離散分數(shù)階憶阻系統(tǒng)建模及其在Logistic 映射中的應(yīng)用

李小敏,王 震

(西京學(xué)院 理學(xué)院,陜西 西安 710123)

根據(jù)電路基本變量組合完備性原理,1971 年蔡少棠[1]教授預(yù)測存在一種描述電荷量與磁通量關(guān)系的非線性雙端無源電路元件,并將這種元件定義為記憶電阻器,簡稱憶阻器。長久以來,由于沒有發(fā)現(xiàn)滿足憶阻特性的實際元件,使得憶阻器及其電路的研究沒有引起研究者的重視。直到2008 年,惠普公司實驗室Strukov 團隊[2]使用納米技術(shù)摻雜TiO2薄膜成功研制了具有憶阻器特性的實物器件,首次報道了憶阻器硬件的實現(xiàn),在全世界引起了轟動。

憶阻器包括荷控(或稱為流控)憶阻器和磁控(或稱為壓控)憶阻器兩類非線性元件,其主要區(qū)別在于主導(dǎo)量的不同,荷控憶阻器的主導(dǎo)量是電荷量,磁控憶阻器的主導(dǎo)量是磁通量。憶阻模型又分為物理器件模型和數(shù)學(xué)理論模型兩大類。常見的有HP TiO2線性雜質(zhì)遷移憶阻模型、HP TiO2非線性窗函數(shù)憶阻模型、分段線性憶阻模型和二次、三次非線性憶阻模型。緊磁滯回線是憶阻的最基本特征,是判斷一個模型是否為憶阻模型的重要依據(jù)。包伯成教授[3]在其著作《憶阻電路導(dǎo)論》 中詳細介紹了各種類型的憶阻模型。由于憶阻器是一種有記憶功能的非線性電子元件,并且具有模擬人類大腦神經(jīng)功能的超級能力。因此,憶阻模型被廣泛應(yīng)用于混沌系統(tǒng)[4-5]、控制工程[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-9]及信號處理[10]等領(lǐng)域。

上述憶阻器模型都是整數(shù)階模型,然而,相比于整數(shù)階,分數(shù)階微積分可以更好地描述具有記憶和遺傳特性的系統(tǒng)。近年來,分數(shù)階微積分在各個領(lǐng)域的研究成果層出不窮,如生物學(xué)[11-12]、物理學(xué)[13]、信息安全[14]及圖像處理[15]等。與分數(shù)階微積分概念相比,分數(shù)階差分的研究是一個新的課題。由于分數(shù)階差分理論可以直接引入混沌映射來構(gòu)造分數(shù)階混沌映射,分數(shù)階混沌映射的建模和應(yīng)用成為近年來的一個熱點[16-19]。包伯成教授等[20]研究了一類含有電容和憶阻的二階離散憶阻系統(tǒng)的混沌特性,并提出該模型可應(yīng)用于圖像加密。Peng 等[21]討論了離散憶阻系統(tǒng)在Hénon 映射中的應(yīng)用,結(jié)果表明,基于憶阻器的Hénon 映射具有更大的混沌區(qū)域以及更高的復(fù)雜性。曹穎鴻等[22]運用ADM 算法,研究了一個含有電容、電感及憶阻的串聯(lián)分數(shù)階系統(tǒng),該分數(shù)階憶阻系統(tǒng)具有豐富的動力學(xué)特性,當階次在一定范圍時,系統(tǒng)的隨機性和復(fù)雜性最好,得到了分數(shù)階憶阻系統(tǒng)適用于保密通信領(lǐng)域的結(jié)論。方淼等[23]研究了一個含有電容、電感及憶阻的并聯(lián)憶阻系統(tǒng),通過特征值分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定特性。除此之外,憶阻器在混沌映射[24]、憶阻混沌電路[25]及同步控制[26-27]等方面也有很多研究成果。

