二維線性諧振子在不同坐標(biāo)下的研究

楊 偉， 張 杰， 鄭興榮， 高曉紅， 張 郃

(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

量子力學(xué)作為現(xiàn)代物理學(xué)的基礎(chǔ)和核心理論課程，是研究微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科[1—2].它闡述了物質(zhì)的波粒二象性，以及能量與物質(zhì)的相互作用，是現(xiàn)代學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)，如大數(shù)據(jù)、生物科學(xué)、通信工程、電力電子、自動化和量子通信等[3—7].諧振子作為量子力學(xué)中最重要的模型之一，它的研究對于量子理論，乃至微觀世界的探索至關(guān)重要.諧振子運(yùn)動及其相關(guān)特性的研究, 無論在理論上還是應(yīng)用上都具有重要意義.近些年，許多研究者對諧振子及其特性的大量研究趨于活躍[8—17]，并且取得了一些成果，尤其是一維線性諧振子.而二維各向同性諧振子是諧振子模型中較具代表性的模型之一, 也是量子力學(xué)中的重要模型之一, 因此，諧振子及其模型的研究具有重要意義.要正確深入研究此模型, 必須分析其基態(tài)能量和波函數(shù).

本文從兩種不同的角度對此問題進(jìn)行了探討與研究, 即選用不同的坐標(biāo)系(直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系), 采用兩種不同的方法(理論推導(dǎo)法和仿真模擬法)計算了二維各向同性諧振子的基態(tài)能量、波函數(shù)和概率密度,并對其特性做了可視化的研究與分析，包括二維諧振子的三維圖形、等高線、偽真彩圖.這種不同角度、不同思路的研究更有助于對抽象概念的理解與掌握.

1 研究方法及推導(dǎo)過程

1.1 量子力學(xué)中的二維線性諧振子

根據(jù)一維線性諧振子的原理[7—12]，結(jié)合二維線性諧振子理論[16,18—19]，分別在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下進(jìn)行討論.

1.1.1直角坐標(biāo)系下的二維線性諧振子 二維線性諧振子的勢能函數(shù)為U=ω2(x2+y2)/2時，體系中定態(tài)薛定諤方程為

(1)

根據(jù)分離變量法ψ(x,y)=φ(x)φ(y)[15]，得到二維諧振子的波函數(shù)為

(2)

式中:體系的能量E=(nx+ny+1)hω;Nnx,Nny為歸一化系數(shù)，選擇自然單位h=μ=ω=1(則有α=1)，其表述為

(3)

Hnx(x)，Hny(y)為Hermitian多項式，表達(dá)式為

(4)

因此，根據(jù)歸一化條件，可得粒子在dτ中出現(xiàn)的概率

Pdτ=|Ψ|2dτ,

(5)

式中：|Ψ|2=Ψ*Ψ稱為粒子空間分布的概率密度；Ψ*表示Ψ的共軛復(fù)數(shù).

1.1.2極坐標(biāo)系下的二維線性諧振子 在極坐標(biāo)系下，體系的定態(tài)薛定諤方程為

(6)

在自然單位(h=μ=ω=1)的情況下，利用分離變量法求解.通過對r→0和r→∞兩種特殊情況進(jìn)行研究[16—17]，結(jié)合歸一性，得到徑向波函數(shù)

(7)

式中：Nnr,m為歸一化系數(shù)，其表達(dá)式為

(8)

F(-nr,|m|+1,r2)為合流超幾何函數(shù)，即

(9)

則波函數(shù)的表達(dá)式為

[sin(mφ)+cos(mφ)].

(10)

同理，根據(jù)歸一化性質(zhì)，得到粒子在dτ中出現(xiàn)的概率

Pdτ=|Ψ|2dτ.

(11)

2 仿真結(jié)果與討論

2.1 直角坐標(biāo)系下的數(shù)值仿真

根據(jù)(2)～(4)式，采用MATLAB軟件，繪制直角坐標(biāo)系下不同粒子數(shù)，不同能級下二維線性諧振子的波函數(shù)仿真圖，得到了9種直角坐標(biāo)系下的波函數(shù)網(wǎng)格圖(圖1).同時，結(jié)合二維諧振子的理論推導(dǎo)，得到了9種波函數(shù)圖對應(yīng)的9個波函數(shù)概率密度分布圖(圖2).

圖1 直角坐標(biāo)系下波函數(shù)的仿真

圖2 直角坐標(biāo)系下的波函數(shù)概率密度分布

結(jié)合理論推導(dǎo)，由圖1和圖2可以得到：在直角坐標(biāo)系中，二維線性諧振子的簡并度為nx+ny+1，對應(yīng)的能量本征值為hω(nx+ny+1)；但在nx+ny=0時，其對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)無簡并，如圖1a的nx=0,ny=0；波函數(shù)與Ψ=0平面的交線數(shù)為nx+ny.一般情況下，二維線性諧振子的概率密度分布的極大值個數(shù)為(nx+1)(ny+1).圖1和圖2的結(jié)果和理論結(jié)果完全符合[13,18—20]，很好地反映了直角坐標(biāo)系下波函數(shù)及其概率密度的特性.

2.2 極坐標(biāo)系下的數(shù)值仿真

根據(jù)二維線性諧振子在極坐標(biāo)系下的理論推導(dǎo)，結(jié)合MATLAB軟件，得到了極坐標(biāo)系下二維線性諧振子波函數(shù)和概率密度的仿真圖(圖3和圖4).

由圖3和圖4可以得到：極坐標(biāo)系下，除特殊情況nr=0, |m|=0外，二維線性諧振子的簡并度為2nr+|m|+1，對應(yīng)的能量本征值為hω(2nr+|m|+1)；波函數(shù)與平面Ψ=0的交線數(shù)為2nr+|m|.在nr=0的情況下，概率密度分布的極大值個數(shù)為2|m|.圖3和圖4的結(jié)果和理論結(jié)果完全符合[16,21]，很好地反映了極坐標(biāo)系下波函數(shù)及其概率密度的特性.

圖3 極坐標(biāo)系下波函數(shù)的仿真

圖4 極坐標(biāo)系下的波函數(shù)概率密度分布

3 結(jié)論

1)在直角坐標(biāo)系下，二維線性諧振子的簡并度為nx+ny+1，對應(yīng)的能量本征值為hω(nx+ny+1).但當(dāng)nx+ny=0時，對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)無簡并；波函數(shù)與平面Ψ=0的交線數(shù)為nx+ny；一般情況下，波函數(shù)的概率密度分布的極大值個數(shù)為(nx+1)×(ny+1).

2)在極坐標(biāo)系下，除特殊情況nr=0, |m|=0外，二維線性諧振子的簡并度為2nr+|m|+1，對應(yīng)的能量本征值為hω(2nr+|m|+1)；波函數(shù)與平面Ψ=0的交線數(shù)為2nr+|m|.在nr=0的情況下，概率密度分布的極大值個數(shù)為2|m|.

3)通過與理論推導(dǎo)結(jié)果比較，直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的仿真圖形結(jié)果很好地反映了波函數(shù)及其概率密度的特性，且與理論結(jié)果完全符合.這種不同坐標(biāo)系下的可視化研究結(jié)果可以相互驗證，開拓了一種新的研究思路，也為其他量子理論模型的研究提供了思路.這種研究方法為理解抽象性概念提供了新的方法和思路.