“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)

劉興華

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是繼函數(shù)的概念學(xué)習(xí)之后最重要的一個(gè)內(nèi)容。學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生要經(jīng)歷三種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化，了解一個(gè)全新的定義模式，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)起到示范作用，也為今后不等式、導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)：1.借助函數(shù)的圖象，讓學(xué)生會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解它的作用和實(shí)際意義，能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性;2.讓學(xué)生會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義，按一定的步驟通過代數(shù)推理證明函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)推理論證能力;3.在抽象函數(shù)單調(diào)性概念的過程中感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程及符號(hào)表示的作用，通過觀察—猜想—推理—證明這一研究過程，體會(huì)對(duì)函數(shù)性質(zhì)研究的一般方法。

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境問題，提升數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)

呈現(xiàn)“艾賓浩斯遺忘曲線”，引導(dǎo)學(xué)生明確記憶量是時(shí)間間隔的函數(shù)，該函數(shù)的圖象傳達(dá)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)對(duì)生活實(shí)際的指導(dǎo)作用是需要及時(shí)地復(fù)習(xí)。

環(huán)節(jié)二：歸納函數(shù)圖象特征，提升直觀想象素養(yǎng)

1.觀察所給一系列函數(shù)，如y=2x，y=-3x，y=1/x，y=x2的圖象，發(fā)現(xiàn)了函數(shù)圖象的哪些特點(diǎn)？明確函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，所謂函數(shù)性質(zhì)就是“變化中的規(guī)律性，變化中的不變性”。本單元著重研究從左到右升降變化的特點(diǎn)、最高點(diǎn)或最低點(diǎn)、對(duì)稱性等。

2.進(jìn)一步觀察二次函數(shù)y=x2的圖象，用數(shù)學(xué)語言描述圖象自左至右的變化趨勢(shì)。從直觀的上升、下降，提升到初步的符號(hào)語言描述：“當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，y隨x的增大而增大”，或者“當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，x增大，對(duì)應(yīng)的y減小;當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，x增大，對(duì)應(yīng)的y增大”。

3.“函數(shù)y=x2在（-∞，0]上是單調(diào)遞減的;在[0，+∞）上是單調(diào)遞增的”定義中，“x增大，對(duì)應(yīng)的y增大（減?。痹趺从梅?hào)語言表示？借助字母符號(hào)表示數(shù)，上述變化過程的表示為：自變量從x1增大到x2，函數(shù)值從f（x1）減小（增大）到f（x2）。

環(huán)節(jié)三：形成函數(shù)單調(diào)性概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

1.進(jìn)一步用不等式表示增大（或減?。?，得到表述：x1<x2，有f（x1）>f（x2）（或f（x1）<f（x2））。再關(guān)注自變量取值的要求，得到函數(shù)單調(diào)性的概念。用嚴(yán)格的代數(shù)語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性，即借助代數(shù)符號(hào)語言給出了一個(gè)與“無限”相關(guān)的變化規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，體會(huì)代數(shù)的力量。

2.函數(shù)f（x）=|x|和f（x）=-x2有怎樣的單調(diào)性？由圖象直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出準(zhǔn)確表述，進(jìn)一步理解函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。

3.從函數(shù)的圖象直觀分析可以得到函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于一個(gè)給出了解析式的新函數(shù)y=f（x），當(dāng)作函數(shù)圖象有一定困難時(shí)，該如何分析其單調(diào)性？通過代數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的概念作出判斷。

環(huán)節(jié)四：應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性概念，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)

1.根據(jù)定義，研究函數(shù)f（x）=kx+b（k≠0）的單調(diào)性。應(yīng)用定義通過嚴(yán)格的邏輯推理對(duì)結(jié)論進(jìn)行了證明，體現(xiàn)了形式化定義的作用。

2.物理學(xué)中的玻意耳定律p=k/V（k為正常數(shù)）告訴我們“對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大”，試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明。函數(shù)模型可以用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)研究的不是每一個(gè)現(xiàn)象，而是從中抽象概括出來的一般問題，將一些不同的現(xiàn)象抽象成一類函數(shù)，通過研究這一類函數(shù)的性質(zhì)獲得事物的變化規(guī)律。

3.歸納用單調(diào)性定義研究或證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟：取元—作差—變形—斷號(hào)—定論，體會(huì)數(shù)學(xué)推理的程序化和嚴(yán)謹(jǐn)性。

4.根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+1/x在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增。通過嚴(yán)格的代數(shù)推理證明函數(shù)單調(diào)性，體會(huì)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系。

環(huán)節(jié)五：小結(jié)與布置作業(yè)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

回顧函數(shù)單調(diào)性的概念及把握函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵點(diǎn);回顧用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟;回顧本節(jié)課對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究過程，梳理函數(shù)性質(zhì)研究的過程、思路與方法，即簡(jiǎn)單觀察—形成規(guī)則—具體驗(yàn)證。

吳鵬老師點(diǎn)評(píng)

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)以單調(diào)性概念的生成和應(yīng)用為明線，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展和提升為暗線進(jìn)行設(shè)計(jì)。通過問題串的設(shè)計(jì)突出“單調(diào)性”這一數(shù)學(xué)概念生成的過程性和層次性，設(shè)計(jì)采取從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性、從圖形語言到自然語言再到符號(hào)語言的順序，層層遞進(jìn)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的跨越并形成最終概念，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，突破了教學(xué)難點(diǎn)，突出了學(xué)生的主體地位，凸顯了數(shù)學(xué)的學(xué)科特色。為學(xué)生從“形”的直觀性和“數(shù)”的精確性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象提供了示范，為后續(xù)概念的學(xué)習(xí)奠定了重要的思維基礎(chǔ)。設(shè)計(jì)在各個(gè)環(huán)節(jié)均有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，但并非平均用力，而是有所側(cè)重，重點(diǎn)突出了“數(shù)學(xué)抽象”和“邏輯推理”兩個(gè)核心素養(yǎng)的提升。