以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向的研究生數(shù)學(xué)教學(xué)探索與實(shí)踐

陳菁菁 金美含 羅欽

[摘 要] “應(yīng)用數(shù)學(xué)”是工科類專業(yè)碩士研究生的必修課。從適應(yīng)當(dāng)前技術(shù)發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需求出發(fā)，以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重融合數(shù)學(xué)知識(shí)框架構(gòu)建、數(shù)學(xué)方法理解應(yīng)用與數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練三個(gè)方面的內(nèi)容。引入全面質(zhì)量管理PDCA理念，教師通過課前、課中、課后的PDCA循環(huán)過程，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)、專業(yè)理論研究、解決實(shí)際問題構(gòu)建聯(lián)系，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和系統(tǒng)性思維的能力，為后續(xù)專業(yè)課程及其他相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的能力基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞] 應(yīng)用數(shù)學(xué);碩士研究生教學(xué);專業(yè)應(yīng)用;PDCA循環(huán)

[基金項(xiàng)目] 2019年度廣東省教育廳廣東省本科高校教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程建設(shè)項(xiàng)目“‘交通運(yùn)輸’特色專業(yè)”;2021年度深圳技術(shù)大學(xué)研究生課程教學(xué)案例項(xiàng)目“應(yīng)用數(shù)學(xué)”（20213108080002）

[作者簡介] 陳菁菁（1977—），女，湖南新寧人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)城市交通與物流學(xué)院教授，主要從事交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理、應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)研究;金美含（1988—），女（朝鮮族），吉林省吉林市人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)城市交通與物流學(xué)院教授，主要從事時(shí)空大數(shù)據(jù)挖掘、應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)研究;羅 欽（1982—），男，湖南瀏陽人，博士，深圳技術(shù)大學(xué)城市交通與物流學(xué)院教授，主要從事軌道交通運(yùn)營組織管理研究。

[中圖分類號(hào)] G643 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）25-0132-04 [收稿日期] 2022-03-14

科技需要數(shù)學(xué)的支撐，計(jì)算機(jī)、控制論、信息論、計(jì)算數(shù)學(xué)、博弈論等具有強(qiáng)大生命力的數(shù)學(xué)分支都是新技術(shù)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)應(yīng)用與行業(yè)發(fā)展相輔相成。數(shù)學(xué)是工程實(shí)踐的重要基礎(chǔ)，是研究生必備的基礎(chǔ)知識(shí)。利用數(shù)學(xué)工具解決工程問題的能力是工科研究生能力培養(yǎng)中非常重要的目標(biāo)。一方面，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)偏重理論推導(dǎo)，缺少數(shù)學(xué)在工程中的應(yīng)用，特別缺乏專業(yè)針對(duì)性強(qiáng)的應(yīng)用;另一方面，技術(shù)和行業(yè)的發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力提出了新的要求，需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與工程實(shí)際需求的緊密結(jié)合。

一、基于專業(yè)應(yīng)用構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間及信息等概念的一門學(xué)科，其分支龐大，內(nèi)容深?yuàn)W，應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不可能面面俱到。而不同專業(yè)研究生的研究領(lǐng)域差異明顯，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)需求也存在差異。在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容選擇上，教師應(yīng)分析專業(yè)領(lǐng)域的核心理論和發(fā)展趨勢(shì)，突出關(guān)鍵應(yīng)用，有重點(diǎn)有選擇地講授數(shù)學(xué)理論知識(shí)。同時(shí)，關(guān)注專業(yè)發(fā)展中新研究范式的變化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更新和補(bǔ)充，為學(xué)生構(gòu)建與本專業(yè)或研究方向相關(guān)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)框架，為今后的研究工作開展奠定有效的基礎(chǔ)。

