數(shù)列通項(xiàng)公式的唯一性之規(guī)范探究

◎劉子輝

(鹽城幼兒師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 鹽城 224000)

課堂教學(xué)是師生之間、生生之間交往互動(dòng)和共同發(fā)展的過程課堂教學(xué)中，我們經(jīng)常碰到各種各樣的問題，這些問題往往可以作為教研資源一名教師，特別是青年教師，必須牢固樹立問題意識(shí)，善于用審慎的目光觀察各種教學(xué)現(xiàn)象，養(yǎng)成收集、整理、分析、鉆研這些教學(xué)現(xiàn)象的習(xí)慣，不斷提高自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，從而提升自己的專業(yè)知識(shí)水平下面，筆者以數(shù)列教學(xué)為例，針對(duì)教材、教輔和學(xué)生作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)的一些似是而非的表述，闡述一下筆者分析、思考的過程，以求教于讀者

一、發(fā)現(xiàn)問題

(一)背景材料

在一些教材、教輔及學(xué)生的作業(yè)中，我們經(jīng)?？梢钥吹较旅娴谋硎觯?/p>

寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是2，4，6，8

此數(shù)列的前4項(xiàng)2，4，6，8都是項(xiàng)數(shù)的2倍，所以它的通項(xiàng)公式是=2

一些練習(xí)冊(cè)和校內(nèi)考試的試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)下面的說法：

數(shù)列1，3，5，7，…的通項(xiàng)公式是

(二)發(fā)現(xiàn)問題

對(duì)于教材、教輔和學(xué)生作業(yè)中的這些常見表述，許多教師已司空見慣其實(shí)，作為教師，特別是數(shù)學(xué)教師，其思維應(yīng)該是嚴(yán)密的、合乎邏輯的仔細(xì)分析材料就會(huì)發(fā)現(xiàn)，從邏輯上講，上面的表述并不是完全一致的

材料一的題目中，要求寫出的是已知數(shù)列的“一個(gè)”通項(xiàng)公式，而材料一的解題過程中，通項(xiàng)公式的前面沒有寫出定語“一個(gè)”“一個(gè)”沒有寫出來，這重要嗎？有沒有影響呢？如果無關(guān)緊要，當(dāng)然可以不寫；如果不能不寫，當(dāng)然應(yīng)該寫出來強(qiáng)調(diào)一下！材料二的題目中沒有出現(xiàn)“一個(gè)”二字，這樣表述可以嗎？到底對(duì)不對(duì)呢？顯而易見，上面兩種情況，說的是一回事，道理是一樣的

數(shù)學(xué)是思維的體操教師應(yīng)該充分利用上面這些教學(xué)資源深入思考，同時(shí)有效引導(dǎo)學(xué)生深入研究，培養(yǎng)他們的思維能力反之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果我們習(xí)慣了或認(rèn)可了上面的說法，時(shí)間長(zhǎng)了，部分教師和學(xué)生便會(huì)形成這樣的認(rèn)識(shí)：不管是什么樣的數(shù)列，只要給出了它的前幾項(xiàng)，它的通項(xiàng)公式都是唯一的因此，我們有必要對(duì)上面的問題做進(jìn)一步探討

二、提出問題

深入思考可以發(fā)現(xiàn)，上面的問題與下面兩個(gè)問題本質(zhì)上是一致的我們先來看日常生活中的例子：

濱江市第一高中只有一位正職校長(zhǎng)，叫秦達(dá)；有三位副校長(zhǎng)，分別是張三、李四和王五那么，我們既可以說秦達(dá)是濱江市第一高中校長(zhǎng)，也可以說濱江市第一高中校長(zhǎng)是秦達(dá)我們可以說張三是濱江市第一高中副校長(zhǎng)，但不能說濱江市第一高中副校長(zhǎng)是張三所以，不考慮邏輯，隨便說話，就容易犯錯(cuò)

數(shù)學(xué)中類似的例子很多，比如“自然數(shù)的單位”這個(gè)問題以下面兩道判斷題為例，很多人在做這兩道題時(shí)，往往會(huì)掉入陷阱

(1)自然數(shù)的單位是1

( )

(2)1是自然數(shù)的單位

( )

第(1)題，“自然數(shù)的單位是1”這道判斷題是錯(cuò)的，因?yàn)?，自然?shù)的單位不是唯一的，有個(gè)(一)，十，百，千，萬，十萬，百萬，千萬，億，…，所以我們可以說：

個(gè)(一)是自然數(shù)的單位，

十是自然數(shù)的單位，

一百是自然數(shù)的單位，

一千是自然數(shù)的單位

……

但是不能說：

自然數(shù)的單位是個(gè)(一)，

自然數(shù)的單位是十，

自然數(shù)的單位是一百，

自然數(shù)的單位是一千

于是，上面的第(2)題“1是自然數(shù)的單位”是正確的

從數(shù)學(xué)的角度看，雖然自然數(shù)的單位有很多，但是自然數(shù)的基本單位只有一個(gè)，那就是“1”所以，我們既可以說自然數(shù)的基本單位是1，也可以說1是自然數(shù)的基本單位

