基于Hankel 矩陣填充的稀疏孔徑ISAR 成像

彭鑫鑫，張邦杰，李浩林，盛佳戀，江利中，徐 剛

（1.東南大學(xué) 毫米波國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096；2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100098；3.上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 201109）

0 引言

作為一種全天候、全天時(shí)的微波遙感工具，逆合成孔徑雷達(dá)（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）在民用和軍用領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。為了獲得二維高分辨率圖像，ISAR 不僅需要在發(fā)射機(jī)上發(fā)射寬帶信號(hào)以獲得距離維高分辨率，同時(shí)也需要依靠雷達(dá)和目標(biāo)之間較大的視角變化來(lái)獲得方位維高分辨率。具體來(lái)說(shuō)，方位維的分辨率取決于因目標(biāo)運(yùn)動(dòng)而引起的雷達(dá)與目標(biāo)之間的相對(duì)角度變化，即在相干處理時(shí)間（Coherent Processing Interval，CPI）內(nèi)形成的合成孔徑。分辨率是成像雷達(dá)的一項(xiàng)極其重要的指標(biāo)，更高的分辨率可以得到更多的目標(biāo)信息。隨著雷達(dá)技術(shù)不斷飛速的發(fā)展，雷達(dá)能夠?qū)崿F(xiàn)的任務(wù)也更加多樣化，包括成像、定位、跟蹤等。多功能雷達(dá)通過(guò)轉(zhuǎn)換為不同模式來(lái)實(shí)現(xiàn)不同的功能需求。由于多功能雷達(dá)工作狀態(tài)交換、觀測(cè)目標(biāo)進(jìn)行非協(xié)同機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)等不可避免的因素存在，在一些實(shí)際應(yīng)用中只能對(duì)目標(biāo)進(jìn)行稀疏孔徑（Sparse Aperture，SA）測(cè)量。通過(guò)SA 測(cè)量得到的稀疏回波直接進(jìn)行距離-多普勒（Range-Doppler，RD）成像，所得結(jié)果的方位維會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重模糊，使得ISAR 成像的結(jié)果與觀測(cè)目標(biāo)有很大的差異。

目前已有的一類稀疏孔徑ISAR 成像方法是基于稀疏先驗(yàn)信息的壓縮感知方法。通過(guò)對(duì)ISAR 圖像稀疏表征，壓縮感知方法可實(shí)現(xiàn)稀疏孔徑非模糊成像。然而，現(xiàn)有的壓縮感知類方法在進(jìn)行稀疏重構(gòu)時(shí)，不可避免地會(huì)使用離散字典對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，這類方法往往會(huì)因?yàn)槟Ｐ筒黄ヅ涠鴮?dǎo)致恢復(fù)誤差，是其固有缺點(diǎn)。相比較而言，矩陣填充（Matrix Completion，MC）不僅可以突破對(duì)數(shù)據(jù)的采樣限制，還可以直接進(jìn)行稀疏數(shù)據(jù)重構(gòu)以避免直接成像引入的模型匹配問(wèn)題。近年來(lái)，矩陣填充理論被引入到雷達(dá)成像應(yīng)用中，只要被隨機(jī)觀測(cè)的矩陣具有低秩特性，就可以通過(guò)矩陣填充技術(shù)實(shí)現(xiàn)雷達(dá)高分辨成像。從本質(zhì)上看，相較于使用離散字典的CS 方法，MC 方法沒有離散失配的問(wèn)題，可被歸類為無(wú)網(wǎng)格技術(shù)。此外，還可以通過(guò)將得到的SA 回波構(gòu)造成Hankel 結(jié)構(gòu)來(lái)增強(qiáng)矩陣的低秩特性，從而獲得更好的MC 性能。