（一）選擇面向?qū)I(yè)應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

教師可以根據(jù)專業(yè)需求對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求，來選擇教學(xué)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)。以交通運(yùn)輸專業(yè)為例，該專業(yè)方向的研究生主要以交通系統(tǒng)為研究對(duì)象，面向由千萬級(jí)個(gè)體出行需求與多種交通方式供給構(gòu)成的復(fù)合網(wǎng)絡(luò)，研究其構(gòu)建和運(yùn)行的相關(guān)問題。

在面向交通運(yùn)輸專業(yè)研究生的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程中，除了常規(guī)概率統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)外，根據(jù)交通行業(yè)發(fā)展和研究新范式的引入，增加復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和大數(shù)據(jù)分析方法等針對(duì)性強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)。交通運(yùn)輸專業(yè)涉及的教學(xué)知識(shí)點(diǎn)如表1所示。

（二）梳理關(guān)鍵數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用體系

當(dāng)知識(shí)點(diǎn)以一種層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式進(jìn)行儲(chǔ)存時(shí)，可以大大提高知識(shí)應(yīng)用時(shí)的檢索效率。教師針對(duì)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向，建立該知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生將碎片化的知識(shí)點(diǎn)加以歸納和整理，按層次排列，使之條理化、綱領(lǐng)化，做到綱舉目張。教師通過數(shù)學(xué)原理講解和專業(yè)應(yīng)用案例分析，比較不同數(shù)學(xué)方法的差異，特別是針對(duì)實(shí)際問題時(shí)不同數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)和局限性。

以交通出行預(yù)測(cè)應(yīng)用為例，對(duì)于交通運(yùn)輸專業(yè)研究生而言，交通出行預(yù)測(cè)是該研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)模型是出行預(yù)測(cè)的重要手段。在教學(xué)過程中，一方面，從數(shù)學(xué)原理層面講解各類預(yù)測(cè)模型的基本原理、發(fā)展趨勢(shì)、模型改進(jìn)方向等;另一方面，結(jié)合該專業(yè)應(yīng)用的不同細(xì)分領(lǐng)域，梳理出數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用體系[1]，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)與專業(yè)應(yīng)用的聯(lián)系。

二、基于案例教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練

在研究生進(jìn)入獨(dú)立研究階段，往往會(huì)出現(xiàn)遇到問題找不到解決思路，知道數(shù)學(xué)原理卻無法有效與專業(yè)研究進(jìn)行對(duì)應(yīng)的問題。研究生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”課程具有理論與應(yīng)用的雙重屬性，比較適合作為學(xué)生思維能力訓(xùn)練載體，且以專業(yè)為單元的教學(xué)規(guī)模、小班化教學(xué)，具備開展思維訓(xùn)練的可行性。

通過案例教學(xué)將知識(shí)講授、思維訓(xùn)練融為一體，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維和解析實(shí)際問題能力的有益嘗試[2]。教師可以利用案例式教學(xué)法，以專業(yè)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)為切入點(diǎn)，結(jié)合專業(yè)實(shí)際問題特點(diǎn)，針對(duì)主要知識(shí)點(diǎn)模塊，收集典型案例，重點(diǎn)講授數(shù)學(xué)應(yīng)用思想和科學(xué)分析方法在專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用。教師可以設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的課堂討論和頭腦風(fēng)暴環(huán)節(jié)，聚焦某一個(gè)問題展開深入討論，包括實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的差異性討論、數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性討論、數(shù)學(xué)解析的局限性討論、實(shí)際問題的復(fù)雜性討論等。

（一）對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的抽象分析能力

抽象能力就是在思維活動(dòng)中，通過對(duì)事物整體性的科學(xué)分析，從復(fù)雜問題中剖析出問題的主線和主要因素，將問題一般化，以分析、綜合、比較為基礎(chǔ)，為判斷和推理提供前提條件，是實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵，也是工科研究生開展研究工作的必備素質(zhì)。

