概率統(tǒng)計(jì)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的常見應(yīng)用

于雪梅 田小強(qiáng)

【摘要】概率統(tǒng)計(jì)作為一種精確系統(tǒng)的科學(xué)語(yǔ)言，經(jīng)常用來(lái)研究解決經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用問題.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為數(shù)學(xué)工具能將實(shí)際應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型建立起聯(lián)系，將實(shí)際應(yīng)用問題數(shù)學(xué)化，通過模型求解，并借助概率統(tǒng)計(jì)中的理論知識(shí)和信息化手段加以分析、計(jì)算，最后回歸到實(shí)際中，加以應(yīng)用，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步起到了促進(jìn)作用.本文主要介紹概率統(tǒng)計(jì)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中幾種常見的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)模型;金融經(jīng)濟(jì)

【基金項(xiàng)目】本文系北京電子科技職業(yè)學(xué)院校內(nèi)課題項(xiàng)目“概率統(tǒng)計(jì)在金融經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用”（項(xiàng)目編號(hào)：2021Z044-KXY）的研究成果.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門工具學(xué)科，已經(jīng)是目前各領(lǐng)域比較成熟的可適用的數(shù)學(xué)工具.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型解決金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的實(shí)際問題就是非常常見的一種方法手段.它研究的范圍是廣闊的，既具有深度，又具有廣度.本文主要通過簡(jiǎn)單的實(shí)例介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在管理決策、投資決策、保險(xiǎn)預(yù)測(cè)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)四個(gè)方面的常見應(yīng)用.

一、概率統(tǒng)計(jì)模型在管理決策中的應(yīng)用

作為管理決策者，對(duì)經(jīng)濟(jì)金融問題的處理要科學(xué)合理，就要有整合數(shù)據(jù)的能力，確保在分析具體問題時(shí)做出科學(xué)合理的決策.要保證決策工作的管理效果，就要在做出決策之前考慮其本身存在很多不確定的隨機(jī)因素，然后通過建立數(shù)據(jù)處理和進(jìn)行運(yùn)維監(jiān)督，健全正確且科學(xué)化的決策體系，實(shí)現(xiàn)最小成本管理工作，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征提高管理工作的效率，維護(hù)最優(yōu)目標(biāo).在統(tǒng)籌規(guī)劃銷售成本、收入、資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率以及稅金等項(xiàng)目時(shí)，主成分分析法也具有一定的作用.假設(shè)有n個(gè)樣本，m作為樣本體系的指標(biāo)變量，在尋找k個(gè)變量后，就能得出yi=ai1x1+ai2x2+…+aimxm，i=1，2，…，k，進(jìn)而可以利用數(shù)學(xué)期望和方差對(duì)管理中的相關(guān)決策進(jìn)行集中分析.

例如，研發(fā)出一種新電子產(chǎn)品后，公司的市場(chǎng)營(yíng)銷部門要進(jìn)行分析，得出該款新電子產(chǎn)品在當(dāng)?shù)剡M(jìn)行推廣銷售的價(jià)格較低，而且可以獲得較為穩(wěn)定的40萬(wàn)元利潤(rùn).如果公司去外地開展推廣銷售工作，推銷成功可獲利 100 萬(wàn)元，但推銷失敗將面臨損失10萬(wàn)元，存在一定的風(fēng)險(xiǎn).推銷成功的概率P（S）=0.6，從收益期望值的角度來(lái)分析，外地投資推廣銷售的期望收益為56 萬(wàn)元.但仍要理性分析存在的風(fēng)險(xiǎn)因素，設(shè)A表示“對(duì)外推銷有利”，B表示“對(duì)外推銷不利”，S表示“推廣銷售成功”，F(xiàn)表示“推廣銷售失敗”.市場(chǎng)部通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在推廣成功的條件下，P（A|S）=0.7，P（B|S）=0.3，在推廣銷售失敗的條件下，P（A|F）=0.2，P（B|F）=0.8，運(yùn)用貝葉斯公式可以得到：

P（S|A）=0.84，P（F|A）=0.16，

P（S|B）=0.36，P（F|B）=0.64，

因此，若調(diào)查結(jié)果顯示該電子產(chǎn)品到外地推銷是有利的，那么到外地進(jìn)行推廣銷售的收益期望值為

E（X）=100×0.84+（-10）×0.16=82.4.

若調(diào)查結(jié)果顯示該電子產(chǎn)品到外地推銷是不利的，這時(shí)收益期望值為

E（Y）=100×0.36+（-10）×0.64=29.6.

在這種情況下，管理者應(yīng)該做出在外地開展推銷的決策.

