抓圖形對稱顯互逆本質(zhì)，借知識類比促能力遷移
——“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計

◎張麗麗

(深圳市坪山高級中學(xué)，廣東 深圳 518000)

一、教學(xué)設(shè)計思想

本節(jié)課通過互化，學(xué)生從形式上理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系；通過作圖和對折，學(xué)生從實(shí)質(zhì)上理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系通過復(fù)習(xí)回顧指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，借助指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，類比、總結(jié)、歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力

二、教學(xué)分析

1教材分析

函數(shù)是高中重要的知識模塊，“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”是高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識中的一個重點(diǎn)內(nèi)容，也是在解決實(shí)際問題時常見的一種函數(shù)模型通過學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生樹立對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維通過對知識進(jìn)行遷移，培養(yǎng)學(xué)生類比推理、遷移知識的基本數(shù)學(xué)能力

2學(xué)情分析

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，掌握了一定的學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)知識，為后面深入學(xué)習(xí)和研究基本初等函數(shù)及其性質(zhì)夯實(shí)了基礎(chǔ)在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過學(xué)習(xí)具體的指數(shù)式和指數(shù)函數(shù)，儲備了研究函數(shù)概念和模型的一些基本方法和步驟；又通過學(xué)習(xí)對數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算，了解了指數(shù)式和對數(shù)式之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，從而為本節(jié)課“對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的學(xué)習(xí)提供了基本的知識儲備

三、教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)；

2能運(yùn)用圖像和性質(zhì)解決有關(guān)求定義域、比較大小、過定點(diǎn)等問題

【過程與方法】

1經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系探究的過程，體會通過互化從形式上理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，通過作圖和對折從本質(zhì)上理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，掌握從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；

2通過指數(shù)函數(shù)概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，類比對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)類比、分析、歸納推理能力

【情感態(tài)度與價值觀】

1通過指對關(guān)系的學(xué)習(xí)，樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和進(jìn)取精神；

2通過指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識的遷移，感受理論與實(shí)踐的統(tǒng)一，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)

四、教學(xué)重點(diǎn)

1對數(shù)函數(shù)概念形成的過程；

2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間關(guān)系的理解；

3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的形成過程及靈活運(yùn)用

五、教學(xué)流程

六、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：情境引入

引例1：《指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)詩》

晨霧茫茫礙交通，蘑菇核云蔽長空；

化石歲月巧推算，文海索句快如風(fēng)；

指數(shù)對數(shù)相輝映，立方平方看對稱；

解釋大千無限事，三族函數(shù)建奇功

【設(shè)計意圖】詩歌引入，形式新穎，易于引起學(xué)生注意，激發(fā)探究的欲望通過這首函數(shù)詩，帶領(lǐng)學(xué)生感受函數(shù)在不同形態(tài)下的別樣魅力

環(huán)節(jié)2：對數(shù)函數(shù)的概念

1引例探索

引例2：將下列指數(shù)式化成對數(shù)式

思考1：①②是指數(shù)式，對應(yīng)的是對數(shù)式；③④是具體的指數(shù)函數(shù)，其對應(yīng)互化后的函數(shù)是具體的對數(shù)函數(shù)嗎？⑤是一般形式的指數(shù)函數(shù)，其對應(yīng)的函數(shù)是一般形式的對數(shù)函數(shù)嗎？若不是，又該如何化成對數(shù)函數(shù)？

【設(shè)計意圖】具體和一般形式的指對互化，通過類比進(jìn)行知識遷移

2形成概念

類比指數(shù)函數(shù)的概念，總結(jié)對數(shù)函數(shù)的概念

指數(shù)函數(shù)的定義對數(shù)函數(shù)的定義一般地,形如y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數(shù)函數(shù).一般地,形如y=logax(a>0,且a≠1)叫作對數(shù)函數(shù)定義域:x∈R定義域:x∈(0,+∞)值域:y∈R

【設(shè)計意圖】類比指數(shù)函數(shù)，探究對數(shù)函數(shù)的概念

3概念辨析

引例3：判斷下列函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù)

(1)=2log;

(2)=log+1;

(3)=log(2+1);

(4)=log3;

(5)=log

變式：若函數(shù)=(-3+3)log是對數(shù)函數(shù)，求的值

【設(shè)計意圖】通過典例強(qiáng)化對對數(shù)函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延的理解，通過變式訓(xùn)練加強(qiáng)鞏固

環(huán)節(jié)3：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系

1分析與驗(yàn)證

思考2：觀察下列變化過程，

【設(shè)計意圖】通過互化，引導(dǎo)學(xué)生從形式上感受指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)的本質(zhì)，即通過自變量與函數(shù)值之間的對調(diào)，得到對數(shù)函數(shù)形式，從而在本質(zhì)上進(jìn)一步理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互逆的本質(zhì)特征

【設(shè)計意圖】通過在網(wǎng)格紙上描出上升和下降型的兩個指數(shù)函數(shù)圖像上的幾個具體的點(diǎn)，再描出它們關(guān)于=對稱的點(diǎn)，再進(jìn)一步將點(diǎn)連接形成圖形，從而得到相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖像主要從數(shù)據(jù)特征方面去理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互逆的本質(zhì)特征，達(dá)到對知識深刻的理解