教學(xué)過程中，教師可以以專業(yè)實(shí)踐中的案例為切入點(diǎn)，聚焦學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的訓(xùn)練。可以遵循以下步驟來開展課堂教學(xué)工作：（1）教師選擇行業(yè)熱點(diǎn)研究問題，拋出該問題的現(xiàn)象，通過課題互動(dòng)討論，啟發(fā)學(xué)生思考，并共同總結(jié)問題的核心，特別要注意問題的邊界條件。（2）聚焦某一核心問題進(jìn)行分析，采用5W1H框架（如表2）分析問題要素，定位問題方向和關(guān)鍵要素。（3）引導(dǎo)學(xué)生嘗試將具象問題抽象為一般問題，再選擇數(shù)學(xué)方法，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的方法選擇，并對(duì)比不同學(xué)生在這個(gè)過程中的思考，學(xué)生間互相啟發(fā)，有助于提升學(xué)生的積極性，也可以從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生個(gè)體思維差異。

（二）構(gòu)建專業(yè)邏輯與數(shù)學(xué)邏輯的關(guān)聯(lián)

研究生的培養(yǎng)更加注重學(xué)生在專業(yè)領(lǐng)域的深度研究能力，而數(shù)學(xué)能力是研究能力向縱深發(fā)展的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。但他們往往無法將數(shù)學(xué)邏輯與專業(yè)邏輯進(jìn)行深度融合，影響了數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的有效性。在教學(xué)過程，針對(duì)現(xiàn)實(shí)問題，通過問題剖析和數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，把一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)可以解析的問題，并進(jìn)行求解，得到經(jīng)數(shù)學(xué)分析得出的結(jié)論。同時(shí)，需要把這個(gè)結(jié)論還原到現(xiàn)實(shí)問題中，解釋現(xiàn)實(shí)問題，轉(zhuǎn)化為決策能力，進(jìn)而提升解決問題的能力。

在課堂上，教師和學(xué)生通過專業(yè)或行業(yè)熱點(diǎn)問題相關(guān)案例剖析討論，針對(duì)案例的應(yīng)用場(chǎng)景，啟發(fā)學(xué)生建立專業(yè)邏輯與數(shù)學(xué)邏輯的關(guān)聯(lián)。一方面，可以圍繞某一個(gè)數(shù)學(xué)理論或原理，選取專業(yè)相關(guān)的多個(gè)實(shí)例，讓學(xué)生從不同的角度理解某一個(gè)理論原理的多維度應(yīng)用。比如，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論可以應(yīng)用于交通網(wǎng)絡(luò)分析，這一理論既可以針對(duì)靜態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行研究，也可以針對(duì)動(dòng)態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性進(jìn)行研究。另一方面，從某一個(gè)專業(yè)的典型案例出發(fā)，將多個(gè)數(shù)學(xué)理論原理串聯(lián)起來，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)應(yīng)用的交叉性和復(fù)雜性，比如關(guān)于交通設(shè)施設(shè)備管理優(yōu)化，既會(huì)涉及運(yùn)籌優(yōu)化模型，又會(huì)涉及大數(shù)據(jù)分析方法。

（三）貫穿系統(tǒng)性思維

對(duì)于研究生而言，不論是探索性研究，還是宏觀態(tài)勢(shì)研究和微觀機(jī)理研究，系統(tǒng)性思維能力的培養(yǎng)尤為重要。在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的針對(duì)性、局限性、關(guān)聯(lián)性有較為全面認(rèn)知的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生在宏觀上思考其在整個(gè)數(shù)學(xué)理論中的作用以及與其他理論之間的聯(lián)系，在微觀上思考其概念本身的深度，其具有的特點(diǎn)、滿足的性質(zhì)及發(fā)展的趨勢(shì)等，這些是構(gòu)建學(xué)生系統(tǒng)性思維的有效方法。