然而,目前有關(guān)離散分數(shù)階憶阻模型的研究卻很少見,賀少波教授等[28]基于HP TiO2線性雜質(zhì)漂移模型,設(shè)計了離散分數(shù)階憶阻模型,并用數(shù)值模擬驗證了緊縮磁滯回線滿足憶阻器的三個特性。離散模型的優(yōu)點是輸入信號可以是時間序列的形式。本文提出了一種三次非線性磁控憶阻模型,將模型進行離散化并取分數(shù)階次,利用分數(shù)階差分理論,得到系統(tǒng)的Volterra 和分解,數(shù)值模擬顯示,該模型滿足憶阻器的三個特征。最后,將該離散分數(shù)階憶阻模型應(yīng)用于Logistic 映射中,構(gòu)造離散分數(shù)階憶阻Logistic 映射,數(shù)值結(jié)果表明,該映射在分數(shù)階次下能夠產(chǎn)生新的混沌序列,并表現(xiàn)出多穩(wěn)定性的特征。

1 憶阻器

憶阻器是一種具有記憶效應(yīng)的非線性電子元件,可表示電荷量q與磁通量φ的關(guān)系,其數(shù)學(xué)表達式為:

式中:M(q)為憶阻;W(φ)為憶導(dǎo)。因此,憶阻器分為荷控憶阻器和磁控憶阻器。

荷控憶阻器數(shù)學(xué)模型為:

磁控憶阻器的數(shù)學(xué)模型為:

憶阻器的本質(zhì)特征有:(1)當一個雙極性周期信號驅(qū)動時,伏安關(guān)系為一條緊縮滯回曲線;(2)緊磁滯回線的旁瓣面積隨施加信號頻率的增加而單調(diào)減小;(3)當頻率趨于無窮時,緊磁滯回線緊縮成一條直線。

該領(lǐng)域的學(xué)者提出用分段線性函數(shù)以及二次、三次非線性函數(shù)等描述憶阻的數(shù)學(xué)理論模型,這些模型是具有憶阻特征的簡單模型,適用于基于憶阻模型的各種應(yīng)用電路。

本文采用三次非線性函數(shù)描述的磁控憶阻:

2 磁控型憶阻器基本模型

2.1 連續(xù)型磁控憶阻模型

磁控憶阻的基本模型可定義為[3]:

式中:i(t)為憶阻電流;u(t)為憶阻電壓;φ(t)為磁通量;k為常數(shù)。由式(7)第二個方程得:

取雙極性周期信號u(t)=Asin(ωt),參數(shù)a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;繪制不同頻率ω(如圖1(a))和不同振幅A(如圖1(b))的憶阻器u(t)-i(t)曲線,如圖1 所示。

從圖1(a)可以看出,收縮的磁滯回線隨頻率ω的增大而收縮,當頻率ω增加到20 時,緊磁滯回線收縮為一個單值函數(shù);從圖1(b)可以看出,收縮的磁滯回線以不同振幅A保持在原點收縮。顯然,該模型滿足憶阻器的三個特征。

圖1 連續(xù)憶阻器的緊磁滯回線Fig.1 Pinched hysteresis loops of the continuous memristor

2.2 離散磁控型憶阻模型

以相同時間間隔τ進行取值,磁控憶阻基本模型式(7)可離散化為:

式中,Δφ(tn)=φ(tn+1)-φ(tn)。這里采用向前差分格式,取c=kτ,由式(10)中第二個方程可得:

則

式中,φ(t0)為初始條件,對應(yīng)憶導(dǎo)W[φ(t0)]。

類似于連續(xù)型憶阻模型,同樣取雙極性周期信號u(tn)=Asin(ωtn),參數(shù)a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;繪制不同頻率ω(如圖2(a))和不同振幅A(如圖2(b))的憶阻器u(tn)-i(tn)曲線,如圖2 所示。從圖2(a)可以看出,收縮的磁滯回線隨頻率ω的增大而收縮,當頻率ω增加到20 時,緊磁滯回線收縮為一個單值函數(shù);從圖2(b)可以看出,收縮的磁滯回線以不同振幅A保持在原點收縮。顯然,該離散模型同樣滿足憶阻器的三個特征。

圖2 離散憶阻器的緊磁滯回線Fig.2 Pinched hysteresis loops of the discrete memristor

3 離散分數(shù)階磁控憶阻模型

3.1 離散分數(shù)階微積分

這里,首先介紹分數(shù)階差分與和分的相關(guān)概念。

考慮階乘多項式:

式中:Γ(·)為Gamma 函數(shù),Γ(z)=zΓ(z),Γ(n+1)=n!。

對n進行擴展,則有:

定義前向差分Δf(t)=f(t+1)-f(t),離散時間尺度Na={a,a+1,a+2,…},a∈R。

定義1 設(shè)函數(shù)u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則α階和分定義為:

定義2 設(shè)函數(shù)u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則Caputo 型α階差分定義為:

式中:n=[α] +1。

引理1 設(shè)函數(shù)u(t):Na→R,α＞0,σ(s)=s+1,則Caputo 型分數(shù)階差分方程為:

利用預(yù)估-校正算法,與式(17)等價的Volterra 和分方程為:

3.2 離散分數(shù)階磁控憶阻模型

設(shè)Nt0={t0,t0+1,t0+2,…},t0∈R,t0=t0+nτ(n=1,2,3,…),則式(7)所對應(yīng)的離散化分數(shù)階模型為:

根據(jù)引理1:

取j=s-(m-α),則:

當0＜α＜1 時,

當α=1 時,式(22)等價于:

同樣取雙極性周期信號u(tn)=Asin(ωtn),參數(shù)a=1.2,b=0.7,k=0.9;初值t0=0.01,φ0=0.1;分別取不同階次α=0.9,0.8,0.85 下不同頻率ω(如圖3(a)),不同振幅A(如圖3(b)),不同頻率ω與振幅A(如圖3(c))及相同頻率ω和振幅A下的不同階次α=0.95,0.85,0.75,0.65(如圖3(d)),繪制出u(tn)-i(tn)曲線,如圖3 所示。

圖3 離散分數(shù)階憶阻器的緊磁滯回線Fig.3 Pinched hysteresis loops of the discrete fracmemristor

采用控制變量法,分析了不同階次下不同頻率和振幅對u(tn)-i(tn)關(guān)系的影響。顯然,分數(shù)階模型同樣滿足憶阻器的三個特性,但不同的是,由圖3(d)可以看出,不同階次的u(tn)-i(tn)圖像,緊磁滯回線旁瓣面積隨著階次的降低而減小,直至近似收縮為一條直線。

3.3 離散分數(shù)階模型分析

對比式(22)和式(23),分數(shù)階差分方程與整數(shù)階差分方程的解在形式上的區(qū)別是由每一步的迭代權(quán)重系數(shù)Γ(n-j+α)/Γ(n-j+1)及平均迭代系數(shù)1/Γ(α)引起的。分別取輸入電壓u(tn)=sin(tn)和u(tn)=1,初值t0=0.01,φ0=0.1,對比不同階次α=1,0.9,0.8,0.7,0.6 時的tn-φ(tn)曲線,如圖4 所示。從圖4 可以看出,隨著階次的減小,φ(tn)的值呈現(xiàn)出減小趨勢,這表明分數(shù)階次模型的記憶效應(yīng)使得分數(shù)階模型在運算過程中占有相對較小的內(nèi)存。

圖4 不同階次下記憶權(quán)重系數(shù)曲線Fig.4 Memory weight coefficient curves at different orders

4 離散分數(shù)階憶阻模型

通過對比發(fā)現(xiàn),整數(shù)階模型是分數(shù)階模型的特殊形式,因此,分數(shù)階模型更具有一般性。下面給出憶阻模型離散分數(shù)階化的分析步驟:

(1)將憶阻模型按時間進行離散化,用分數(shù)階差分算子代替整數(shù)階微分算子,得到離散分數(shù)階憶阻模型;

(2)設(shè)定初值,利用分數(shù)階差分方程的求解方法求解離散分數(shù)階憶阻模型;

(3)調(diào)整參數(shù),使其具有憶阻特性。

廣義憶阻器數(shù)學(xué)模型:

當x(t)、y(t)、z(t)分別為電流i(t)、電壓u(t)和電荷q(t)時,式(24)為荷控型憶阻器;當x(t)、y(t)、z(t)分別為電壓u(t)、電流i(t)和磁通φ(t)時,式(24)為荷控型憶阻器。

取初始時刻為t0,時間間隔為τ,分數(shù)階差分算子代替整數(shù)階微分算子,得到式(24)所對應(yīng)的離散分數(shù)階模型為:

其中分數(shù)階次0＜α≤1。根據(jù)分數(shù)階差分定義,當α＞1 時,先求[α]階差分,接下來與分數(shù)階次0＜α≤1時分析方法一致。

根據(jù)式(19)和式(22),由式(25)第二個方程可得:

以荷控型憶阻器為例,給定初值t0與時間間隔τ即可得到tj=t0+jτ(j=1,2,…,n)。給定輸入電流和電荷量的時間序列x(tj)和z(tj),通過式(26)即可得到z(tn),代入式(25)第一個方程可以得到模型的u-i關(guān)系,通過調(diào)節(jié)參數(shù),使模型(25)滿足憶阻特征。

5 在Logistic 映射中的應(yīng)用

隨著非線性科學(xué)的興起,對混沌的研究逐漸成為一個富有挑戰(zhàn)性的課題。由于混沌信號的隨機性、不可預(yù)測性及較為復(fù)雜的特性,使其在自然科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。常見的Logistic 映射是混沌系統(tǒng)中較為簡單的混沌映射,它的形式為:

式中:x(n+1)和x(n)為混沌序列值;k為混沌控制參數(shù)。

當0＜k＜3 時,迭代結(jié)果是一個確定值,趨于一個不動點,這相當于一個穩(wěn)定態(tài);當3 ＜k＜3.449 時,x(n)在兩個值之間往復(fù)跳躍;當3.449 ＜k＜3.544,x(n)在四個值之間往復(fù)跳躍,系統(tǒng)在此過程中發(fā)生了倍周期分岔;當3.5699＜k＜4 時,系統(tǒng)進入混沌狀態(tài),此時系統(tǒng)會產(chǎn)生偽隨機序列。

雖然Logistic 映射具有良好的混沌特性,但該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)略為簡單。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來,信息安全成為了一個不容忽視的問題。密碼學(xué)是信息安全的核心學(xué)科,主要解決信息傳輸、存儲過程中的安全問題。目前,常見的信息加密算法重點關(guān)注加密系統(tǒng)中隨機序列的生成方式,在信息加密策略中,隨機序列的生成方式大部分基于混沌系統(tǒng)。由于加密系統(tǒng)的安全性強烈依賴于混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性,因此,在基于混沌序列的信息加密算法中,混沌映射的構(gòu)造顯得尤為重要。本文基于離散分數(shù)階憶阻模型,提出了一種分數(shù)階憶阻Logistic 映射,該映射定義為:

式中:W[φ(n)]=p+q[φ(n)]2為磁控憶阻器;φ(n)為電磁信號序列。根據(jù)離散分數(shù)階微積分定義:

當0＜α≤1 時,

當φ0=0.2,y0=0.1,p=1.3,q=0.3 時,分別取:μ=3.856,階次α=0.8,0.65,0.5;μ=3.941,階次α=0.8,0.65,0.5,得到分數(shù)階憶阻Logistic 映射序列如圖5 所示。

圖5 分數(shù)階憶阻Logistic 映射序列圖Fig.5 Sequence diagram of fractional-order memristor Logistic mapping

從混沌映射的定義式及圖像可以看出該映射較Logistic 映射具有更強的復(fù)雜性,能夠在不同階次生成偽隨機序列,并且在混沌映射系數(shù)μ=0.856,階次α=0.5 時表現(xiàn)出了多穩(wěn)定性的特征。在混沌系數(shù)μ=0.941 時,隨著階次的降低,混沌范圍有增大的趨勢。

6 結(jié)論

本文通過引入分數(shù)階差分概念,研究了一類三次非線性磁控型憶阻模型,對給定輸入電壓u(t)=Asin(ωt)進行離散化,通過調(diào)節(jié)參數(shù),用MATLAB 進行數(shù)值仿真,結(jié)果表明該離散分數(shù)階模型具有憶阻特性。根據(jù)分數(shù)階差分方程解的形式可以看出,整數(shù)階模型是分數(shù)階模型的特殊形式,因此,分數(shù)階模型更具有一般性。最后,給出離散分數(shù)階憶阻模型的分析方法,對于離散模型,輸入電壓或電流可以不是電壓或電流函數(shù),而是電壓或電流的時間序列。因此,該模型在不同領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用,例如,非線性混沌映射、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及憶阻混沌電路等。