探尋多種證法 培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)
——一道競賽題的多種證法與變式探究

張 寧

(沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)東臺學(xué)校，寧夏 中衛(wèi) 755000)

1 問題呈現(xiàn)

圖1

例1如圖1，△ABC的外心為O，垂心為H．已知BH為∠ABO的角平分線，過O作AB的平行線，與AC交于點(diǎn)K．求證：AH=AK．

(2022年第18屆沙雷金幾何奧林匹克通訊賽八年級組第1題)

本題以三角形為基本圖形，主要考查三角形垂心的性質(zhì)、外心的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，對初中學(xué)生而言具有一定的難度．本文從兩個不同的角度出發(fā)，給出問題的多種證法．根據(jù)圖形特征，給出問題的3個變式，供讀者參考．

為簡化證明過程，先介紹垂心和外心的兩個關(guān)聯(lián)性質(zhì)．

2 垂心和外心的兩個關(guān)聯(lián)性質(zhì)

圖2

性質(zhì)1(卡諾定理)三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對邊距離的2倍．

證明如圖2，△ABC的外心為O，垂心為H．OM⊥BC，垂足為M．聯(lián)結(jié)BH，聯(lián)結(jié)CO并延長交⊙O于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AD，BD．

由三角形垂心的性質(zhì)及圓的性質(zhì)，易得

AH⊥BC， DB⊥BC，

從而

AH∥DB．

又因?yàn)锽H⊥AC，DA⊥AC，所以BH∥DA，故四邊形ADBH是平行四邊形，從而

AH=DB=2OM，

即三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對邊距離的2倍．

圖3

性質(zhì)2如圖3，△ABC的外心為O，垂心為H，則∠BAH=∠OAC．

證明如圖3，延長AH交BC于點(diǎn)D．聯(lián)結(jié)OC，因?yàn)镠為△ABC的垂心，所以

AD⊥BC，

即

∠BAH=90°-∠B．

由O為△ABC的外心，得

=90°-∠B，

于是

∠BAH=∠OAC．

圖4

3 多種證法

思路1構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明AH=AK.

證法1如圖4，延長BH交⊙O于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AN．延長AH交BC于點(diǎn)E．聯(lián)結(jié)KH，并延長交AB于點(diǎn)F．聯(lián)結(jié)ON，易知

OB=ON，

從而

∠ONB=∠OBN．

因?yàn)锽H平分∠ABO，所以

∠ABH=∠OBN,

從而

∠ABH=∠ONB，

即

ON∥AB．

由OK∥AB，知點(diǎn)K在線段ON上，即點(diǎn)O，K，N共線.又

∠ANB=∠C， ∠AHN=90°-∠CAE=∠C，

從而

∠ANB=∠AHN，

即

AH=AN．

由∠NAK=∠CBN=90°-∠C=∠CAE,易得

△AKH≌△AKN,

從而

KH=KN，

即

∠KNH=∠KHN.

又∠KNH=∠OBH，∠OBH=∠ABH，知

∠KHN=∠OBH，

從而

KF∥OB．

由OK∥AB，知四邊形OBFK是平行四邊形，從而OK=BF．由∠KHN=∠BHF，知

∠ABH=∠BHF， BF=FH．

從而

FH=OK．

聯(lián)結(jié)OA，由性質(zhì)2可知

∠BAH=∠OAC，

又OK∥AB，KF∥OB，得

∠AOK=∠OAB=∠OBA=∠AFH，

從而

△AFH≌△AOK，

于是

AH=AK．

評注全等三角形的性質(zhì)是證明兩條線段相等的最基本的幾何工具．欲證AH=AK，只需證線段AH和AK所在的兩個三角形全等即可．線段AH是△ABH的邊，線段AK不是所需三角形的邊．根據(jù)圖形特征，聯(lián)結(jié)OA，則線段AK是△AOK的邊，顯然△ABH和△AOK不全等，需重新構(gòu)造全等三角形．由OK∥AB，易想到構(gòu)造線段FK，然后證明KF∥OB，即可證得四邊形OBFK是平行四邊形．根據(jù)已知條件易得FH=BF=OK，易證△AFH≌△AOK．由此可以看出，利用這種方法解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造線段FK，證明KF∥OB，這也是利用這種方法解決本題的難點(diǎn)．

圖5

證法2如圖5，延長BH交⊙O于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AN．延長BO交AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OA，OC．

由已知及性質(zhì)2，知

∠ABN=∠EBN=∠EBC，

∠BAH=∠OAC.

由圓的性質(zhì)，知

∠ANB=∠ACB,

由BH⊥AC，BH平分∠OBA，得

AB=BE,

從而

△ABN≌△EBC，

于是

AN=CE．

由BH⊥AC，∠ABH=∠EBH，知

∠AEB=∠BAE，

又OK∥AB，得

∠BAE=∠OKE，

從而

∠AEB=∠OKE，

于是

∠AKO=∠CEO．

易得

△COE≌△AOK，

即

AK=CE,

故

AN=AK．

易知

∠AHN=∠ABH+∠BAH，

∠N=∠ACB=∠OCB+∠OCA

=∠EBC+∠OAC=∠ABH+∠BAH．

即

∠AHN=∠N，

從而

AN=AH,

故

AH=AK．

評注由圖5可知，線段AH是△ABH的邊，線段AK是△AOK的邊，顯然△ABH和△AOK不全等．因此，需另辟蹊徑，將線段AH和AK轉(zhuǎn)化到其他三角形中，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題．根據(jù)圖形特征，易想到延長BH，構(gòu)造△ABN；延長BO，構(gòu)造△EBC，易得△ABN≌△EBC，可得AN=CE，從而只需證明AN=AH，AK=CE即可．利用等腰三角形的性質(zhì)易證AN=AH，利用全等三角形的性質(zhì)易證AK=CE．

思路2構(gòu)造第三條線段，證明線段AH和AK都等于第三條線段.

