一種拋物型方程逆時反問題的修正擬邊值正則化方法

羅 敏, 阮周生, 陳振興, 胡 強

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院, 江西 南昌 330013)

本文考慮如下問題：

(1)

其中：f(x,t)為源項，φ(x)為初值，-L是對稱一致橢圓算子，定義為

(2)

習(xí)慣上,當(dāng)源項f(x,t)與初始分布φ(x)已知時，把通過求解問題(1)得到u(x,t)的過程稱為熱傳導(dǎo)正演問題；當(dāng)φ(x)未知時，把通過終止時刻T的觀測數(shù)據(jù)g(x)=u(x,T)反演初值φ(x)的過程稱為熱傳導(dǎo)逆時反演問題.基于實際問題的考慮，本文研究帶有噪聲的觀測數(shù)據(jù)gε(x) 以重構(gòu)初值φ(x)，其中

(3)

針對拋物型方程逆時反問題，學(xué)者們采用不同的正則化方法進行了研究，如文獻[1—9]分別采用截斷法、Fourier正則化方法、Tikhonov正則化方法、擬逆法、變分迭代法、同倫攝動法及深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等對逆時反問題進行了研究.文獻[10]采用擬邊值正則化方法求解了拋物型方程逆時反問題，利用Fourier展開法證明了正則化解的H?lder型收斂率.文獻[11]基于擬邊值正則化方法的思想，提出了一類求解逆時反問題的修正擬邊值正則化方法，并給出了對應(yīng)正則化解的收斂性結(jié)論.文獻[12]構(gòu)造了求解逆時反問題的2種修正擬邊值方法，并設(shè)計出時間上可并行的直接反演算法.本文基于擬邊值正則化方法的思想，構(gòu)造一種新的修正擬邊值正則化方法，并從濾子正則化角度說明該方法本質(zhì)上為經(jīng)典Tikhonov正則化方法，同時也證明了正則化解的先驗與后驗收斂率.

1 構(gòu)造修正擬邊值正則化問題

(4)

其中φk=〈φ(x),φk(x)〉,〈·,·〉代表L2內(nèi)積.顯然M為正定自伴算子,σk=e-λkT(k=1,…,∞)為M的奇異值.

構(gòu)造觀測數(shù)據(jù)g(x)對應(yīng)的修正擬邊值正則化問題：

其中α為正則化參數(shù).由特征函數(shù)展開法可得到問題(5a)～(5f)形式上的解uα(x,t),vα(x,t)分別為

(6)

(7)

(8)

顯然當(dāng)α=0時，φ(x)=φ0(x),故

(9)

從濾子正則化角度考慮,正則化初值(8)對應(yīng)的濾子函數(shù)為

(10)

由文獻[13—14]知,在濾子正則化框架下利用經(jīng)典Tikhonov正則化方法求解拋物型方程逆時反問題(1)和(3)時正則化解對應(yīng)的濾子函數(shù)如(10)式所示,故利用擬邊值正則化問題(5a)～(5f)反演初值本質(zhì)上與Tikhonov正則化反演初值效果一致，即(5a)～(5f)對應(yīng)的擬邊值正則化方法本質(zhì)為Tikhonov正則化方法.同理，可以得到觀察數(shù)據(jù)帶有誤差時對應(yīng)的正則化初值為

(11)

2 估計正則化解的收斂率

2.1 先驗正則化參數(shù)選取策略下正則化解的收斂率估計

(12)

(13)

證明當(dāng)初值φ(x)滿足先驗條件(12)時，顯然有φ(x)∈H2(Ω),由文獻[15]定理6知觀測數(shù)據(jù)g(x)有意義.通過直接計算可得

(14)

(15)

根據(jù)三角不等式可得

(16)

2.2 后驗正則化參數(shù)選取策略下正則化解的收斂率估計

在討論先驗正則化參數(shù)選擇策略時，有界性E的大小并不容易得到，進而阻礙了先驗正則化參數(shù)的選擇.接下來根據(jù)Morozov偏差原則估計后驗正則化參數(shù)選擇策略下正則化解的收斂率.本文采用的Morozov偏差準(zhǔn)則為

(17)

其中τ2>τ1>1為2個常數(shù).

引理1ρ1(α),ρ2(α)均為(0,∞)上連續(xù)且嚴格遞增的函數(shù)，并且

ρ2(α)≥ρ1(α).

證明直接計算得

顯然結(jié)論成立.

接下來根據(jù)偏差準(zhǔn)則(17)選取的正則化參數(shù)估計正則化解的收斂率.

(18)

(21)

(22)

其中C僅與τ1,τ2,E有關(guān)，故定理2得證.

3 反演算法

Vh={v:v∈C0(Ω),v|Δh∈P1(Δh),?Δh∈Th}.

(23)

Uα,ε(x,T)+αVα,ε(x,T)=gε(x)，

(24)

(25)

反演算法：

Step 1 給定終止時刻測量數(shù)據(jù)Gε;

Step 3 選取初始正則化參數(shù)α0及常數(shù)r∈(0,1),利用幾何級數(shù)下降法αk=α0rk選取滿足偏差準(zhǔn)則(17)的后驗正則化參數(shù)α*;

4 數(shù)值算例

gε(xi)=g(xi)(1+εrand(i)),

其中g(shù)(xi)為精確數(shù)據(jù)或通過給定精確初值求解正問題所得的終止時刻值，rand(i)為一組在[-1,1]上服從均勻分布的隨機數(shù)據(jù)，ε為相對誤差水平.

算例1已知u(x,t)的精確解為e-9tsin 3x，φ(x)=sin 3x.取不同噪聲水平ε，反演初始時刻的數(shù)值解(圖1).

算例2已知φ(x)=sin(2x)+x2(π-x)3，此時難以得到方程的精確解.取不同噪聲水平ε,反演初始時刻的數(shù)值解(圖2).

圖1 算例1初值反演結(jié)果

圖2 算例2初值反演結(jié)果

算例3已知u(x,y,t)的精確解和初值分別為e-2π2tsin πxsin πy,φ(x,y,0)=sin πxsin πy.取不同噪聲水平ε，初始時刻的精確解圖像及精確解與反演解的誤差曲面見圖3～圖4.

圖3 算例3初值精確解

圖4 算例3的誤差曲面

圖5 算例4初值精確解

由圖1～圖6可知，當(dāng)取合適的正則化參數(shù)時，反演解能較好地逼近精確解，并且隨著噪聲水平的逐漸下降，正則化解越逼近問題的精確解，說明該正則化方法是穩(wěn)定且有效的.

圖6 算例4的誤差曲面

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了一種修正的擬邊值正則化方法求解拋物型方程逆時反問題.在初值函數(shù)源條件假設(shè)下，分別推導(dǎo)了正則化解的先驗與后驗誤差收斂率，同時基于有限元插值及疊加原理構(gòu)造了易于并行的反演算法.該算法具有可并行和可離線的特點，不需要在反演過程中反復(fù)求解正問題或伴隨問題，因此具有反演速度較高的優(yōu)點.本文提出的修正擬邊值正則化方法只考慮了整數(shù)階熱傳導(dǎo)方程逆時問題，對于該修正方法在分數(shù)階熱擴散方程反問題，特別是空間分數(shù)階擴散方程相關(guān)反問題上的收斂性分析還未展開，我們將在后續(xù)的研究中考慮該方法用于分數(shù)階擴散方程反問題的情形.