教師在案例講解中，設(shè)計(jì)多個(gè)環(huán)節(jié)，有意識(shí)地讓學(xué)生把特定問題放到全局中思考。比如，在將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題時(shí)，提出諸如問題邊界在哪里、問題邊界是否會(huì)影響數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建、數(shù)學(xué)模型的約束條件是不是反映了問題在全局中的位置等問題，提示學(xué)生思考的維度和廣度。在案例總結(jié)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生從更多的角度思考已經(jīng)有答案的問題，突破局部思維的局限，提出解決的方法，數(shù)學(xué)模型的求解結(jié)論應(yīng)符合更多元的實(shí)際場(chǎng)景。在課程報(bào)告撰寫環(huán)節(jié)，要求學(xué)生將課堂上案例分析采用的數(shù)學(xué)方法拓展到類似領(lǐng)域，并進(jìn)行可行性論證和闡述。

三、基于PDCA循環(huán)理念的教學(xué)實(shí)施設(shè)計(jì)

在以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向的研究生數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)與專業(yè)研究的深度融合。這種教學(xué)有別于傳統(tǒng)的以經(jīng)典教材為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，需要不斷根據(jù)學(xué)生的反饋，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和能力的變化，適時(shí)反思總結(jié)教師和學(xué)生在“教與學(xué)”過程中可優(yōu)化提升的部分，才能夠達(dá)到螺旋提升的目標(biāo)。借鑒全面質(zhì)量管理PDCA循環(huán)的理念，通過Plan（計(jì)劃）、Do（執(zhí)行）、Check（檢查）和Assess（評(píng)估）四個(gè)環(huán)節(jié)的不斷循環(huán)，持續(xù)改進(jìn)過程和方法。按照PDCA四個(gè)階段設(shè)計(jì)課內(nèi)課外相結(jié)合的教學(xué)任務(wù)（如表3所示），以專業(yè)案例教學(xué)為中心，對(duì)每個(gè)案例教學(xué)進(jìn)行回溯總結(jié)，并形成“教與學(xué)”雙向反饋模式，評(píng)估每一個(gè)案例教學(xué)的有效性，為教學(xué)的持續(xù)改進(jìn)提供依據(jù)。

結(jié)語

以專業(yè)應(yīng)用為導(dǎo)向是研究生數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目的，無論是數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)案例的針對(duì)性選擇，還是學(xué)生的思維能力訓(xùn)練，都需要相關(guān)教學(xué)環(huán)節(jié)的精細(xì)化設(shè)計(jì)，對(duì)授課教師的專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力都提出了更高的要求。本文提出通過課前、課中、課后的PDCA循環(huán)過程，融入啟迪數(shù)學(xué)思維的過程訓(xùn)練，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建專業(yè)領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)框架，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用分析，以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)理論研究和實(shí)際問題解決建立聯(lián)系，為后續(xù)專業(yè)課程及其他相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)和自主學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]劉麗華，王煒，華雪東，等.城市交通需求預(yù)測(cè)理論與模型研究綜述[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2021，21（30）：12804-12813.

[2]江志超，鄧鳳茹，畢曉華，等.案例教學(xué)法在研究生數(shù)值分析課程教學(xué)中的應(yīng)用探究[J].北華航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，27（6）：40-42.

Exploration and Practice of Graduate Mathematics Teaching Guided by Professional Application： Taking the Course of Applied Mathematics for the Graduates of? Transportation Major as an Example

CHEN Jing-jing， JIN Mei-han， LUO Qin

（College of Urban Transportation and Logistics， Shenzhen Technology University， Shenzhen， Guangdong 518118， China）

Abstract： Applied Mathematics is a compulsory course for the graduate students majoring in engineering. To meet the needs of talent training under the background of current technological development， mathematics teaching oriented by professional application should pay attention to the integration of the three aspects of mathematical knowledge framework construction， the understanding and application of mathematical methods， and the training of mathematical thinking ability. By introducing the PDCA concept of comprehensive quality management， teachers can guide students to build a connection between mathematical knowledge， professional theoretical research， and practical problem-solving through the PDCA cycle process of before-class， during-class and after class， focusing on cultivating students’ abstract thinking and systematic thinking ability， so as to lay a solid foundation for the learning of the follow-up professional courses and other related courses.

Key words： Applied Mathematics; master’s degree teaching; professional application; PDCA cycle