數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)案例探究
——基本不等式的證明教學(xué)案例

◎張 薇

(江蘇省奔牛高級中學(xué)，江蘇 常州 213131)

一、背景描述

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：新課程的目標(biāo)之一為通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值課程的設(shè)計依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實踐和數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動，而數(shù)學(xué)的價值與數(shù)學(xué)文化密切相關(guān)

英國數(shù)學(xué)史學(xué)家福韋爾認為數(shù)學(xué)史讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)文化的多元性，提供了社會和文化因素決定數(shù)學(xué)發(fā)展的例子，他總結(jié)了數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的15條理由：(1)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)動機；(2)改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀；(3)因為知道并非只有他們自己有困難，因而得到安慰；(4)使數(shù)學(xué)不那么可怕；(5)有助于保持對數(shù)學(xué)的興趣；(6)給予數(shù)學(xué)人文的一面；(7)有助于解釋數(shù)學(xué)在社會中的作用；(8)有助于發(fā)展多元文化進路；(9)歷史發(fā)展有助于安排課程內(nèi)容順序；(10)告訴學(xué)生概念如何發(fā)展，有助于他們對概念的理解；(11)通過古今方法的對比，確立現(xiàn)代方法的價值；(12)提供探究的機會；(13)過去的發(fā)展障礙有助于解釋今天學(xué)生的學(xué)習(xí)困難；(14)培養(yǎng)優(yōu)秀生的遠見卓識；(15)提供跨學(xué)科合作的機會由此可見，數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中有重要作用

以下給出“基本不等式”一節(jié)在四版教科書中的位置、呈現(xiàn)方式以及前后知識順序

教科書版本位置呈現(xiàn)方式前后知識順序人教版A版必修五3.4基本不等式探究趙爽弦圖,引出基本不等式,利用作差法證明基本不等式,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學(xué)習(xí)不等式關(guān)系與不等式(含重要不等式),再學(xué)習(xí)基本不等式,最后學(xué)習(xí)一元二次不等式和二元一次不等式人教版B版必修一2.2.4均值不等式及其應(yīng)用從等周問題及等面積問題引出基本不等式,列舉表格,利用特值判斷大小關(guān)系,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì),然后學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學(xué)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用.滬教版高一第一學(xué)期2.4基本不等式從等周問題引出基本不等式,通過作差法證明基本不等式,利用弦圖和直角三角形模型給出基本不等式的幾何模型.先學(xué)習(xí)不等式的基本性質(zhì),然后學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學(xué)習(xí)基本不等式及其應(yīng)用.蘇教版必修一3.2基本不等式通過不等臂天平問題引出基本不等式,給出基本不等式的三種證明方法,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何模型,趙爽弦圖作為課后習(xí)題出現(xiàn).先學(xué)習(xí)不等關(guān)系,然后學(xué)習(xí)基本不等式,最后學(xué)習(xí)從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式.

在呈現(xiàn)方式上，四版教科書分別從趙爽弦圖、等周問題、等周問題、不等臂天平問題引出基本不等式，在順序上都是先學(xué)習(xí)不等關(guān)系再學(xué)習(xí)基本不等式

二、案例展示

以下就“基本不等式的證明”的幾種不同教學(xué)設(shè)計略談一孔之見

設(shè)計一：從不等臂天平引入

1片段1——設(shè)置問題情境

【設(shè)計意圖】給不等臂天平賦予趣味性的背景，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生解決問題的強烈愿望

2片段2——組織探究活動

問題1：用這個不等臂的天平，你能不能求出珠寶的實際質(zhì)量？

問題2：你是否贊同珠寶商的方案？

師：非常好！同學(xué)們已經(jīng)走出了得到數(shù)學(xué)真理的第一步：實驗—猜想—歸納數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，我們不能滿足于直觀獲得的結(jié)論，而要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韥碜C明這個結(jié)論你能給出它的證明嗎？