二、概率統(tǒng)計(jì)模型在投資決策中的應(yīng)用

不管是什么層級(jí)的經(jīng)營(yíng)管理者，都在投資過程中追求利益最大化.投資決策是指以達(dá)到特定目標(biāo)為目的，以搜集的數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)結(jié)果為前提，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律對(duì)不同的投資方案進(jìn)行科學(xué)合理的可行性分析，通過對(duì)比研究，最終做出合理的決斷，選擇滿意的實(shí)施方案.但在投資決策過程中離不開風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估和考量，即在投資收益的預(yù)判中要衡量風(fēng)險(xiǎn)的存在與影響.

例如，某公司現(xiàn)對(duì)三個(gè)投資項(xiàng)目進(jìn)行考察，分別是：住宅樓A、大型商場(chǎng)B和商業(yè)步行街C，其收益多少與市場(chǎng)現(xiàn)狀有關(guān)，將未來(lái)市場(chǎng)劃分為優(yōu)等、中等、差等三個(gè)級(jí)別，發(fā)生的可能性分別為p1=30%，p2=50%，p3=20%，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，不同等級(jí)狀態(tài)下三種投資的年收益見表1.

下面以數(shù)學(xué)期望、方差等計(jì)算方式為例說明決策的合理性.

E（A）=10×0.3+3×0.5+（-2）×0.2=4.1，

E（B）=6×0.3+3×0.5+（-1）×0.2=3.1，

E（C）=9×0.3+2×0.5+（-3）×0.2=3.1.

通過計(jì)算，投資住宅樓的平均收益最大，但要繼續(xù)考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，再?gòu)姆讲钸M(jìn)行考慮：

D（A）=（10-4.1）2×0.3+（3-4.1）2×0.5+（-2-4.1）2×0.2=18.49，D（B）=（6-3.1）2×0.3+（3-3.1）2×0.5+（-1-3.1）2×0.2=5.89，D（C）=（9-3.1）2×0.3+（2-3.1）2×0.5+（-3-3.1）2×0.2=18.49.

因此，從方差的角度判斷，投資大型商場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)明顯比投資住宅樓和商業(yè)步行街的小，從平均收益和風(fēng)險(xiǎn)性考慮，做出選擇大型商場(chǎng)進(jìn)行投資這一決策較好.

一個(gè)項(xiàng)目的投資管理者要從多角度綜合分析預(yù)測(cè)投資項(xiàng)目的不同影響因素，需要考慮金融、經(jīng)濟(jì)、政策等因素，再選擇項(xiàng)目的合作方、投資金額及最佳投資時(shí)機(jī)等.目前，在決策過程中，隱性風(fēng)險(xiǎn)和顯性風(fēng)險(xiǎn)同時(shí)存在，決策者需要意識(shí)到，各種不確定性因素的干擾和影響不是毫不相關(guān)的.

接下來(lái)我們?cè)倏匆粋€(gè)貝葉斯決策案例：A公司提供的產(chǎn)品和服務(wù)壟斷市場(chǎng)，而B公司考慮進(jìn)入這個(gè)市場(chǎng)，并且清楚A公司不會(huì)坐視不理，會(huì)采取阻撓措施，B公司能否成功進(jìn)入市場(chǎng)受A公司投入到阻撓過程中的成本規(guī)模的影響.初期B公司無(wú)法判斷A公司投入的阻撓成本是高還是低.如果A公司投入高阻撓成本，在B公司進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)不惜一切代價(jià)進(jìn)行阻撓的概率是0.2;如果投入低阻撓成本，則A公司在B公司進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)會(huì)百分百進(jìn)行阻撓.最初B公司認(rèn)為A公司做出高成本阻撓的可能性為70%，也就是我們所說的先驗(yàn)概率，那么B公司估計(jì)自己在進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)受到阻撓的概率為

0.7×0.2+0.3×1=0.44，

而B公司進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)，A公司確實(shí)進(jìn)行阻撓，貝葉斯公式計(jì)算出B公司進(jìn)入市場(chǎng)后A屬于高阻撓成本公司的概率為

P1=0.7×0.20.7×0.2+0.3×1≈0.32，

根據(jù)此后驗(yàn)概率，B公司預(yù)估再進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)受到A公司阻撓的概率為

0.32×0.2+0.68×1=0.744，

B公司再次進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)，A公司又進(jìn)行了阻撓，貝葉斯公式計(jì)算出A屬于高阻撓成本公司的概率為

P2=0.32×0.20.32×0.2+0.68×1≈0.086.

根據(jù)A公司一次次的阻撓，B公司對(duì)A公司的判斷逐步發(fā)生變化，傾向于將A公司判斷為低阻撓成本類型.