本文提出了一種基于Hankel 矩陣填充的稀疏ISAR 成像方法。根據(jù)每個(gè)距離單元的回波數(shù)據(jù)構(gòu)建Hankel 矩陣。然后對(duì)構(gòu)造的Hankel 矩陣的低秩性質(zhì)進(jìn)行了驗(yàn)證，為方位維成像提供先驗(yàn)信息。最后，對(duì)基于增廣拉格朗日乘子（Augmented Lagrange Multiplier，ALM）的Hankel 矩陣填充進(jìn)行逐步迭代求解，從而實(shí)現(xiàn)方位維成像。本文所提出的算法能夠克服CS 方法中的固有缺點(diǎn)，即因?yàn)槟Ｐ筒黄ヅ鋵?dǎo)致恢復(fù)的二維圖像在方位維上仍然存在較大誤差。最后，使用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，通過(guò)比較Hankel 矩陣填充與全孔徑成像結(jié)果的擬合度，確認(rèn)所提出算法的有效性。

1 信號(hào)模型

1.1 ISAR 成像信號(hào)模型

典型的ISAR 是在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)雷達(dá)位置保持不變，目標(biāo)發(fā)生運(yùn)動(dòng)。ISAR 通過(guò)距離-多普勒算法處理來(lái)自運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的回波，實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的成像。在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，觀測(cè)的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的尺寸要遠(yuǎn)大于發(fā)射波長(zhǎng)，即目標(biāo)位于雷達(dá)光學(xué)區(qū)，從而運(yùn)動(dòng)目標(biāo)表面的散射特性保持穩(wěn)定。將觀測(cè)的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)近似為由多個(gè)散射點(diǎn)組成，當(dāng)雷達(dá)發(fā)射寬頻帶信號(hào)且雷達(dá)與目標(biāo)之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)距離維和方位維的分辨率成像。在目標(biāo)與雷達(dá)的觀測(cè)視角發(fā)生變化的過(guò)程中，目標(biāo)中存在的較強(qiáng)方向性部件會(huì)導(dǎo)致散射點(diǎn)的分布發(fā)生變化。對(duì)于ISAR 成像，在視角變化較小的情況下（一般為3°～5°左右），散射點(diǎn)在目標(biāo)上的位置和強(qiáng)度可視為不變，即目標(biāo)散射系數(shù)和散射點(diǎn)位置不變。在這種情形下，ISAR 可應(yīng)用散射點(diǎn)模型表示觀測(cè)目標(biāo)，通過(guò)距離-多普勒算法得到目標(biāo)高分辨率圖像。

雷達(dá)與目標(biāo)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)包括平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)已完成精確穩(wěn)健的平動(dòng)補(bǔ)償，即可用轉(zhuǎn)臺(tái)模型解釋ISAR 的成像幾何，如圖1所示。

圖1 ISAR 成像幾何Fig.1 Geometry of ISAR imaging

在圖1 轉(zhuǎn)臺(tái)模型中，將參考點(diǎn)視為在CPI 內(nèi)保持靜止的點(diǎn)。假設(shè)觀測(cè)目標(biāo)由個(gè)散射點(diǎn)組成，并以恒定角速度圍繞參考原點(diǎn)做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，那么，在遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)下散射點(diǎn)p(x，y)相對(duì)雷達(dá)的距離在慢時(shí)間域下可以表示為

式中：R為參考點(diǎn)到雷達(dá)的距離；x、y分別為散射點(diǎn)p在轉(zhuǎn)臺(tái)模型中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

基于散射點(diǎn)模型，所有個(gè)散射點(diǎn)疊加后的接收回波信號(hào)可以寫為

式中：雷達(dá)發(fā)射的寬帶信號(hào)為線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)；σ為散射點(diǎn)p的散射系數(shù)；為電磁波在真空中的傳播速度；為快速時(shí)間，全時(shí)間=+；、和分別為L(zhǎng)FM 信號(hào)的脈沖寬度、中心頻率和調(diào)頻率。