由此看來，給定數(shù)列的前幾項(xiàng)，如果根據(jù)這個(gè)數(shù)列前幾項(xiàng)的排列規(guī)律，只能唯一地寫出這個(gè)數(shù)列的以后各項(xiàng)，那么背景材料一的解題過程和背景材料二的題目中的“一個(gè)”就顯得不重要了，“一個(gè)”既可以寫，也可以不寫如果根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出的數(shù)列的以后各項(xiàng)不是唯一的，那么，前文所述的背景材料一的解題過程和背景材料二的題目中，“一個(gè)”就不能不寫了

于是，我們要研究的問題就變成：給定數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)這個(gè)數(shù)列前幾項(xiàng)的排列規(guī)律寫出的這個(gè)數(shù)列的以后各項(xiàng)是否唯一

三、分析問題

因?yàn)閿?shù)列的項(xiàng)形形色色，數(shù)列的個(gè)數(shù)有無窮多個(gè)，所以要直接回答“給定數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)這個(gè)數(shù)列前幾項(xiàng)的排列規(guī)律寫出的這個(gè)數(shù)列的以后各項(xiàng)是否唯一”這個(gè)問題，就顯得十分困難需要從具體例子入手展開研究

看到這里，讀者心里肯定會(huì)想：那么結(jié)論到底是什么？下面，我們就以數(shù)列2，4，8，…的通項(xiàng)公式為例進(jìn)行研究

對(duì)于數(shù)列2，4，8，…，絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)很快求得它的通項(xiàng)公式為=2

理由：因?yàn)?2,=4,=8，

所以這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，且公比=2由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得

=·-1=2×2-1=2

從而得出數(shù)列2，4，8，…的通項(xiàng)公式是=2的結(jié)論

我們的結(jié)論是數(shù)列2，4，8,…的通項(xiàng)公式不是唯一的，=2只是它的一個(gè)通項(xiàng)公式，而它的通項(xiàng)公式還可以有其他形式

由此可見，背景材料一中，例題的說法沒有問題，問題在于，它的解題過程中漏掉了“一個(gè)”二字正確的解題過程如下：

此數(shù)列的前4項(xiàng)2，4，6，8都是項(xiàng)數(shù)的2倍，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是=2

同樣，背景材料二的題目中，問題也是漏掉了“一個(gè)”二字題目應(yīng)該改為數(shù)列1，3，5，7，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

四、解決問題

數(shù)列,,,,…,…從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差按前后次序，排成了一個(gè)新數(shù)列-,-,-…,+1-,…

前面那個(gè)新數(shù)列2，4，6，…可以看成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列顯然，數(shù)列,,,,…,…與等差數(shù)列有一定的“血緣關(guān)系”，數(shù)列理論中把這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列為區(qū)別于二階等差數(shù)列，我們把通常定義的等差數(shù)列稱為一階等差數(shù)列那么二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如何求呢？我們可以采用求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的思路解決此問題

設(shè)數(shù)列,,，…,,…是一個(gè)二階等差數(shù)列，為了書寫的方便，我們把數(shù)列-,-,-，…,+1-,…簡(jiǎn)記為

,,,…,,…

(1)

則數(shù)列(1)為等差數(shù)列，且有=+1-(≥1,∈)

設(shè)數(shù)列(1)的公差為，則

=-=-=…=+1-(≥1,∈)，

因此，=-=(-)-(-)=-2+

由于=+(-1)，

∴+1-=+(-1)，

即+1=++(-1)

依此規(guī)律，則有

=+，

=++，

=++2，

……

=-1++(-2)

把上面各式左右分別相加，得

這就是二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中，=-，

=-2+

我們來檢驗(yàn)一下其正確性：

當(dāng)=1時(shí)，=1-1+2=2；

當(dāng)=2時(shí)，=2-2+2=4；

當(dāng)=3時(shí)，=3-3+2=8；

當(dāng)=4時(shí)，=4-4+2=14

完全正確！

這樣，上面得到的結(jié)論又進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)列2，4，8，…的通項(xiàng)公式不唯一=2是它的一個(gè)通項(xiàng)公式，此時(shí)，=2=16=-+2也是它的一個(gè)通項(xiàng)公式，此時(shí)=14那么以2，4，8為前3項(xiàng)的數(shù)列，通項(xiàng)公式到底有幾個(gè)呢？2個(gè)，3個(gè)，……，還是無數(shù)個(gè)？