投資決策中也有很多投資組合問題，比如10萬(wàn)元本金投資到兩種股票及固定收益中，每種股票每股年收益率是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量A與B，已知E（A）=6，D（A）=55，E（B）=4，D（B）=28.股票一每股價(jià)格60元，股票二每股價(jià)格48元，固定收益年收益率3.6%，要決策平均收益不低于7000元的最優(yōu)投資組合方案，設(shè)三者投資量分別為x1，x2，x3，則60x1+48x2+x3=100000.投資組合收益R=x1A+x2B+0.036x3，投資組合的平均收益和風(fēng)險(xiǎn)為

E（R）=E（x1A+x2B+0.036x3）

=6x1+4x2+0.036x3，

D（R）=D（x1A+x2B+0.036x3）

=D（x1A）+D（x2B）+D（0.036x3）

=x21D（A）+x22D（B）+0

=55x21+28x22.

建立模型min（55x21+28x22），使得

E（R）≥7000，60x1+48x2+x3=100000.

利用軟件可求最優(yōu)投資方案：x1=524.7，x2=609.7，x3=38250，這時(shí)D（R）=2.25×107.

三、概率統(tǒng)計(jì)模型在保險(xiǎn)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

近幾年，保險(xiǎn)業(yè)不斷發(fā)展和進(jìn)步，而保險(xiǎn)業(yè)是根據(jù)概率論原理進(jìn)行計(jì)算預(yù)測(cè)，對(duì)所搜集到的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)籌科學(xué)的處理分析，繼而有針對(duì)性地為不同年齡范圍、性別、工作種類的人群開發(fā)多樣不同種類的保險(xiǎn)產(chǎn)品，依據(jù)概率合理分?jǐn)傦L(fēng)險(xiǎn)，使損失最小化.隨著人們個(gè)性化需求的增多，購(gòu)買者也會(huì)通過計(jì)算這些保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益做出全面考量，同時(shí)，保險(xiǎn)公司會(huì)應(yīng)用中心極值定理、大數(shù)定律、線性回歸等概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行精算預(yù)測(cè)，從而確定每一種保險(xiǎn)產(chǎn)品的理賠金額和保險(xiǎn)金額，計(jì)算每個(gè)保險(xiǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)及虧本的可能性.

以某個(gè)人壽保險(xiǎn)為例：某保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)了一種人壽保險(xiǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，一年內(nèi)有2萬(wàn)份有效投保保單，據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，保險(xiǎn)者中每個(gè)人身故的概率是0.0002，試計(jì)算出這些成功投保人中死亡數(shù)不超過 12 人的概率.

設(shè)參加該種人壽保險(xiǎn)的保險(xiǎn)者在一年內(nèi)死亡人數(shù)為ξ，隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，

P（ξ≤12）=∑12k=0Ck20000×0.0002k×0.9998（20000-k），

可以利用泊松分布進(jìn)行查表計(jì)算，得出該品種人壽保險(xiǎn)中死亡人數(shù)超過 12 人的概率是310000.

某保險(xiǎn)公司擬推出在校學(xué)生意外傷害險(xiǎn)，現(xiàn)有6000名新生欲參加保險(xiǎn)，每個(gè)參保人交付50元保費(fèi)，若出險(xiǎn)可獲得2萬(wàn)元賠付.已知年出險(xiǎn)率為0.15%，判斷保險(xiǎn)公司因開展此項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)獲利至少6萬(wàn)元的概率.

設(shè)參加該保險(xiǎn)的出險(xiǎn)人數(shù)為X，X～B（6000，0.0015），

P（X≤12）=1-P（X≥13）=1-∑∞k=139kk！e-9=0.876.

為什么保險(xiǎn)公司愿意出售這種低價(jià)保險(xiǎn)？我們假設(shè)年出險(xiǎn)率由0.15%上升到0.2%，此時(shí)該公司獲利不少于6萬(wàn)元的概率降為0.576.其他條件都不變的情況下，出險(xiǎn)率僅僅提高0.05%，小幅上升，保險(xiǎn)公司相同收益的可能性就大幅下降，可以清晰預(yù)測(cè)盈利概率是出險(xiǎn)率的減函數(shù)，如圖1.

保單在設(shè)計(jì)初期需要考慮參保人數(shù)、賠付金額、保費(fèi)、盈利利率、盈利金額及出險(xiǎn)率，可以多重分析，也可以固定一些因素判斷兩個(gè)變量間的相關(guān)性.