【設(shè)計意圖】學(xué)生從案例出發(fā)，有了解決問題的迫切需要

3片段3——展開科學(xué)論證

學(xué)生獨立證明并板書，教師總結(jié)

≤0

∴4≤+2+，

∴-2+≥0，

即(-)≥0,顯然成立

師：觀察兩位同學(xué)的證明過程，說說你的看法

生6：第一種方法是作差比較法，也可以平方以后作差；第二種方法把要證明的結(jié)論當(dāng)條件用了，需要把順序顛倒一下

∵(-)≥0，∴-2+≥0，

生7：老師，你看這樣改可以嗎？

因為(-)≥0成立，所以等式成立

師：非常好！雖然第二種方法有點小問題，但是我們稍微改動一下就得到兩種不同的方法，其中學(xué)生7的方法我們稱之為分析法，學(xué)生6的方法我們稱之為綜合法我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生6的方法并不是一眼就能看出來的，而是建立在先對題目進行分析，也就是分析法的基礎(chǔ)上書寫的所以，一般我們可以先用分析法進行分析，再用綜合法證明看來珠寶商還是多賺錢的，只有=時他才是一個守法的商人啊!

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)請同學(xué)板演，選一位從結(jié)論開始證明的同學(xué)，在同學(xué)們的分析中發(fā)現(xiàn)問題，經(jīng)過自己的思考得到正確的結(jié)果學(xué)生經(jīng)歷了猜想—嘗試—修正—得到結(jié)論的過程，收獲了成功的喜悅，對問題有了更深層次的理解

這是學(xué)生進行的一次深度學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了一次從舊知到新知的過程學(xué)生對自己猜想的結(jié)果進行證明，獲得了新的知識，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，完成了一次科學(xué)探究的過程：“提出問題”—“猜想與假設(shè)”—“實驗和論證”

問題4：對于基本不等式，你有哪些認識？

生8：不等式左邊是積的形式，右邊是和的形式

生9：要注意不等式成立的前提條件是非負數(shù)，等號成立的條件是兩式相等

幾何直觀能啟迪思路、幫助理解，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面，只有做到了直觀上的理解才是真正的理解

【設(shè)計意圖】通過對基本不等式結(jié)構(gòu)的再分析，使學(xué)生對基本不等式有更深層次的理解

設(shè)計二：從趙爽弦圖引入，設(shè)置問題情境

師：同學(xué)們，請欣賞一下趙爽弦圖趙爽，又名嬰，字君卿，東漢末至三國時代吳國人,是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，代表作品《勾股圓方圖注》

問題1：你能在這個圖中找到一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？

圖1

生1：四個直角三角形全等，對應(yīng)的邊角都是相等的

生2：直角三角形的直角邊小于斜邊，小正方形的邊長小于直角三角形的邊長

師：研究一個圖形，除了研究邊角關(guān)系外，還研究它的周長與面積從這個方面看，你還能得到哪些不等關(guān)系？

生3：每個三角形的面積小于大正方形的面積

生4：四個三角形的面積之和小于大正方形的面積

問題2：正方形中有4個全等的直角三角形，設(shè)直角三角形的直角邊分別為,，你能用數(shù)學(xué)符號來表示這個結(jié)論嗎？

生5：2<+(>0,>0)

師：該不等式能否成為等式？,的范圍能否擴大？

生6：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切渭?時，2=+(∈,∈)

師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的基本不等式

下同設(shè)計一

【設(shè)計意圖】通過趙爽弦圖研究面積關(guān)系，引入重要不等式與基本不等式學(xué)生通過趙爽弦圖了解數(shù)學(xué)家趙爽，燃起了強烈的民族自豪感

設(shè)計三：從等周問題引入，設(shè)置問題情境

師：海島很大，古人既沒有航拍圖，也無法測算精確的島嶼面積，他們是怎么確定面積的呢？公元前5世紀(jì)，雅典人修昔底德測量西西里島大小的時候，乘船繞海岸線一周，記錄航行時間在修昔底德看來，繞島一周所花費的時間越長，海岸線越長，也就說明該島的面積越大同學(xué)們，你們覺得這個方法有數(shù)學(xué)依據(jù)嗎？

