到;第二，誤差大，只是比x-8x0趨于零的速度快而已，即o（x-x0）精度不高.對(duì)此，是否有一些改進(jìn)的方法來對(duì)函數(shù)做近似估計(jì)呢？當(dāng)然，對(duì)于之前的方法，如果我們能做到既避免缺點(diǎn)，又保持其優(yōu)點(diǎn)就完美了.事實(shí)上，這種兩全其美的想法很難實(shí)現(xiàn)，Lagrange微分中值定理應(yīng)算是一種改進(jìn)，它仍然采取直線來估計(jì)函數(shù)，只不過不是用x0點(diǎn)處的切線，它沒有自變量x要離x0“充分近”的限制，即

f（x）=f（x0）+f ′（ξ）（x-x0），ξ介于x0與x之間.

可以想象，如果函數(shù)的圖像很“彎曲”，卻仍然堅(jiān)持用直線去近似替代，那效果應(yīng)該不會(huì)很好.能否放棄簡(jiǎn)單形式的直線，而采取“以曲代曲”，用更高階的多項(xiàng)式去估計(jì)函數(shù)，使得估計(jì)的誤差更?。╫[（x-x0）n]）、精確度更高呢？事實(shí)上，Taylor中值定理告訴我們這是可行的.

二、關(guān)于Taylor系數(shù)限制條件的含義以及Taylor中值定理

如果函數(shù)滿足一定的條件，對(duì)用來近似函數(shù)f（x）的多項(xiàng)式必須弄清楚兩個(gè)問題：一是多項(xiàng)式的階數(shù)，二是在知道階數(shù)（比如n階）的前提下，該多項(xiàng)式的系數(shù)如何確定.不同系數(shù)的多項(xiàng)式呈現(xiàn)的特征不同（比如開口方向、彎曲程度等），從而用來近似f（x）達(dá)到的效果也有所不同.

假設(shè)用x-x0的n階多項(xiàng)式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n，使f（x）=Pn（x）+o[（x-x0）n].不是任何一個(gè)多項(xiàng)式都可以達(dá)到

想要的效果，這可從f（x）與多項(xiàng)式所表示的曲線上直觀看到（筆者在課堂教學(xué)中會(huì)給出不同的多項(xiàng)式來近似函數(shù)，讓學(xué)生從圖像上選出他們認(rèn)為“效果好”的曲線，并說出其用以評(píng)判效果好壞的標(biāo)準(zhǔn)），通過對(duì)比各曲線的差異，考慮這些“效果好”的曲線是怎么選出來的，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是什么，從而讓學(xué)生體會(huì)f（x）與多項(xiàng)式“共性越多，效果越佳”的道理.比如多項(xiàng)式與函數(shù)曲線過相同點(diǎn)（x0，f（x0））、有相同的切線、有相同的彎曲方向及相同的彎曲程度等，在數(shù)學(xué)上便是在x0處直到2階的導(dǎo)數(shù)值都相等，更可以大膽地想象直到n階的導(dǎo)數(shù)值都相等，即

六、結(jié) 論

通過以上幾方面的分析，學(xué)生對(duì)Taylor公式有了一個(gè)更為具體的了解，知道這一公式是基于什么樣的背景下提出來的，又能用來解決什么問題，對(duì)這部分內(nèi)容加深了印象，為后續(xù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，進(jìn)而能提高學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]李忠，周建瑩.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2009.