圖6

證法3如圖6，延長BH交AC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)E．過點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M．過點(diǎn)M作MF∥AC交BE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OA，OC．易知

BH⊥AC， ∠ABD=∠EBD，

從而

∠AEB=∠BAE．

由OK∥AB，知

∠BAE=∠OKE，

從而

∠AEB=∠OKE，

于是

OE=OK，∠AKO=∠CEO．

又

△COE≌△AOK，

得

AK=CE.

由OB=OC，OM⊥BC，知點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，由MF∥AC，知

CE=2FM， ∠FMB=∠ACB,

從而

∠OFM=∠EBC+∠FMB

=∠EBC+∠ACB=∠AEB=∠BAC，

于是

∠BOM=∠OFM，

即

OM=FM, CE=2OM，

得

AK=2OM.

又由性質(zhì)1，知

AH=2OM，

故

AH=AK．

評注根據(jù)BH⊥AC，∠ABD=∠EBD，易知△ABE是等腰三角形，根據(jù)OK∥AB，可得∠BAE=∠OKE；易知△OEK是等腰三角形，從而AK=CE，只需證明AH=CE即可．線段AH是△ABH的邊，線段CE是△BCE和△COE的公共邊，顯然無法利用全等三角形的性質(zhì)證明AH=CE．由性質(zhì)1易想到構(gòu)造線段OM，得到AH=2OM；由點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，易想到構(gòu)造△BCE的中位線FM，只需證明FM=OM，即證∠BOM=∠OFM，根據(jù)已知及圓的性質(zhì)即可證明．由此可以看出，構(gòu)造第三條線段，證明兩條待證線段都等于第三條線段，也是證明兩條線段相等的常用方法，具有普適性[1]．

圖7

證法4如圖7，延長BH交⊙O于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)AN，ON,易知

OB=ON，

從而

∠ONB=∠OBN.

又BH平分∠ABO，知

∠ABH=∠OBN，

于是

∠ABH=∠ONB，

可得

ON∥AB．

由OK∥AB，知點(diǎn)K在線段ON上，即點(diǎn)O，K，N共線．延長BO交AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OA，OC.由性質(zhì)2，知

∠ABH=∠OBC， ∠BAH=∠OAC.

由圓的性質(zhì)，知

∠ANB=∠ACB，

從而

BH⊥AC， ∠ABH=∠EBH，

于是

∠OEK=∠BAE．

因?yàn)镺K∥AB，所以

∠BAE=∠OKE，

即

∠OKE=∠OEK，

易得 ∠ANK=∠ANB+∠ONB

=∠ACB+∠OBN=∠ACB+∠OBC，

∠AKN=∠OKE=∠OEK=∠ACB+∠OBC，

亦即

∠ANK=∠AKN，

從而

AK=AN．

又

∠AHN=∠ABH+∠BAH，

∠ANB=∠ACB=∠OCB+∠OCA

=∠OBC+∠OAC=∠ABH+∠BAH．

知

∠AHN=∠ANB，

即

AN=AH,

故

AH=AK．

評注根據(jù)圖形特征，延長BH，構(gòu)造△AHN,聯(lián)結(jié)ON，易證點(diǎn)H，K，N共線，得到△AKN，顯然線段AH是△AHN的邊，線段AK是△AKN的邊，即線段AN是△AHN和△AKN的公共邊，從而只需證明△AHN和△AKN是等腰三角形即可．這種證法通俗易懂，證明過程簡潔明了，具有普適性．

4 變式探究

變式1如圖8，△ABC的外心為O，垂心為H．已知BH為∠ABO的角平分線，過點(diǎn)H作OB的平行線，與AC交于點(diǎn)K．求證：AH=AK．

分析如圖8，延長BH交AC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)OA，OC，易證∠AHK=∠AKH．

變式2如圖1，△ABC的外心為O，垂心為H．已知BH為∠ABO的角平分線，點(diǎn)K在線段AC上，AK=AH．求證：OK∥AB．

圖8 圖9

變式3如圖9，△ABC的外心為O，垂心為H．已知BH為∠ABO的角平分線，點(diǎn)K在線段AC上，AK=AH．直線KH交AB于點(diǎn)D．求證：四邊形DBOK是平行四邊形．

限于篇幅，證法從略，請讀者自行探究．

5 結(jié)束語

幾何問題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的絕佳課程素材．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生從不同角度出發(fā)探究幾何問題的多種解法與變式探究是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的有效途徑，也是積累創(chuàng)新素養(yǎng)教育課程素材的基本途徑[2]．抓住幾何圖形的基本特征，理清幾何圖形中已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系，是解決幾何問題的關(guān)鍵[3]．當(dāng)幾何圖形中已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系不明顯時，需通過添加輔助線使幾何圖形中已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系外顯化，從而為解決問題創(chuàng)造條件．根據(jù)幾何圖形特征添加輔助線是極具創(chuàng)造性的探索過程，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的絕佳機(jī)會．變式探究是在準(zhǔn)確把握幾何圖形特征的基礎(chǔ)上，提出新問題的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的有效途徑．

正如愛因斯坦所說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要．”因?yàn)榻鉀Q問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步．