2探索與總結(jié)

思考4：動手折疊，探索所畫圖形具有怎樣的對稱性？

【總結(jié)】通過找對稱點(diǎn)、動手作圖、折紙?zhí)剿?，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像對稱關(guān)系的本質(zhì)知道具有這種對稱關(guān)系的函數(shù)互為反函數(shù)

【設(shè)計意圖】透過表象看本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究問題的本質(zhì)通過動手作圖，折紙驗(yàn)證猜想，培養(yǎng)學(xué)生的探究欲望和實(shí)踐能力

環(huán)節(jié)4：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

1性質(zhì)探究

復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，類比歸納總結(jié)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，完成下面的表格：

函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)圖像0101定義域值域過定點(diǎn)單調(diào)性關(guān)鍵點(diǎn)漸近線

2性質(zhì)運(yùn)用

引例4：求下列函數(shù)的定義域

(1)=log(4-)；

引例5：函數(shù)=log(-1)+2 (>0,且≠1)的圖像恒過定點(diǎn)

引例6：比較下列各題中函數(shù)值的大小

(1)log34和log85；

(2)log0318和log0327；

(3)log51和log59(>0,且≠1)；

(4)log3和logπ

變式：設(shè)=log2,=log2,=log3，則,,的大小關(guān)系為

【設(shè)計意圖】通過類比指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，歸納對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，有助于學(xué)生深刻把握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系

環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)

(1)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？(知識)

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你用到了哪些思想方法？ (思想方法)

(3)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的哪些能力得到了提升？(能力)

【設(shè)計意圖】通過問題式的總結(jié)與反思，促進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的概括和對已有知識的重組

七、教學(xué)反思

1設(shè)計有靈魂

(1)詩歌引入見奇效

本節(jié)課用函數(shù)詩進(jìn)行引入，既從宏觀上展示了高中階段三大基本初等函數(shù)及其在生活中的應(yīng)用，又在細(xì)節(jié)上描述了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)間的關(guān)系，為后續(xù)借助指數(shù)函數(shù)來研究對數(shù)函數(shù)提供了方向，同時展示了數(shù)學(xué)的文化魅力和人文價值，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

(2)從特殊到一般

從學(xué)生熟悉的指數(shù)式和對數(shù)式的互化入手，符合教育學(xué)中的最近發(fā)展區(qū)理論，將特殊的指數(shù)式及指數(shù)函數(shù)式互化為相應(yīng)的對數(shù)式，既有利于獲得學(xué)生的認(rèn)同感，又加深學(xué)生對指、對關(guān)系的深入理解

(3) 類比充分記憶深

充分利用類比的方法，類比研究指數(shù)函數(shù)的模式研究對數(shù)函數(shù)，類比學(xué)習(xí)歸納指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的方法，歸納總結(jié)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，既達(dá)到對本節(jié)課內(nèi)容的理解，又鞏固深化了研究函數(shù)的基本模式和方法

(4)巧抓對稱特征，凸顯互逆本質(zhì)

在完成具體的指數(shù)式和對數(shù)式互化后，通過作函數(shù)圖像(列表、描點(diǎn)、連線)，從圖形上理解指、對函數(shù)間的關(guān)系，抓住圖形對稱特征，深入理解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)間對稱關(guān)系的本質(zhì)

2方法有創(chuàng)新

(1)問題促思考

在指對互化式環(huán)節(jié)中，以提問的形式促進(jìn)學(xué)生思考，既能快速抓住學(xué)生的注意力，又能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會研究、學(xué)會領(lǐng)悟，有利于學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

(2)動手實(shí)踐顯本質(zhì)

通過列表、描點(diǎn)、連線作圖，動手折疊觀察圖形的對稱關(guān)系，學(xué)生體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐和探究的精神

3效果有檢測

總結(jié)得出對數(shù)函數(shù)的概念后，為了幫助學(xué)生理解定義式，教師設(shè)計了例題和變式，檢測學(xué)生對概念學(xué)習(xí)和理解的效果；類比指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，總結(jié)歸納出對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，要求學(xué)生學(xué)會換位思考，站在命題者的角度思考可供考查的知識點(diǎn)，通過設(shè)計配套的例題，檢測學(xué)生對性質(zhì)的理解和靈活運(yùn)用

4小結(jié)有層次

課堂小結(jié)從知識、思想方法和能力三個維度進(jìn)行總結(jié)提煉，既幫助學(xué)生將本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行了再次強(qiáng)化，又站在一定的高度思考，從而提升了學(xué)生的思維水平在能力提升方面，借助對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)與前面所學(xué)知識間的聯(lián)系，對數(shù)函數(shù)與對數(shù)式是一般與特殊的關(guān)系，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)既平行又相關(guān)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)又都是函數(shù)，當(dāng)然符合函數(shù)的研究模式，在具體的知識點(diǎn)考察時又與第一章集合的運(yùn)算緊密相連，從而達(dá)將高一目前所學(xué)的知識進(jìn)行融會貫通的目的

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)是高中學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)又是一個重點(diǎn)，通過建立跟指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，抓住圖形之間的對稱關(guān)系，闡明二者互逆的本質(zhì)，即有利于幫助學(xué)生理解和掌握知識，又能夠培養(yǎng)學(xué)生類比遷移的能力