需注意，由于目標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)角度較小，本文假設(shè)這里的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)并沒有產(chǎn)生越距離徙動(dòng)（MTRC）。在完成匹配濾波、包絡(luò)對(duì)齊和相位校正后，距離維脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)可以表示為

該公式忽略了一些常數(shù)相位項(xiàng)，為距離維脈沖壓縮后的快時(shí)間。式（3）的離散形式可以表示為

式中：為雷達(dá)系統(tǒng)的脈沖重復(fù)頻率；=1，2，…，和=1，2，…，分別為快時(shí)間域 距離維和慢時(shí)間域方位維的指數(shù)。

在全孔徑情況下，可以直接應(yīng)用二維傅里葉變換獲得ISAR 高分辨圖像。在SA 下得到的目標(biāo)回波信號(hào)具有稀疏性，因此可以先進(jìn)行矩陣填充，然后得到二維成像。

1.2 低秩特性分析

對(duì)于第個(gè)距離單元，式（4）中距離維脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)可以用向量形式表示為

式中：為束參數(shù)。

為了說(shuō)明所構(gòu)建矩陣的低秩特性，可將該Hankel 矩陣進(jìn)行范德蒙分解：

觀察范德蒙分解可以看出，H的秩以為界。因此，基于稀疏孔徑回波構(gòu)造的Hankel矩陣是低秩的。

2 所提出的矩陣填充稀疏成像方法

利用第1 章中證明過(guò)的低秩特性，即可將稀疏孔徑成像問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低秩Hankel 矩陣的重構(gòu)問(wèn)題，即

式中：X為待求的矩陣，其在觀測(cè)位置(，)∈Ω處元素與H相同，而在稀疏孔徑位置處的元素被設(shè)置為0。利用ALM 算法多次迭代來(lái)求解該問(wèn)題。

首先，通過(guò)核范數(shù)最小化來(lái)替換秩最小化問(wèn)題，從而將MC 問(wèn)題表述為

然后，可以通過(guò)最小化增廣拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求解，從而獲得全孔徑回波

式中：X為要求解的結(jié)構(gòu)化低秩矩陣；E為H的未知項(xiàng)為零的矩陣；μ為一個(gè)給定的正數(shù)；Y為對(duì)偶變量。

整個(gè)算法流程如圖2 所示。

圖2 算法流程Fig.2 Flow chart of the proposed algorithm

接下來(lái)，可以通過(guò)迭代計(jì)算每一步的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)最小化目標(biāo)函數(shù)(X，，，)。具體來(lái)說(shuō)，主要步驟如下所示：

式中：svd(·)為奇異值分解操作；(·)為軟閾值操作；(·)為向區(qū)域Ω 投影。

算法流程如下。

最后，對(duì)本文所提算法的運(yùn)算復(fù)雜度進(jìn)行分析。所提算法的主要運(yùn)算量在于式（11）和式（12）的求解：式（11）中矩陣奇異值分解的計(jì)算復(fù)雜度為(+·)，式（12）中矩陣乘積的計(jì)算復(fù)雜度為(·+(-+1)·)。假設(shè)所提ALM算法的循環(huán)迭代次數(shù)為，個(gè)距離單元，那么所提算法的運(yùn)算復(fù)雜度為(··(·+(-+1)·))。

3 實(shí)驗(yàn)分析

使用Yak-42 飛機(jī)的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證所提方法的性能。文中實(shí)驗(yàn)均在Matlab R2021b 版本軟件實(shí)現(xiàn)，所用計(jì)算機(jī)主頻2.1 GHz，內(nèi)存16 GB。該雷達(dá)系統(tǒng)中心頻率為5.52 GHz，發(fā)射信號(hào)帶寬為400 MHz，脈沖重復(fù)頻率（Pulse Repetition Frequency，PRF）為400 Hz。實(shí)驗(yàn)中使用了256 個(gè)距離采樣和256 個(gè)脈沖。在進(jìn)行實(shí)現(xiàn)前首先對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行了包絡(luò)對(duì)齊和相位自聚焦，使用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和相關(guān)系數(shù)（Correlation Coefficient，CORR）作為評(píng)估圖像質(zhì)量的指標(biāo)，定義為