在保險(xiǎn)預(yù)測(cè)中，保險(xiǎn)投資者也可以根據(jù)自己的實(shí)際情況，結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做出決策.比如：某投資者有25萬(wàn)元資金，打算花20萬(wàn)元買一輛車，假設(shè)一年內(nèi)發(fā)生車禍毀掉且殘值為0 的概率為0.1%，有99.9%的概率仍保值20萬(wàn)元.為減少損失，他可以為新車選擇投保買全額保險(xiǎn)，將剩余的錢存入銀行，存款利率為6%，如他的效用函數(shù)為U（ω）=ln ω，則他花多少錢買保險(xiǎn)時(shí)可使得年末買保險(xiǎn)和不買保險(xiǎn)的期望效用值相當(dāng)？

當(dāng)投資者支付m元購(gòu)買保險(xiǎn)時(shí)，則年末投資者的資產(chǎn)為：

200000+（250000-200000-m）（1+0.06）=25300-1.06m.

此時(shí)年末的期望效用為ln（25300-1.06m）.

當(dāng)投資者不買保險(xiǎn)時(shí)，年末期望效應(yīng)為：

99.9%×ln（250000×1.06）+0.1%×ln（50000×1.06）=12.4859.

要使得年末買保險(xiǎn)和不買保險(xiǎn)的期望效用值相當(dāng)，則有m=395.66，投資者拿出395.66元錢買保險(xiǎn)時(shí)可使得年末買保險(xiǎn)和不買保險(xiǎn)的期望效用值相當(dāng).

四、概率統(tǒng)計(jì)模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)是指依據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和資料對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的不同自然狀況進(jìn)行估計(jì)推測(cè)，對(duì)給出不同情況發(fā)生的概率利用科學(xué)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.在定價(jià)模型中可運(yùn)用多種概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法，如順序統(tǒng)計(jì)量、概率分布函數(shù)等.比如根據(jù)一些商品的銷售數(shù)據(jù)、資產(chǎn)和證券的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，就可以利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)及數(shù)據(jù)處理軟件推算出能夠發(fā)生的合理的價(jià)格區(qū)間，從而提供依據(jù)使得經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)工作能在價(jià)格區(qū)間內(nèi)進(jìn)行完善.

數(shù)據(jù)回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中用來(lái)研究變量之間相關(guān)關(guān)系的一種方法，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)某些變量之間存在的相關(guān)性進(jìn)行判斷分析，可得出規(guī)律，生成模型.

多元線性回歸模型的一般形式為：

Y=b1x1+b2x2+…+bmxm+ε，ε～N（0，σ2）.

通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立回歸模型，可以進(jìn)行預(yù)測(cè)，提高判斷的準(zhǔn)確性.

一元線性回歸方程是利用最小二乘法對(duì)變量間關(guān)系建立函數(shù)模型的一種回歸分析方法.我們以某商品包裝費(fèi)投入和銷售額的關(guān)系為例說明線性回歸方程在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用.

某公司為了研究產(chǎn)品廣告費(fèi)投入對(duì)銷售額的影響，隨機(jī)抽取了上一年度中8個(gè)月該產(chǎn)品的廣告費(fèi)投入金額與銷售額.

根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，樣本點(diǎn)的分布在一條直線附近，表明銷售額y與廣告費(fèi)x具有線性相關(guān)關(guān)系，可建立模型，計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值，建立銷售額y與廣告費(fèi)x之間的回歸方程.假設(shè)相關(guān)關(guān)系為y=a+bx+ε，其中b是回歸系數(shù)，ε是隨機(jī)因素引起的誤差，用最小二乘法估計(jì)模型中的未知參數(shù)a，b，求出估計(jì)值a^=18.975，b^=0.531，所以線性回歸直線方程為

y^=0.531x+18.975.

在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，簡(jiǎn)單的期望平均法也是常用的有效手段.比如某服裝經(jīng)營(yíng)公司預(yù)推銷一款商務(wù)男裝，想對(duì)銷售量進(jìn)行初步預(yù)測(cè)，減少成本.銷售部門選定三位銷售經(jīng)驗(yàn)豐富的三名銷售員參加試銷，并根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)做出預(yù)測(cè)，詳細(xì)數(shù)據(jù)見下表.

銷售員甲預(yù)測(cè)的總銷售量

E1=160×0.3+140×0.5+120×0.2=142;

銷售員乙預(yù)測(cè)的總銷售量

E2=150×0.2+128×0.6+110×0.2=128.8;

銷售員丙預(yù)測(cè)的總銷售量

E3=170×0.1+140×0.7+120×0.2=139.

根據(jù)簡(jiǎn)單平均法確定最終的預(yù)測(cè)銷售量為136.6 萬(wàn)件.

五、小結(jié)

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問題的實(shí)例還有很多.科學(xué)的決策是非常重要的，也是必不可少的，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)思想把在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域遇到的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)方面的問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法解決問題，這不僅能夠促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的進(jìn)步，同時(shí)可以促進(jìn)我國(guó)科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)新.

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