要回答這個(gè)問題，我們還是用事實(shí)加以證明有人說，=-5+10-4也是它的一個(gè)通項(xiàng)公式，對(duì)不對(duì)呢？

我們來代入檢驗(yàn)：

當(dāng)=1時(shí)，=1-5×1+10×1-4=2；

當(dāng)=2時(shí)，=2-5×2+10×2-4=4；

當(dāng)=3時(shí)，=3-5×3+10×3-4=8；

所以，=-5+10-4確實(shí)是數(shù)列2，4，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式，只不過這時(shí)=4-5×4+10×4-4=20(注意，這時(shí)通項(xiàng)公式是的3次方的形式，原數(shù)列已經(jīng)變成三階等差數(shù)列了)

綜上所述，我們不難得出結(jié)論：以2，4，8為前3項(xiàng)的數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一如果把=2當(dāng)作一個(gè)通項(xiàng)公式，第4項(xiàng)就是16；如果把=-+2當(dāng)作一個(gè)通項(xiàng)公式，第4項(xiàng)就是14；如果把=-5+10-4當(dāng)作一個(gè)通項(xiàng)公式，第4項(xiàng)就是20通項(xiàng)公式不同，第4項(xiàng)也不同如果我們大膽假設(shè)第4項(xiàng)為任意給定的一個(gè)實(shí)數(shù)，是否能得到這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式呢？因?yàn)?，4，8，是4個(gè)已知數(shù)，我們不妨把通項(xiàng)公式設(shè)成4個(gè)參數(shù)的形式

已知數(shù)列為2，4，8，，…

設(shè)它的一個(gè)通項(xiàng)公式為=+++

其中，,,,為待定系數(shù)把=1,2,3,4代入，得方程組如下：

這樣，每給出一個(gè)值，就可以求得相應(yīng)的,,,，從而得到所給數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

事實(shí)上，=14時(shí)，=0,=1,=-1,=2，這正是前面的通項(xiàng)公式=-+2；當(dāng)=20時(shí)，=1,=-5,=10,=-4，這正是前面的通項(xiàng)公式=-5+10-4

由于可以取任意實(shí)數(shù)，這樣就有無窮多組,,,的值滿足條件，所以，以2，4，8為前3項(xiàng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式有無窮多個(gè)每給定第4項(xiàng)的一個(gè)值，就可以得到一個(gè)通項(xiàng)公式不過，這里得到的無窮多個(gè)通項(xiàng)公式，都是用項(xiàng)數(shù)的三次多項(xiàng)式表示的，并不包括用其他形式(如用指數(shù)形式2)表示的通項(xiàng)公式因此，要寫全所有的通項(xiàng)公式是辦不到的可見，無論是出題還是解題，“一個(gè)”二字千萬不能漏寫

五、總結(jié)反思

一般而言，使用省略號(hào)時(shí)應(yīng)明確所省略的各項(xiàng)是按照什么規(guī)律排列的這里只給出數(shù)列的前三項(xiàng)，而沒有明確其后面省略的各項(xiàng)，即沒有說明從第四項(xiàng)起以后的各項(xiàng)所遵循的規(guī)律，由于第四項(xiàng)的不同，可以得到無窮多個(gè)滿足前三項(xiàng)要求的通項(xiàng)公式同樣，第四項(xiàng)相同而沒有明確用什么規(guī)律來確定第五項(xiàng)，還是可以得到無窮多個(gè)通項(xiàng)公式以此類推，我們可以得出一個(gè)共同的結(jié)論：只給出前若干項(xiàng)的數(shù)列，總可以得到無窮多個(gè)通項(xiàng)公式

在教學(xué)實(shí)踐中，我們應(yīng)該形成這樣一種共識(shí)：如果出題者的意圖是求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么應(yīng)當(dāng)在題目中加上“等比數(shù)列”這一條件，即題目應(yīng)改為“已知等比數(shù)列2，4，8，…，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式”這時(shí)省略號(hào)所省略的各項(xiàng)，可按等比數(shù)列的規(guī)律逐一寫出，它的通項(xiàng)公式就是=2

同樣道理，求數(shù)列1，3，5，…的通項(xiàng)公式，省略掉的規(guī)律也不具體，因此也有無窮多個(gè)滿足前三個(gè)條件的通項(xiàng)公式，如=-6+13-7就是其中之一如果題目是考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么應(yīng)加上“等差數(shù)列”這一條件

對(duì)于自然數(shù)列，應(yīng)寫成自然數(shù)列1，2，3，…

有些數(shù)列沒有特殊的名稱，那么應(yīng)寫出它的通項(xiàng)(也就是一般項(xiàng))以表示所省略的各項(xiàng)的規(guī)律例如：

1·2,2·4,3·8,…,·2,…;

1·2·3，2·3·9，3·4·27，…，·(+1)·3,…

當(dāng)然，一些教科書考查的是學(xué)生通過觀察來發(fā)現(xiàn)由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)找出熟知的規(guī)律，從而能依次寫出以后的各項(xiàng)，進(jìn)而寫出它的通項(xiàng)公式的能力，如：

2,4,8,…;