式中：=vec() 為矢量化的SA 圖像；=vec()為在全孔徑下的參考圖像。

使用本文所提出方法得到的圖像如圖3（a）所示，基于L1范數(shù)約束的CS 方法的圖像如圖3（b）所示，作為參考的全孔徑距離多普勒算法的結(jié)果如圖3（c）所示，0.5 稀疏率下的隨機(jī)SA 模式如圖3（d）所示。不同方法得到的圖像之間的差異用紅色虛線表示。

圖3 使用不同方法的性能表現(xiàn)Fig.3 Performance images with different methods

在圖3 中，在稀疏率為0.5 的情況下，直接使用稀疏孔徑得到的回波進(jìn)行二維成像的效果是很不理想的，方位維產(chǎn)生嚴(yán)重模糊，R-D 算法結(jié)果與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)嚴(yán)重不匹配。Hankel 矩陣填充和CS 方法在低稀疏率下都可以彌補(bǔ)由SA 引起的方位維的模糊性。通過(guò)與全孔徑參考圖像結(jié)果對(duì)比，兩種算法的成像結(jié)果與運(yùn)動(dòng)目標(biāo)具有很高的一致性。此外，通過(guò)對(duì)比所提方法與CS 算法的成像結(jié)果可知，本文所提方法的成像結(jié)果與全孔徑參考圖像具有更高的一致性。

比較兩者的運(yùn)行程序時(shí)間：本文所提算法用時(shí)70.27 s，CS 算法用時(shí)18.74 s，兩者基本在一個(gè)數(shù)量級(jí)（需要說(shuō)明的是，兩個(gè)算法均是未優(yōu)化版本，其中CS 算法利用快速傅里葉變換，具有較高的運(yùn)算效率）。

為了更細(xì)致地觀察不同算法在SA 下的成像的準(zhǔn)確性，本文選擇了一個(gè)距離單元，觀察該距離單元內(nèi)的散射點(diǎn)在不同的方位維單元的脈沖響應(yīng)恢復(fù)結(jié)果，細(xì)節(jié)如圖4 所示?？梢钥吹奖疚乃岱椒ǎ≒roposed）的恢復(fù)結(jié)果接近全孔徑，表明所提出方法的有效性和準(zhǔn)確性。結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，由于所提算法做的是全孔徑數(shù)據(jù)補(bǔ)全，其稀疏孔徑成像分辨率不會(huì)超過(guò)理想情況下全孔徑分辨率，其極限情況對(duì)應(yīng)全孔徑分辨率。

圖4 第125 距離單元方位維度上某一散射的脈沖響應(yīng)Fig.4 Pulse response of a certain scatter in the crossrange dimension of the 125th range cell

此外，為了定量分析各算法的性能，本文通過(guò)20 次蒙特卡羅模擬進(jìn)一步評(píng)估了所提出方法在0.1到0.8 的不同稀疏采樣率（步長(zhǎng)為0.1）下的性能，得到的RMSE 和COOR 的變化如圖5 所示。通過(guò)定量結(jié)果分析，相較于SA 和CS 方法，本文所提出的方法具有最低的RMSE 和最高的COOR，證明MC方法優(yōu)異的性能。

圖5 不同稀疏率下性能Fig.5 Performance versus the sparse rate

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于稀疏孔徑ISAR 成像方位維模糊，提出了一種無(wú)網(wǎng)格的Hankel 矩陣填充方法。相較于傳統(tǒng)CS 方法，本文所提方法的成像結(jié)果誤差更小，與全孔徑成像一致性更高，在不發(fā)生離散模型失配的情況下彌補(bǔ)由SA 引起的模糊并獲得高分辨率圖像。最后使用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了性能測(cè)試，證明了所提出算法的有效性和優(yōu)越性。