生1：有數(shù)學(xué)依據(jù)繞島時間越長，說明海岸線越長，意味著島越大

師：公元前2世紀(jì)，歷史學(xué)家波利比烏斯曾說，有人對于等諸城的兩個營地可以容納不同數(shù)量的人感到困惑不解.公元1世紀(jì)，博物學(xué)家老普林尼根據(jù)周長來估算不同地區(qū)的面積.公元5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家普羅克拉斯提到，在他所生活的時代，在某些公有制社會里，有人將周長更大但面積更小的土地分配給別人，而把周長更小面積更大的土地分給自己，還被視為大公無私那么，海岸線越長，就意味著島越大嗎？

生2：不一定一個圖形周長確定的時候，面積不能確定

師：測量的時候還遇到一個問題：有兩座島周長相等，那么哪個面積大呢？聰明的你怎么解決這個問題呢？

生3：我們將海島想象成矩形就可以做了

師：非常好的思路，為了讓這個問題更利于我們現(xiàn)在解讀，可以簡化，假設(shè)兩個圖形都是矩形

問題1：你能證明“在周長為定值的所有矩形中，面積最大的是正方形嗎”？

下同設(shè)計一

【設(shè)計意圖】從數(shù)學(xué)史上的等周問題入手引入基本不等式，學(xué)生經(jīng)歷了一次生活—數(shù)學(xué)—生活的學(xué)習(xí)過程，把握了問題的本質(zhì)，化繁為簡，通過聯(lián)想已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，運用現(xiàn)有知識解決問題，并由此建構(gòu)了新知識，成為教學(xué)活動的主體在這樣的深度教學(xué)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)高級知識都可以由低級知識而來，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信

三、稚化點評

課堂是教師、學(xué)生、教材三要素相互碰撞的場所，最大限度地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位、讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要任務(wù)因此，創(chuàng)設(shè)一個好的課堂情境是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要環(huán)節(jié)“基本不等式”是一節(jié)典型的新授課，有很多的情境引入方式

設(shè)計一從學(xué)生感興趣的實際問題出發(fā)，對書中的情境進行改編，使之更有趣味性，從學(xué)生原有的知識和經(jīng)驗中尋找新知識的生長點，與物理知識的結(jié)合更是拓展了學(xué)生的思維

設(shè)計二從趙爽弦圖入手，問題的設(shè)置引發(fā)學(xué)生積極思考，在追尋先人的腳步中獲得成功的喜悅

設(shè)計三從等周問題入手，對書中比較簡單的情境引入進行史料的豐富，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和解決問題的愿望

筆者所在的教研組對“基本不等式的證明”進行了同題異構(gòu)，三位教師分別采用了設(shè)計一、二、三進行課堂教學(xué)從三節(jié)不同的課例實踐來看，設(shè)計三的學(xué)生上課反映及接受程度更好除了外在的一些原因，如學(xué)生本身的水平及執(zhí)教教師問題的設(shè)置，更多在于情境的設(shè)置非常生動有趣，直接將學(xué)生代入情境，使學(xué)生有了迫切解決問題的愿望在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史并不是為歷史而歷史，而是要使數(shù)學(xué)史發(fā)揮其獨特的作用，否則就毫無意義，只會擠占課堂時間任何一個主題的背后都有豐富的史料，但并非所有史料都適合課堂教學(xué)，這就需要執(zhí)教教師大量閱讀，有豐富的知識積累，化繁為簡，設(shè)計適合學(xué)情的情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展興趣、培養(yǎng)自信、獲得成功

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程，教師會遇到很多困難，如資料欠缺、學(xué)生無基礎(chǔ)等，但要明白在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的價值與重要性，只有提高自己的數(shù)學(xué)史積累才能做到融會貫通、引入自然、潤物細無聲