積分的計(jì)算及其應(yīng)用探討

◎呂 軍 阿布力米提·孜克力亞 庫(kù)福立

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830052)

一、引 言

《高等數(shù)學(xué)(上、下)》研究的主要問題就是函數(shù)的基本形態(tài)和相關(guān)性質(zhì)，高等數(shù)學(xué)上冊(cè)主要介紹的是一元函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)，而下冊(cè)則主要介紹了多元(二元)函數(shù)的微分學(xué)和積分學(xué)兩方面內(nèi)容，而(不)定積分作為函數(shù)積分問題的開端，如何能夠讓學(xué)生更加深刻地理解及深入的掌握就顯得至關(guān)重要，特別是對(duì)于理工類高校的學(xué)生，(不)定積分在其自身專業(yè)課的學(xué)習(xí)中應(yīng)用較廣，本文旨在學(xué)生掌握基本積分的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，提供若干的技巧和方法，并給出相關(guān)的應(yīng)用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和利用所學(xué)解決實(shí)際問題的能力

二、積分計(jì)算方法與技巧

(一)湊微分法

1 設(shè)()具有原函數(shù)，=()可導(dǎo)，則有換元公式：

令=3+2,則有

(二)第二類換元法

注：第二類換元法主要分為以下四類：

1三角代換

當(dāng)被積函數(shù)中含有

2倒代換

3根式代換

4指數(shù)代換

(三)分部積分法

積分類型u,dv的選擇1∫Pn(x)ekxdxu=Pn(x),dv=ekxdx2∫Pn(x)sin (ax+b)dxu=Pn(x),dv=sin (ax+b)dx3∫Pn(x)cos (ax+b)dxu=Pn(x),dv=cos (ax+b)dx4∫Pn(x)ln xdxu=ln x,dv=Pn(x)dx5∫Pn(x)arcsin(ax+b)dxu=arcsin (ax+b),dv=Pn(x)dx6∫Pn(x)arccos (ax+b)dxu=arccos (ax+b),dv=Pn(x)dx7∫Pn(x)arctan(ax+b)dxu=arctan(ax+b),dv=Pn(x)dx8∫ekxsin (ax+b)dxu,dv 可任選其一9∫ekxcos (ax+b)dxu,dv 可任選其一

(四)添項(xiàng)法

添項(xiàng)法是在計(jì)算不定積分時(shí)常用的一種方法，一般是根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行加減添項(xiàng)或是乘除添項(xiàng)

通過觀察∵(e)′=e，對(duì)被積函數(shù)分子分母同時(shí)乘e，則有

=-ln(e+1)+

(五)二次循環(huán)法

直接連續(xù)利用兩次分部積分公式

移項(xiàng)、化簡(jiǎn)后可得

(六)待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，通過引入一些待定的參數(shù)，對(duì)不定積分進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而比較同類項(xiàng)的系數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)方程組的一種求解方法，待定系數(shù)法的好處在于可將比較復(fù)雜的不定積分求解簡(jiǎn)易化，降低求解不定積分的難度

(七)利用留數(shù)定理

其中，(=1,2,…,)為包含在||=1內(nèi)的()的奇點(diǎn)

(八)變量代換法

當(dāng)遇到被積函數(shù)是無理函數(shù)時(shí)，我們常常會(huì)利用變量代換法，其代換的主要目的就是能去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，具體有以下幾種類型，見下表：

被積函數(shù)形式相應(yīng)的變量代換1∫Rx,n1ax+bcx+d,n2ax+bcx+d,…(nkax+bcx+d)dxtN=ax+bcx+d,N=lcm(n1,n2,…,nk)2∫R(a+x,x+b)dxa+x=b-asht3∫R(a-x,b-x)dxa-x=b-atan t4∫R(x-a,b-x)dxx-a=b-asin t5∫R(x-a,x-b)dxx-a=b-asec t

(九)部分分式展開法

我們知道任何一個(gè)多項(xiàng)式可以分解成若干個(gè)一次因式和二次因式的乘積因此，任何一個(gè)有理真函數(shù)必定可以表示成若干個(gè)部分分式之和

如果()是的實(shí)系數(shù)有理真分式，即下式中的<，則()一定可以寫成：

值得注意的是，要用部分分式展開方法，首先要求解分母()=0的根，稱為()的極點(diǎn)

首先將被積函數(shù)展開成部分分式的形式，令：

則由待定系數(shù)法可知：=2,=-3,=1

=2ln||-3ln|+1|+ln|+2|+

三、定積分的應(yīng)用

積分的幾何應(yīng)用主要有以下幾種：(1)利用積分可以求平面圖形的面積(2)利用積分可以求空間立體的體積(3)利用積分可以求解曲線的弧長(zhǎng)(4)利用積分可以求旋轉(zhuǎn)曲面的面積具體如下：

(一)平面圖形的面積

(1)若平面圖形是由上、下兩條曲線=(),=()(()≤())與直線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(2)若平面圖形是由左、右兩條曲線=(),=()(()≤())與直線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(3)若平面圖形是由極坐標(biāo)下的兩條曲線=(),=()(()≤())與射線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(二)空間立體的體積

(1)設(shè)立體Ω介于兩個(gè)平面=,=(<)之間，?∈[,]，過點(diǎn)作平面垂直于軸，則該平面與立體Ω的截面為可求的連續(xù)函數(shù)()，則立體Ω的體積為

(2)平面圖形:{(,)|()≤≤(),≤≤}繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

(3)平面圖形:{(,)|()≤≤(),<<,≥0}繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

9一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心并與底面交成角為，計(jì)算這個(gè)平面截圓柱所得立體的體積

如圖所示

取平面與圓柱體的底面的交線為軸,底面上過圓心且垂直于軸的直線為軸,那么底圓的方程為+=

(三)平面曲線的弧長(zhǎng)

(1)平面曲線的方程為=() (≤≤)，若()連續(xù)可導(dǎo)，則曲線的弧長(zhǎng)為

(2)平面曲線的參數(shù)方程為=(),=() (≤≤)，若(),()均連續(xù)可導(dǎo)，則曲線的弧長(zhǎng)為

(3)平面曲線的極坐標(biāo)方程為=()(≤≤)，若()連續(xù)可導(dǎo)，則曲線的弧長(zhǎng)為

綜上，給出了求解積分的幾種常用的方法和技巧，并一一舉例，同時(shí)也給出了積分的幾種常見的幾何應(yīng)用目的是幫助學(xué)生更好地去歸納和總結(jié)，熟練掌握積分的求解，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到實(shí)際生活