新高考背景下的一個高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例
——拋物線的簡單幾何性質(zhì)(第一課時)

◎叢文娟

(新安中學(xué)集團高中部,廣東 深圳 518101)

一、引 言

新高考背景下，知識的傳授不應(yīng)當(dāng)局限于知識本身，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中，始終以提高學(xué)生能力和素養(yǎng)為目標(biāo)本節(jié)教學(xué)設(shè)計中，數(shù)形結(jié)合的思想貫穿始終，讓學(xué)生從“形”的角度直觀感受，從“數(shù)”的角度進(jìn)行驗證，有助于提高學(xué)生的邏輯推理能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)運算能力等核心素養(yǎng)

二、教學(xué)目標(biāo)

1掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率

2能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論

3對通徑、焦半徑公式進(jìn)行初步探索

4進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

三、教學(xué)重難點

1教學(xué)重點：拋物線的簡單幾何性質(zhì)、利用拋物線的幾何性質(zhì)求方程、對通徑與焦半徑公式的初步探究

2教學(xué)難點：利用數(shù)形結(jié)合思想對通徑、焦半徑公式進(jìn)行探究

四、教學(xué)過程

1利用數(shù)形結(jié)合思想探究拋物線的簡單幾何性質(zhì)

11 知識回顧，溫故知新

【學(xué)生活動】學(xué)生完成學(xué)案內(nèi)容，對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等進(jìn)行復(fù)習(xí)

圖形方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點p2,0()-p2,0()0,p2()0,-p2()準(zhǔn)線x=-p2x=p2y=-p2y=p2

【設(shè)計意圖】之前學(xué)過橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，都是通過圖形和方程兩方面進(jìn)行研究的，因此引導(dǎo)學(xué)生對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程進(jìn)行復(fù)習(xí)，有利于進(jìn)一步探索拋物線的性質(zhì)

12 數(shù)形結(jié)合，類比探究

1類比用標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法，思考：我們要研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)？

前面學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的范圍、對稱性、頂點和離心率，在雙曲線中還學(xué)習(xí)了漸近線，我們是通過“數(shù)”和“形”兩方面對橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行探究的

【設(shè)計意圖】類比橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的研究思路，為接下來用數(shù)形結(jié)合法研究拋物線的幾何性質(zhì)做鋪墊

2觀察圖1，你能發(fā)現(xiàn)拋物線橫、縱坐標(biāo)的取值范圍嗎？

圖1

通過觀察圖形，學(xué)生很容易得到開口向右的拋物線的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍，即為≥0,∈

3從數(shù)的角度，也就是從拋物線方程的角度，怎樣得到拋物線的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍呢？

在方程=2,>0中，并無限制，因此∈因為2=≥0，且>0，所以≥0

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的取值范圍

4觀察圖2，拋物線有幾條對稱軸？是否有對稱中心？

圖2

觀察圖形，容易發(fā)現(xiàn)開口向右的拋物線關(guān)于軸對稱，沒有對稱中心

5從“數(shù)”的角度，怎樣說明拋物線=2,>0的圖像關(guān)于軸對稱？

要說明拋物線的圖像關(guān)于軸對稱，只需要在拋物線上任取一點(,)，說明(,)關(guān)于軸的對稱點′(,-)也在拋物線上即可

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的對稱性

6根據(jù)圖3，你能寫出拋物線的頂點坐標(biāo)嗎？

圖3

(0,0)

7從“數(shù)”的角度，如何從方程中得到拋物線的頂點？

在拋物線方程中，=2,>0，令=0，得到=0

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的頂點

給出拋物線離心率的定義，并根據(jù)拋物線的定義得出離心率為1

此時，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓和雙曲線的定義和取值范圍

13 適時歸納，總結(jié)提升

①(范圍)拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)

②(對稱性)拋物線只有1條對稱軸,沒有對稱中心

③(頂點)拋物線只有1個頂點、1個焦點、1條準(zhǔn)線

④(離心率)拋物線的離心率是確定值1

2一題多變，一題多解，學(xué)以致用

【設(shè)計意圖】例題1和變式訓(xùn)練都是對拋物線性質(zhì)的初步應(yīng)用，進(jìn)一步強化待定系數(shù)法求拋物線方程的訓(xùn)練

2斜率為1的直線經(jīng)過拋物線=4的焦點，且與拋物線交于,兩點，求線段的長

方法1：聯(lián)立直線和拋物線方程，求出,兩點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出的長

方法2：利用拋物線的定義，將焦點弦的長度轉(zhuǎn)化為兩個焦半徑的長度,可以利用方法1求出,，也可使用韋達(dá)定理

||=||+||=(+1)+(+1)=++2

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，為接下來探索焦半徑和通徑公式做鋪墊

8連接拋物線上一點與焦點的線段叫作拋物線的焦點弦根據(jù)例題2的方法2，你能否得到拋物線的焦點弦公式？

9你能否總結(jié)出另外三種拋物線的焦半徑公式？

10有一種特殊的焦點弦，它垂直于拋物線的對稱軸，這種焦點弦叫作通徑你能根據(jù)焦半徑公式求出通徑的長度嗎？

通徑||=2

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對焦半徑公式、通徑進(jìn)行提煉與總結(jié)

3深入思考，思維升華

1雙曲線的開口大小由離心率來衡量，那么拋物線的開口大小怎樣確定呢？

通徑越長，開口越大

【設(shè)計意圖】類比雙曲線，引導(dǎo)學(xué)生利用通徑對拋物線的形狀進(jìn)一步探索

2通徑是一類特殊的焦點弦，那么通徑是拋物線最短的焦點弦嗎？

【設(shè)計意圖】思考2由特殊抽象到一般，為下一節(jié)課進(jìn)一步探索拋物線的焦點弦問題埋下伏筆在下節(jié)課中，將采用更為多樣的方法求證“通徑就是拋物線最短的焦點弦”

4小組活動，總結(jié)提升

【小組活動】小組合作，探究另外三種拋物線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點準(zhǔn)線范圍頂點對稱軸離心率焦半徑通徑y(tǒng)2=2px(p>0)p2,0()x=-p2x≥0y∈Ry2=-2px(p>0)-p2,0()x=p2x≤0y∈Rx2=2py(p>0)0,p2()y=-p2y≥0x∈Rx2=-2py(p>0)0,-p2()y=p2y≤0x∈R(0,0)x軸y軸e=1x1+p2-x1+p2y1+p2-y1+p22p

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想對其他三種拋物線進(jìn)行探究

總結(jié)課堂內(nèi)容并提出思考：你還有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？

【設(shè)計意圖】(1)梳理本節(jié)內(nèi)容，提煉方法

(2)為下節(jié)課繼續(xù)探究焦點弦問題埋下伏筆

四、課后作業(yè)

(1)《數(shù)學(xué)選修2-1》第136頁課后習(xí)題

(2)思考：你還有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？

本節(jié)課作為一節(jié)真實課例(40分鐘)，將數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，采用小組合作探究、問題串等形式，讓課堂充滿活力，從而提高學(xué)生的核心素養(yǎng)課堂最后，“通徑是否為拋物線最短的焦點弦”這個問題拋磚引玉，為下節(jié)課繼續(xù)研究拋物線的焦點弦問題埋下伏筆